人教A版高中数学1-2-1函数的概念教案新人教版必修1

人教A版高中数学1-2-1函数的概念教案新人教版必修1

1．2．1 函数的概念（教学设计） 教学目的： 1．理解函数的定义；明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素； 2．理解静与动的辩证关系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。 教学重点：理解函数的概念 教学难点：函数的概念 教学过程： 一、复习回顾，新课引入： 初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？ 设在一个变化过程中有两个变量 x 和 y，如果对于 x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说 x 是自变 量，y 是 x 的函数.并将自变量 x 取值的集合叫做函数的定义域，和自变量 x 的值对应的 y 值叫做函数值，函数值的集 合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义. 初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。 问题 1： 1y （ Rx  ）是函数吗？ 问题 2： xy  与 x xy 2  是同一函数吗？ 观察对应： 二、师生互动，新课讲解： （一）函数的有关概念 设 A，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个 x ，在集合 B 中都有唯一确 定的数 )(xf 和它对应，那么就称 BAf : 为从集合 A 到集合 B 的函数，记作 )(xfy  ， xA 其中 x 叫自变量， x 的取值范围 A 叫做函数 )(xfy  的定义域；与 x 的值相对应的 y 的值叫做函数值，函数值的集合  Axxf |)( （  B）叫做函数 y=f(x)的值域.值域是集合 B 的子集。 函数符号 )(xfy  表示“y 是 x 的函数”，有时简记作函数 )(xf . (1)函数实际上就是集合 A 到集合 B 的一个特殊对应 BAf : 这里 A, B 为非空的数集. （2）A：定义域； Axxf |)( ：值域，其中 Axxf |)(  B ； f ：对应法则 ， x A ， y B （3）函数符号： )(xfy   y 是 x 的函数，简记 )(xf 例 1：(tb0107701)判断下列各式，哪个能确定 y 是 x 的函数？为什么？ （1）x2+y=1 （2）x+y2=1 答：（1）是；（2）不是。 （二）已学函数的定义域和值域 请填写下表： 函数 一次函数 二次函数 反比函数 a>0 a<0 对应关系 定义域 值域        a bacyy 4 4| 2        a bacyy 4 4| 2 （三）函数的值：关于函数值 )(af 题： )(xf = 2x +3x+1 则 f(2)= 22 +3×2+1=11 注意：1在 )(xfy  中 f 表示对应法则，不同的函数其含义不一样。 2 )(xf 不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”。 3 )(xf 与 )(af 是不同的，前者为变数，后者为常数。 （四）函数的三要素： 对应法则 f 、定义域 A、值域 Axxf |)( 只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。 例题讲解 例 2： 求下列函数的定义域： ① 2 1)(  xxf ；② 23)(  xxf ；③ xxxf  2 11)( . 分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定。如果只给出解析式 )(xfy  ，而没有指明它的定义域，那么 函数的定义域就 是指能使这个式子有意义的实数 x 的集合。 解：①∵x-2=0，即 x=2 时，分式 2 1 x 无意义， 而 2x 时，分式 2 1 x 有意义，∴这个函数的定义域是 2| xx . ②∵3x+2<0，即 x<- 3 2 时，根式 23 x 无意义， 而 023 x ，即 3 2x 时，根式 23 x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{ x | 3 2x }. ③∵当 0201  xx 且 ，即 1x 且 2x 时，根式 1x 和分式 x2 1 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{ x | 1x 且 2x } 另解：要使函数有意义，必须：      02 01 x x       2 1 x x ∴这个函数的定义域是： { x | 1x 且 2x } 变式训练 2：（课本 P19 练习 NO：1） 强调：解题时要注意书写过程，注意紧扣函数定义域的含义.