【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第九章第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系学案
第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
[学生用书P151]
1．直线与圆的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，
圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
方法
位置关系
几何法
代数法
相交
d
0
相切
d＝r
Δ＝0
相离
d>r
Δ<0
2.圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)．
方法
位置关系
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
外离
d>r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2|0，所以直线l与圆相交．
法二：由题意知，圆心(0，1)到直线l的距离d＝<1<，故直线l与圆相交．
法三：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1，1)，因为点(1，1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆相交．
(2)由x2＋y2－2x－2y＋1＝0得(x－1)2＋(y－1)2＝1，
因为直线x＋my＝2＋m与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相交，所以<1，即1＋m2>1，
所以m≠0，即m∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．
【答案】 (1)A (2)D
判断直线与圆的位置关系常见的方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．
[通关练习]
1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外， 则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A．相切 B.相交
C．相离 D．不确定
解析：选B.因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，
所以a2＋b2＞1，
从而圆心O到直线ax＋by＝1的距离
d＝＝＜1，
所以直线与圆相交．
2．过点A(，1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是____________．
解析：(1)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程是x＝，此时直线l与圆相离，没有公共点，不符合题意．
(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为
y－1＝k(x－)，即kx－y－k＋1＝0.
因为直线l和圆有公共点，
所以圆心到直线的距离小于或等于半径，则
≤1，计算得0≤k≤，
所以直线l的倾斜角的取值范围是.
答案：
直线与圆的相交关系及应用(高频考点)[学生用书P152]
直线与圆的相交关系是每年高考的热点，主要涉及弦长问题以及函数与方程思想的应用．难度中等及以上．主要命题角度有：
(1)求弦长；
(2)已知弦长求参数；
(3)利用“设而不求”思想解决直线与圆的位置关系．
[典例引领]
角度一 求弦长
(2016·高考全国卷Ⅲ)已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2，则|CD|＝________．
【解析】 设圆心到直线l：mx＋y＋3m－＝0的距离为d，则弦长|AB|＝2＝2，得d＝3，即＝3，解得m＝－，则直线l：x－y＋6＝0，数形结合可得|CD|＝＝4.
【答案】 4
角度二 已知弦长求参数
(2016·高考全国卷Ⅰ)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B
两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________．
【解析】 圆C的方程可化为x2＋(y－a)2＝a2＋2，可得圆心的坐标为C(0，a)，半径r＝，所以圆心到直线x－y＋2a＝0的距离为＝，所以＋()2＝()2，解得a2＝2，所以圆C的半径为2，所以圆C的面积为4π.
【答案】 4π
角度三 利用“设而不求”思想解决直线与圆的位置关系
(2017·高考全国卷Ⅲ)已知抛物线C：y2＝2x，过点(2，0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
(1)证明：坐标原点O在圆M上；
(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程．
【解】 (1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2.
由可得y2－2my－4＝0，则y1y2＝－4.
又x1＝，x2＝，故x1x2＝＝4.
因此OA的斜率与OB的斜率之积为·＝＝－1，所以OA⊥OB.
故坐标原点O在圆M上．
(2)由(1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4.
故圆心M的坐标为(m2＋2，m)，圆M的半径r＝.
由于圆M过点P(4，－2)，因此·＝0，故(x1－4)·(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0，
即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0.
由(1)可得y1y2＝－4，x1x2＝4.
所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－.
当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆心M的坐标为(3，1)，圆M的半径为，圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.
当m＝－时，直线l的方程为2x＋y－4＝0，圆心M的坐标为，圆M的半径为，圆M的方程为＋＝.
解有关弦长问题的两种方法
(1)几何法：直线被圆截得的半弦长、弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，且r2＝
eq blc(rc)(avs4alco1(f(l,2)))＋d2；
(2)代数法：联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|＝|x1－x2|＝·或|AB|＝|y1－y2|＝·(k≠0)．
[通关练习]
(2017·高考全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0，1)，当m变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
解：(1)不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：
设A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，所以x1x2＝－2.
又C的坐标为(0，1)，故AC的斜率与BC的斜率之积为·＝－，所以不能出现AC⊥BC的情况．
(2)证明：BC的中点坐标为，可得BC的中垂线方程为y－＝x2.
由(1)可得x1＋x2＝－m，所以AB的中垂线方程为x＝－.
