2020高中数学第三章指数函数和对数函数3

2020高中数学第三章指数函数和对数函数3

‎3.2　指数与指数函数 A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．(2018·茂名模拟)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图像如图253所示，则函数g(x)＝ax＋b的图像是(　　)‎ 图253‎ C　[由函数f(x)的图像可知，－1＜b＜0，a＞1，则g(x)＝ax＋b为增函数，当x＝0时，g(0)＝1＋b＞0，故选C.]‎ ‎2．(2016·山东德州一模)已知a＝，b＝，c＝，则(　　)‎ A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b　　　　 D．b＜c＜a D　[∵y＝x为减函数，＞，∴b＜c.‎ 又∵y＝x在(0，＋∞)上是增加的，＞，‎ ‎∴a＞c，∴b＜c＜a，故选D.]‎ ‎3．(2016·河南安阳模拟)已知函数f(x)＝ax，其中a＞0，且a≠1，如果以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x1)·f(x2)等于(　　)‎ A．1　　　　 B．a ‎ C．2　　　　 D．a2‎ A　[∵以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，∴x1＋x2＝0.‎ 又∵f(x)＝ax，‎ ‎∴f(x1)·f(x2)＝ax1·ax2＝ax1＋x2＝a0＝1，‎ 5‎ 故选A.]　‎ ‎4．函数y＝2x－x2的值域为(　　)‎ A. B. C. D．(0,2]‎ A　[∵2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，又y＝t在R上为减函数，‎ ‎∴y＝2x－x2≥1＝，即值域为.]　‎ ‎5．设函数f(x)＝若f(a)＜1，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)‎ C．(－3,1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)‎ C　[当a＜0时，不等式f(a)＜1可化为a－7＜1，即a＜8，‎ 即a＜－3，‎ 因为0＜＜1，所以a＞－3，此时－3＜a＜0；‎ 当a≥0时，不等式f(a)＜1可化为＜1，‎ 所以0≤a＜1.‎ 故a的取值范围是(－3,1)．]‎ 二、填空题 ‎6．计算：－×0＋8×－＝________.‎ ‎2　[原式＝×1＋2×2－＝2.]‎ ‎7．已知函数f(x)＝4＋ax－1的图像恒过定点P，则点P的坐标是________．‎ ‎ (1,5)　[由f(1)＝4＋a0＝5知，点P的坐标为(1,5)．]‎ ‎8．若函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上是增加的，则实数m的最小值等于________. ‎ ‎1　[由f(1＋x)＝f(1－x)得a＝1，从而函数f(x)的单调递增区间为[1，＋∞)，从而m的最小值为1.]‎ 三、解答题 ‎9．(2018·深圳模拟)已知函数f(x)＝ax，a为常数，且函数的图像过点(－1,2)．‎ 5‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)若g(x)＝4－x－2，且g(x)＝f(x)，求满足条件的x的值．‎ ‎[解]　(1)由已知得－a＝2，解得a＝1.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝x，‎ 又g(x)＝f(x)，则4－x－2＝x，即x－x－2＝0，即2－x－2＝0，令x＝t，则t＞0，t2－t－2＝0，即(t－2)(t＋1)＝0，‎ 又t＞0，故t＝2，即x＝2，解得x＝－1，‎ 故满足条件的x的值为－1.‎ ‎10．已知函数f(x)＝＋a是奇函数．‎ ‎(1)求a的值和函数f(x)的定义域；‎ ‎(2)解不等式f(－m2＋‎2m－1)＋f(m2＋3)＜0.‎ ‎[解]　(1)因为函数f(x)＝＋a是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即＋a＝－a，即＝，从而有1－a＝a，解得a＝.3分 又2x－1≠0，所以x≠0，故函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).5分 ‎(2)由f(－m2＋‎2m－1)＋f(m2＋3)＜0，得f(－m2＋‎2m－1)＜－f(m2＋3)，因为函数f(x)为奇函数，所以f(－m2＋‎2m－1)＜f(－m2－3). 8分 由(1)可知函数f(x)在(0，＋∞)上是减少的，从而在(－∞，0)上是减少的，又－m2＋‎2m－1＜0，－m2－3＜0，所以－m2＋‎2m－1＞－m2－3，解得m＞－1，所以不等式的解集为(－1，＋∞)． 12分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．已知实数a，b满足等式a＝b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b＝0.其中不可能成立的关系式有(　　)‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B　[函数y1＝x与y2＝x的图像如图所示．由a＝b得a＜b＜0或0＜b＜a或a＝b＝0.‎ 5‎ 故①②⑤可能成立，③④不可能成立．]‎ ‎2．(2018·江淮十校联考)函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是(　　) ‎ A．f(bx)≤f(cx) B．f(bx)≥f(cx)‎ C．f(bx)＞f(cx) D．与x有关，不确定 A　[由f(x＋1)＝f(1－x)知：函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，∴b＝2.由f(0)＝3知c＝3，∴f(bx)＝f(2x)，f(cx)＝f(3x)．‎ 当x＞0时，3x＞2x＞1，又函数f(x)在[1，＋∞)上是增加的，‎ ‎∴f(3x)＞f(2x)，即f(bx)＜f(cx)；‎ 当x＝0时，3x＝2x＝1，∴f(3x)＝f(2x)，即f(bx)＝f(cx)；‎ 当x＜0时，0＜3x＜2x＜1，又函数f(x)在(－∞，1)上是减少的，‎ ‎∴f(3x)＞f(2x)，即f(bx)＜f(cx)．‎ 综上知：f(bx)≤f(cx)．故选A.]‎ ‎3．已知f(x)＝x3(a＞0，且a≠1)．‎ ‎(1)讨论f(x)的奇偶性；‎ ‎(2)求a的取值范围，使f(x)＞0在定义域上恒成立．‎ ‎[解]　(1)由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0，‎ ‎∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}. 2分 对于定义域内任意x，有 f(－x)＝(－x)3‎ ‎＝(－x)3‎ ‎＝(－x)3‎ ‎＝x3＝f(x)．‎ ‎∴f(x)是偶函数. 5分 5‎ ‎(2)由(1)知f(x)为偶函数，‎ ‎∴只需讨论x＞0时的情况．‎ 当x＞0时，要使f(x)＞0，‎ 即x3＞0，‎ 即＋＞0，即＞0， 9分 即ax－1＞0，ax＞1，ax＞a0.又∵x＞0，∴a＞1. ‎ 因此a＞1时，f(x)＞0. 12分 5‎