2020高中数学 课时分层作业7 椭圆的简单几何性质 新人教A版选修1-1
课时分层作业(七) 椭圆的简单几何性质
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
A [由题意知，解得
因此所求椭圆的方程为＋＝1.]
2．椭圆＋＝1与＋＝1(0
b>0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
D [在Rt△ABF中，|AB|＝，|BF|＝a，|AF|＝a＋c，由|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2.将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，即e2＋e－1＝0, 解得e＝，因为0b>0)
由题意得解得
因此所求椭圆方程为＋＝1.]
8．已知P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，则m2＋n2的取值范围是________.
【导学号：97792066】
[1,2] [因为P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，所以m2＋＝1，即n2＝2－2m2，所以m2＋n2＝2－m2，又－1≤m≤1，所以1≤2－m2≤2，所以1≤m2＋n2≤2.]
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三、解答题
9．设椭圆＋＝1(a＞b＞0)与x轴交于点A，以OA为边作等腰三角形OAP，其顶点P在椭圆上，且∠OPA＝120°，求椭圆的离心率．
[解] 不妨设A(a,0)，点P在第一象限内，由题意知，点P的横坐标是，设P，由点P在椭圆上，得＋＝1，y2＝b2，即P，又∠OPA＝120°，所以∠POA＝30°，故tan∠POA＝＝，所以a＝3b，所以e＝＝＝＝.
10．已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆的中心在原点，左焦点为F1(－，0)，且右顶点为D(2,0)．设点A的坐标是.
(1)求该椭圆的标准方程．
(2)若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程.
【导学号：97792067】
[解] (1)因为a＝2，c＝，所以b＝＝1.
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)设P(x0，y0)，M(x，y)，由中点坐标公式，
得所以
又因为＋y＝1，所以＋2＝1，即为中点M的轨迹方程．
[能力提升练]
1．已知F是椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上一点，且PF⊥x轴，若|PF|＝|AF|，则该椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
B [由于PF⊥x轴，
则令x＝－c，代入椭圆方程，解得，
y2＝b2＝，y＝±，
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又|PF|＝|AF|，即＝(a＋c)，
即有4(a2－c2)＝a2＋ac，
即有(3a－4c)(a＋c)＝0，
则e＝＝，故选B.]
2．“m＝3”是“椭圆＋＝1的离心率为”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [椭圆＋＝1的离心率为，
当04时，＝，得m＝，
即“m＝3”是“椭圆＋＝1的离心率为”的充分不必要条件．]
3．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆C的标准方程为________．
＋＝1 [由题意知，解得
则b2＝3，故所求椭圆方程为＋＝1.]
4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是________．
[由＝2，得|AO|＝2|FO|(O为坐标原点)，即a＝2c，则离心率e＝.]
5．已知点A，B分别是椭圆＋＝1的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.
(1)求点P的坐标；
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，且M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.
【导学号：97792068】
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[解] (1)由已知可得A(－6,0)，B(6,0)，F(4,0)，
设点P的坐标是(x，y)，
则＝(x＋6，y)，＝(x－4，y)．
由已知得
则2x2＋9x－18＝0，解得x＝或x＝－6.
由于y>0，所以只能取x＝，于是y＝.
所以点P的坐标是.
(2)直线AP的方程是x－y＋6＝0.
设点M的坐标是(m,0)，
则M到直线AP的距离是，又B(6,0)，
于是＝|m－6|，
又－6≤m≤6，解得m＝2，
设椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，有
d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2
＝＋15，
由于－6≤x≤6，所以当x＝时，d取最小值为.
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