联立
又x＋mx2－2＝0，可得
所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为(－，－)，半径r＝.故圆在y轴上截得的弦长为2＝3，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
直线与圆的相切关系及应用
(高频考点)[学生用书P153]
直线与圆的相切关系是每年高考的重点，主要涉及切线方程、切线长以及与之相关的最值问题，题型多为选择题、填空题，有时也出现在解答题中．主要命题角度有：
(1)切线方程问题；
(2)切线长问题．
[典例引领]
角度一 切线方程问题
已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．
(1)与直线l1：x＋y－4＝0平行；
(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；
(3)过切点A(4，－1)．
【解】 (1)设切线方程为x＋y＋b＝0，
则＝，所以b＝1±2，
所以切线方程为x＋y＋1±2＝0.
(2)设切线方程为2x＋y＋m＝0，
则＝，
所以m＝±5，
所以切线方程为2x＋y±5＝0.
(3)因为kAC＝＝，
所以过切点A(4，－1)的切线斜率为－3，
所以过切点A(4，－1)的切线方程为y＋1＝－3(x－4)，
即3x＋y－11＝0.
角度二 切线长问题
(2018·湖南四地联考)若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，过点(a，b)作圆的切线，则切线长的最小值是( )
A．2 B.3
C．4 D．6
【解析】 圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝2，所以圆心为点(－1，2)，半径为.
因为圆C关于直线2ax＋by＋6＝0对称，
所以圆心C在直线2ax＋by＋6＝0上，所以－2a＋2b＋6＝0，即b＝a－3，点(a，b)到圆心的距离d＝＝＝＝.所以当a＝2时，d取最小值＝3，此时切线长最小，为＝＝4，所以选C.
【答案】 C
(1)求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程
先求切点与圆心连线的斜率k，由垂直关系知切线斜率为－，由点斜式方程可求得切线方程．若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程为x＝x0.
(2)求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程
①几何法：当切线斜率存在时，设斜率为k，切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，可得出k的值，进而求出切线方程．
②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由判别式Δ＝0，求得k，切线方程即可求出．
[注意] 在求过一定点的圆的切线方程时，应先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线有两条；若点在圆内，则切线不存在．
[通关练习]
已知点P(＋1，2－)，点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过点P的圆C的切线方程；
(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
解：由题意得圆心C(1，2)，半径长r＝2.
(1)因为(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4，所以点P在圆C上．
又kPC＝＝－1，
所以切线的斜率k＝－＝1.
所以过点P的圆C的切线方程是y－(2－)＝1×[x－(＋1)]，即x－y＋1－2＝0.
(2)因为(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，所以点M在圆C外部．
当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，
即x－3＝0.
又点C(1，2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，
即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线．
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，
即kx－y＋1－3k＝0，
则圆心C到切线的距离d＝＝r＝2，
解得k＝.所以切线方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.
当切线为3x－4y－5＝0时，
因为|MC|＝＝，所以过点M的圆C的切线长为＝
＝1.
当切线为x＝3时，切线长为1.
圆与圆的位置关系[学生用书P154]
[典例引领]
(1)已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，则ab的最大值为( )
A. B.
C. D．2
(2)若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．
【解析】 (1)圆C1的圆心坐标为(a，－2)，半径r1＝2；
圆C2的圆心坐标为(－b，－2)，半径r2＝1，
两圆外切，则有＝r1＋r2＝3，
所以|a＋b|＝3.则ab≤＝，当a＝b＝或a＝b＝－时等号成立，即ab的最大值为.
(2)因为两圆在点A处的切线互相垂直，所以OA⊥O1A，
所以|OO1|＝＝5，
故m＝±5，连接AB，交x轴于点C，由对称性知|AB|＝2|AC|＝2×2×＝4.
【答案】 (1)C (2)4
1.本例(1)条件中“外切”变为“内切”，求ab的最大值．
解：由C1与C2内切，得＝1.
即(a＋b)2＝1，又ab≤＝，
当且仅当a＝b时等号成立，故ab的最大值为.
2.本例(1)条件“外切”变为“相交”，求公共弦所在的直线方程．
解：由题意得，把圆C1，圆C2的方程都化为一般方程．
圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2＝0，①
圆C2：x2＋y2＋2bx＋4y＋b2＋3＝0，②
由②－①得(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0，
即(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0(1<|a＋b|<)为所求公共弦所在直线方程．
3．本例(1)条件“相外切”变为“若两圆有四条公切线”，判断直线x＋y－1＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝1的位置关系．
解：由两圆存在四条公切线，故两圆外离，
>3，
所以(a＋b)2>9.即a＋b>3或a＋b<－3.