由本例可知，求函数的定义域就是根据使函数式有意 义的条件，布列自变量应满足的不等式或不等式组，解不等式或不等式组就得到所求的函数的定义域. 例 3： 已知函数 )(xf =3 2x -5x+2，求 f(3), f(- 2 ), f(a+1). 解：f(3)=3× 23 -5×3+2=14； f(- 2 )=3×(- 2 ) 2 -5×(- 2 )+2=8+5 2 ； f(a+1)=3(a+1) 2 -5(a+1)+2=3a 2 +a. 变式训练 3：（课本 P19 练习 NO：2） 例 4：下列函数中哪个与函数 xy  是同一个函数？ ⑴  2 xy  ；⑵ 3 3xy  ；⑶ 2xy  （4）y= 2x x 解：⑴  2 xy  ＝ x （ 0x ）, 0y ，定义域不同且值域不同，不是； ⑵ 3 3xy  ＝ x （ Rx  ）, Ry  ，定义域值域都相同，是同一个函数； ⑶ 2xy  ＝| x |=     x x, 0 0   x x , 0y ；值域不同，不是同一个函数。 (4)定义域不同，所以不是同一个函数。 变式训练 4： ① 3 )5)(3( 1   x xxy 52  xy （定义域不同） ② 111  xxy )1)(1(2  xxy （定义域不同） ③ 2 1 )52()(  xxf 52)(2  xxf （定义域、值域都不同） 例 5： 求下列函数的值域： （1） xy 3 ；（2） xy 8 ；（3） 54  xy ；（4） 762  xxy ． 分析：在直角坐标系中画出函数的图象，发现（1）、（3）两个一次函数的函数值可以取到一切实数；（2）这个反 比例函数的函数值不能等于 0；（4）这个二次函数有最小值． 解：（1）值域为实数集 R ； （2）值域为 Ryyy  ,0 ； （3）值域为实数集 R ； （4）函数 762  xxy 的最小值是2，所以值域为 2yy ． （五）区间的概念 研究函数时常会用到区间的概念． 设 ba, 是两个实数，而且 ba  ．我们规定： （1）满足不等式 bxa  的实数 x 的集合叫做闭区间，表示为 ],[ ba ； （2）满足不等式 bxa  的实数 x 的集合叫做开区间，表示为 ),( ba ； （3）满足不等式 bxa  或 bxa  的实数 x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为 ),[ ba ， ],( ba ． 这里的实数 ba, 都叫做相应区间的端点． 实数集 R 可用区间表示为 ),(  ，我们把满足 ax  ， ax  ， bx  ， bx  的实数 x 的集合分别表示为 ),[ a ， ),( a ， ],( b ， ),( b ． “” 读作“无穷大”，“” 读作“负无穷大”，“+” 读作“正无穷大”． 区间可在数轴上表示（课本第 17 页）． 上面例 4 的函数值域用区间表示分别为：（1） ),(  ，（2） ),0()0,(   ，（1） ),(  ，（4） ),2[  ． 三、课堂小结，巩固反思： 函数是一种特殊的对应 f：A→B，其中集合 A，B 必须是非空的数集； )(xfy  表示 y 是 x 的函数；函数的三要素 是定义域、值域和对应法则，定义域和对应法则一经确定，值域随之确定；判断两个函数是否是同一函数，必须三要 素完全一样，才是同一函数； )(af 表示 )(xf 在 x=a 时的函数值，是常量；而 )(xf 是 x 的函数，通常是变量。 四、布置作业： A 组： 1、（课本 P24 习题 1.2 A 组 NO：1） 2、（课本 P24 习题 1.2 A 组 NO：2） 3、（课本 P24 习题 1.2 A 组 NO：3） 4、（课本 P24 习题 1.2 A 组 NO：4） 5、（课本 P24 习题 1.2 A 组 NO：5） 6、（课本 P24 习题 1.2 A 组 NO：6） B 组： 1、（课本 P24 习题 1.2 B 组 NO：1） 2、(tb0305316)已知二次函数 y= -x2+4x+5 （1） 当 xR 时，求函数的值域。 （2） 当 x[0,3]时，求函数的值域。 （3） 当 x[-1,1]时，求函数的值域。 （答：(1) (- ]9, ；(2)[5，9]；(3)[0，8]） C 组： 1、(tb0108313)设函数 f(x)=x2+x+ 2 1 的定义域是[n,n+1] (nN+)，那么在 f(x)的值域中共有___________个整数。（答： 2n+2）