2016高考全国2卷数学试题及答案

2016高考全国2卷数学试题及答案

‎2016高考全国二卷数学试题及答案 注意事项：‎ ‎ 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.‎ ‎ 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.‎ ‎ 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. ‎ ‎ 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.‎ 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎（1）已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是 ‎（A） （B）（C）（D）‎ ‎（2）已知集合，，则 ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎（3）已知向量，且，则m=‎ ‎（A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8‎ ‎（4）圆的圆心到直线 的距离为1，则a=‎ ‎（A） （B） （C） （D）2‎ ‎（5）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 ‎（A）24 （B）18 （C）12 （D）9‎ ‎（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 ‎（A）20π （B）24π （C）28π （D）32π ‎（7）若将函数y=2sin 2x的图像向左平移个单位长度，则评议后图象的对称轴为 ‎（A）x=– (k∈Z) （B）x=+ (k∈Z) （C）x=– (k∈Z) （D）x=+ (k∈Z)‎ ‎（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=‎ ‎（A）7 （B）12 （C）17 （D）34‎ ‎（9）若cos(–α)= ，则sin 2α=‎ ‎（A） （B） （C）– （D）– ‎（10）从区间随机抽取2n个数,，…，，学科&网，，…，，构成n个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（11）已知F1，F2是双曲线E的左，右焦点，点M在E上，M F1与 轴垂直，sin ,则E的离心率为 ‎（A） （B） （C） （D）2‎ ‎（12）已知函数学.科网满足，若函数与图像的交点为 则 ‎ ‎（A）0 （B）m （C）2m （D）4m 第II卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.‎ 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分 ‎ (13)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若cos A=，cos C=，a=1，则b= .‎ ‎(14)α、β是两个平面，m、n是两条直线，有下列四个命题：‎ ‎（1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.‎ ‎（2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.‎ ‎（3）如果α∥β，mα，那么m∥β.  学科.网  ‎ ‎（4）如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.‎ 其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号）‎ ‎（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，学.科网乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 。‎ ‎（16）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+2）的切线，则b= 。‎ ‎ ‎ 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本题满分12分）‎ 为等差数列的前n项和，且记，其中表示不超过x的最大整数，如.‎ ‎（I）求；‎ ‎（II）求数列的前1 000项和.‎ ‎18.（本题满分12分）‎ 某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：‎ 上年度出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 保费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：‎ 一年内出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 概率 ‎0.30‎ ‎0.15‎ ‎0.20‎ ‎0.20‎ ‎0.10‎ ‎0. 05‎ ‎（I）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；‎ ‎（II）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；‎ ‎（III）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E,F分别在AD,CD上，AE=CF=，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△的位置，.‎ 学.科.网    ‎ ‎ ‎ ‎（I）证明：平面ABCD；‎ ‎（II）求二面角的正弦值.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知椭圆E:的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点，点N在E上，MA⊥NA.‎ ‎（I）当t=4，时，求△AMN的面积；‎ ‎（II）当时，求k的取值范围.‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ ‎(I)讨论函数 的单调性，并证明当 >0时， ‎ ‎(II)证明：当 时，函数 有最小值.设g（x）的最小值为，求函数 的值域.‎ 请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 ‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4-1：集合证明选讲 如图，在正方形ABCD，E,G分别在边DA,DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F.