又圆心(a，b)到直线x＋y－1＝0的距离d＝>1，
所以直线x＋y－1＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝1相离．
(1)判断两圆位置关系的方法
常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法．
(2)两圆公共弦长的求法
两圆公共弦长，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．
[注意] (1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程．
(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心．
(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单且易求．
[通关练习]
1．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2.则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B.相交
C．外切 D．相离
解析：选B.由题知圆M：x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，所以2＝2，解得a＝2.圆M，圆N的圆心距|MN|＝<1＋2，两圆半径之差为1，故两圆相交．
2．如果圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O：x2＋y2＝4总相交，那么实数a的取值范围是_______________________________．
解析：圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝4，圆心坐标为(a，a)，半径为2.
依题意得0<<2＋2，所以0<|a|<2.
所以a∈(－2，0)∪(0，2)．
答案：(－2，0)∪(0，2)
研究直线与圆相交问题的方法技巧
当直线与圆相交时，讨论直线被圆截得的弦长问题是高考中常见的题型，此时要充分考虑与圆相关的平面几何知识的运用：(1)垂直于弦的直径平分这条弦；(2)圆心与弦的中点连线垂直于这条弦；(3)d2＋()2＝r2.(其d为弦心距，l为弦长)
与圆的切线有关的结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则过A、B两点的直线方程为x0x＋y0y＝r2.
(4)过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点P(x0，y0)引圆的切线，切点为T，则切线长为|PT|＝.
(5)过圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)外一点P(x0，y0)作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(6)若圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，则过圆外一点P(x0，y0)的切线长d＝.
解决圆的切线问题应注意的问题
过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑不存在的情况，以防漏解．
[学生用书P315(单独成册)]
1．若直线l：y＝kx＋1(k<0)与圆C：x2＋4x＋y2－2y＋3＝0相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是( )
A．相交 B.相切
C．相离 D．不确定
解析：选A.因为圆C的标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝2，所以其圆心坐标为(－2，1)，半径为，
因为直线l与圆C相切．
所以＝，解得k＝±1，
因为k<0，所以k＝－1，
所以直线l的方程为x＋y－1＝0.圆心D(2，0)到直线l的距离d＝＝<，所以直线l与圆D相交．
2．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为( )
A．－1或 B.1或3
C．－2或6 D．0或4
解析：选D.因为圆(x－a)2＋y2＝4，
所以圆心为(a，0)，半径为2，
圆心到直线的距离为d＝，
因为d2＋＝r2，
解得a＝4或a＝0.故选D.
3．过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )
A．2x＋y－5＝0 B.2x＋y－7＝0
C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0
解析：选B.因为过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，
所以点(3，1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，
连接圆心与切点连线的斜率为
k＝＝，
所以切线的斜率为－2，
则圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，
即2x＋y－7＝0.故选B.
4．过点(－2，3)的直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|取得最小值时l的方程为( )
A．x－y＋5＝0 B.x＋y－1＝0
C．x－y－5＝0 D．2x＋y＋1＝0
解析：选A.由题意得圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，则圆心为(－1，2)．过圆心与点(－2，3)的直线l1的斜率为k＝＝－1.
当直线l与l1垂直时，|AB|取得最小值，故直线l的斜率为1，所以直线l的方程为y－3＝x－(－2)，即x－y＋5＝0.
5．过点(1，－2)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A、B，则AB所在直线的方程为( )
A．y＝－ B.y＝－
C．y＝－ D．y＝－
解析：选B.圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1，0)，半径为1，
以＝2为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，
将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，
即y＝－.故选B.
6．若直线y＝－x－2与圆x2＋y2－2x＝15相交于点A，B，则弦AB的垂直平分线的方程为________．
解析：圆的方程可整理为(x－1)2＋y2＝16，
所以圆心坐标为(1，0)，半径r＝4，易知弦AB的垂直平分线l过圆心，且与直线AB垂直，而kAB＝－，所以kl＝2.
由点斜式方程可得直线l的方程为y－0＝2(x－1)，即y＝2x－2.
答案：y＝2x－2
7．已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为________．
解析：由x2＋y2＋2x－4y－4＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝9，所以圆C的圆心坐标为C(－1，2)，半径为3.由AC⊥BC可知△ABC是直角边长为3的等腰直角三角形，故可得圆心C到直线x－y＋a＝0的距离为，由点到直线的距离公式可得＝，解得a＝0或a＝6.
答案：0或6
8．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知直线l：x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A、B两点，过A、B分别作l的垂线与x轴交于C、D两点，则|CD|＝________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，0)，D(x4，0)，由x－y＋6＝0，得x＝y－6，代入圆的方程，并整理，得y2－3y＋6＝0，解得y1＝2，y2＝，所以x1＝0，x2＝－3，所以直线AC的方程为y－2＝－x，令y＝0得x3＝2，直线BD的方程为y－＝－(x＋3)，令y＝0得x4＝－2，则|CD|＝|x3－x4|＝4.
答案：4
9．已知圆C经过点A(2，－1)，和直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上．
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．
解：(1)设圆心的坐标为C(a，－2a)，
则＝.化简，
得a2－2a＋1＝0，解得a＝1.
所以C(1，－2)，半径|AC|＝＝.
所以圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.
(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件．
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx，由题意得＝1，
解得k＝－，所以直线l的方程为y＝－x.
综上所述，直线l的方程为x＝0或3x＋4y＝0.
10．已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
解：(1)由题设可知直线l的方程为y＝kx＋1.
因为直线l与圆C交于两点，所以＜1，
解得＜k＜.
所以k的取值范围为.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，
整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1
＝＋8.
由题设可得＋8＝12，解得k＝1，所以直线l的方程为y＝x＋1.
故圆心C在直线l上，所以|MN|＝2.
1．已知直线ax＋y－1＝0与圆C：(x－1)2＋(y＋a)2＝1相交于A、B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为( )
A.或－1 B.－1
C．1或－1 D．1
解析：选C.由题意得圆心(1，－a)到直线ax＋y－1＝0的距离为，
所以＝，
解得a＝±1，故选C.
2．已知直线3x＋4y－15＝0与圆O：x2＋y2＝25交于A，B两点，点C在圆O上，且S△ABC＝8，则满足条件的点C的个数为( )
A．1 B.2
C．3 D．4
解析：选C.圆心O到已知直线的距离为d＝＝3，因此|AB|＝2＝8，设点C到直线AB的距离为h，则S△ABC＝×8×h＝8，h＝2，由于d＋h＝3＋2＝5＝r(圆的半径)，因此与直线AB距离为2的两条直线中的一条与圆相切，一条与圆相交，故符合条件的点C有三个．
3．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝________．
解析：由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，所以圆心C(2，1)在直线x＋ay－1＝0上，所以2＋a－1＝0，所以a＝－1，所以A(－4，－1)．
所以|AC|2＝36＋4＝40.又r＝2，所以|AB|2＝40－4＝36.所以|AB|＝6.
答案：6
4．过直线kx＋y＋3＝0上一点P作圆x2＋y2－2y＝0的切线，切点为Q.若|PQ|＝，则实数k的取值范围是________．
解析：圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心为(0，1)，半径为r＝1.根据题意，PQ是圆C：x2＋y2－2y＝0的一条切线，Q是切点，|PQ|＝，则|PC|＝2.当PC与直线kx＋y＋3＝0垂直时，圆心到直线的距离最大．由点到直线的距离公式得≤2，解得k∈(－∞，－]∪[，＋∞)．
答案：(－∞，－]∪[，＋∞)
5．已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
解：(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0，4)，半径为4.
设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x，2－y)．
由题设知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，
即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于点P在圆C的内部，
所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆．
由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上．
又P在圆N上，从而ON⊥PM.
因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，
故l的方程为y＝－x＋.
又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距离为，|PM|＝，所以△POM的面积为.
6．如图，已知圆C与y轴相切于点T(0，2)，与x轴的正半轴交于两点M，N(点M在点N的左侧)，且|MN|＝3.
(1)求圆C的方程；
(2)过点M任作一直线与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，连接AN，BN，求证：kAN＋kBN为定值．
解：(1)因为圆C与y轴相切于点T(0，2)，可设圆心的坐标为(m，2)(m>0)，
则圆C的半径为m，又|MN|＝3，所以m2＝4＋()2＝，解得m＝，所以圆C的方程为(x－)2＋(y－2)2＝.
(2)证明：由(1)知M(1，0)，N(4，0)，当直线AB的斜率为0时，易知kAN＝kBN＝0，即kAN＋kBN＝0.
当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝1＋ty，将x＝1＋ty代入x2＋y2－4＝0，并整理得，(t2＋1)y2＋2ty－3＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以，则kAN＋kBN＝＋＝＋＝＝＝0.
综上可知，kAN＋kBN为定值．