‎ ‎(I) 证明：B,C,E,F四点共圆；‎ ‎(II)若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.       学科&网 ‎（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直线坐标系xoy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25. ‎ ‎（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；‎ ‎（II）直线l的参数方程是x=tcosα，‎y=tsinα，‎（t为参数）,l与C交于A、B两点，∣AB∣=‎10‎，求l的斜率。‎ ‎（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲 已知函数f(x)= ∣x-‎1‎‎2‎∣+∣x+‎1‎‎2‎∣，M为不等式f(x) ＜2的解集.‎ ‎（I）求M；‎ ‎（II）证明：当a,b∈M时，∣a+b∣＜∣1+ab∣。‎ ‎2016高考全国2卷数学试题及答案第Ⅰ卷 一.选择题：‎ ‎（1）【答案】A ‎（2）【答案】C ‎（3）【答案】D ‎（4）【答案】A ‎（5）【答案】B ‎（6）【答案】C ‎（7）【答案】B ‎（8）【答案】C ‎（9）【答案】D ‎（10）【答案】C ‎（11）【答案】A ‎（12）【答案】C 第Ⅱ卷 二、填空题 ‎(13)【答案】‎ ‎(14) 【答案】②③④‎ ‎（15）【答案】1和3‎ ‎（16）【答案】‎ 三.解答题 ‎17.（本题满分12分）‎ ‎【答案】（Ⅰ），， ；（Ⅱ）1893.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先求公差、通项，再根据已知条件求；‎ ‎（Ⅱ）用分段函数表示，学.科.网再由等差数列的前项和公式求数列的前1 000项和．‎ 试题解析：（Ⅰ）设的公差为，据已知有，学.科.网解得 所以的通项公式为 ‎（Ⅱ）因为 所以数列的前项和为 考点：等差数列的的性质，前项和公式，学.科网对数的运算.‎ ‎【结束】‎ ‎18.（本题满分12分）‎ ‎【答案】（Ⅰ）根据互斥事件的概率公式求解；（Ⅱ）由条件概率公式求解；（Ⅲ）记续保人本年度的保费为，学.科网求的分布列为，在根据期望公式求解..‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 试题解析：（Ⅰ）设表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于1，故 ‎（Ⅱ）设表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于3，故 又，故 因此所求概率为 ‎ （Ⅲ）记续保人本年度的保费为，则的分布列为 因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为 考点： 条件概率，随机变量的分布列、期望.‎ ‎【结束】‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）证，再证，最后证；（Ⅱ）用向量法求解.‎ 试题解析：（I）由已知得，，又由得，故.‎ 因此，从而.由,得.‎ 由得.学.科网所以，.‎ 于是，，‎ 故.‎ 又，而，‎ 所以.‎ ‎（II）如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，学.科网建立空间直角坐标 系，则，，，，，，，.设是平面的法向量，则，即，所以可以取.设是平面的法向量，则，即，所以可以取.于是， .因此二面角的正弦值是.‎ 考点：线面垂直的判定、二面角. ‎ ‎【结束】‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先求直线的方程，再求点的纵坐标，最后求的面积；（Ⅱ）设，，将直线的方程与椭圆方程组成方程组，消去，用表示，从而表示，同理用表示，再由求.‎ 试题解析：（I）设，则由题意知，当时，的方程为，.‎ 由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.因此直线的方程为.‎ 将代入得.解得或，学.科网所以.‎ 因此的面积.‎ ‎（II）由题意，，.‎ 将直线的方程代入得.‎ 由得，故.‎ 由题设，直线的方程为，故同理可得，‎ 由得，学科&网即.‎ 当时上式不成立，‎ 因此.等价于，‎ 即.由此得，或，解得.‎ 因此的取值范围是.‎ 考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系. ‎ ‎【结束】‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先求定义域，用导数法求函数的单调性，学科&网当时，证明结论；（Ⅱ）用导数法求函数的最值，在构造新函数，又用导数法求解.‎ 试题解析：（Ⅰ）的定义域为.‎ 且仅当时，，所以在单调递增，‎ 因此当时，‎ 所以 ‎（II）‎ 由（I）知，单调递增，对任意 因此，存在唯一使得即，‎ 当时，单调递减；‎ 当时，单调递增.‎ 因此在处取得最小值，最小值为 于是，由单调递增 所以，由得 因为单调递增，对任意存在唯一的 使得所以的值域是 综上，当时，有，的值域是 考点： 函数的单调性、极值与最值.‎ ‎【结束】‎ 请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 ‎（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）证再证四点共圆；（Ⅱ）证明四边形的面积是面积的2倍.‎ 试题解析：（I）学科&网因为,所以 则有 所以由此可得 由此所以四点共圆.‎ ‎（II）由四点共圆，知，连结，‎ 由为斜边的中点，知,故 因此四边形的面积是面积的2倍，即 考点： 三角形相似、全等，四点共圆 ‎【结束】‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）利用，可得C的极坐标方程；（II）先将直线的参数方程化为普通方程，再利用弦长公式可得的斜率．‎ 试题解析：（I）由可得的极坐标方程 ‎（II）在（I）中建立的极坐标系中，学科&网直线的极坐标方程为 由所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得 于是 由得，‎ 所以的斜率为或.‎ 考点：圆的极坐标方程与普通方程互化， 直线的参数方程，点到直线的距离公式.‎ ‎【结束】‎ ‎（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）先去掉绝对值，再分，和三种情况解不等式，即可得；（II）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当，时，．‎ 试题解析：（I）‎ 当时，学科&网由得解得；‎ 当时， ；‎ 当时，由得解得.‎ 所以的解集.‎ ‎（II）由（I）知，当时，，从而 ‎，‎ 因此 考点：绝对值不等式，不等式的证明. ‎