2020全国中考数学试卷分类汇编(2)专题23 直角三角形与勾股定理

2020全国中考数学试卷分类汇编(2)专题23 直角三角形与勾股定理

直角三角形与勾股定理 ‎ 一.选择题 ‎1. （2020•四川省自贡市•4分）如图，在△中，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接;则的度数为（）‎ ‎ A. 50° B. 40° C. 30° D. 20°‎ ‎【解析】∵∠A=50°，可得∠B=40°，∵BC=BD，∴∠BCD=∠BDC，∵∠B+∠BCD+∠BDC=180°，∴∠BCD=70°，∴∠ACD=90°-70°=20°，故答案为D ‎2.（2020•内蒙古包头市•3分）如图，在中，，D是的中点，，交的延长线于点E．若，，则的长为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意将BD，BC算出来，再利用勾股定理列出方程组解出即可．‎ ‎【详解】∵AC=2，BC=，‎ ‎∴，‎ ‎∵D是AB的中点，‎ ‎∴AD=CD=BD=．‎ 由题意可得:‎ 两式相减得: ，‎ 解得DE=，BE=，‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查直角三角形中点性质和勾股定理，关键在于找出等式列出方程组．‎ ‎3.（2020•广东省广州市•3分）往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，根据垂径定理即可求得AD的长，又由⊙O的直径为，求得OA的长，然后根据勾股定理，即可求得OD的长，进而求得油的最大深度的长．‎ ‎【详解】解：过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，‎ 由垂径定理得：，‎ ‎∵⊙O的直径为，‎ ‎∴，‎ 在中，由勾股定理得：，‎ ‎∴，‎ ‎∴油的最大深度为，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了垂径定理的知识．此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法，构造直角三角形，利用勾股定理解决．‎ ‎2. （2020•山东淄博市•4分）如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（　　）‎ A．a2+b2＝5c2 B．a2+b2＝4c2 C．a2+b2＝3c2 D．a2+b2＝2c2‎ ‎【分析】设EF＝x，DF＝y，根据三角形重心的性质得AF＝2y，BF＝2EF＝2x，利用勾股定理得到4x2+4y2＝c2，4x2+y2＝b2，x2+4y2＝a2，然后利用加减消元法消去x、y得到A.B.c的关系．‎ ‎【解答】解：设EF＝x，DF＝y，‎ ‎∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，‎ ‎∴点F为△ABC的重心，AF＝AC＝b，BD＝a，‎ ‎∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，‎ ‎∵AD⊥BE，‎ ‎∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，‎ 在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①‎ 在Rt△AEF中，4x2+y2＝b2，②‎ 在Rt△BFD中，x2+4y2＝a2，③‎ ‎②+③得5x2+5y2＝（a2+b2），‎ ‎∴4x2+4y2＝（a2+b2），④‎ ‎①﹣④得c2﹣（a2+b2）＝0，‎ 即a2+b2＝5c2．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查了勾股定理．‎ ‎4. （2020•陕西•3分）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由勾股定理得：AC＝＝，‎ ‎∵S△ABC＝3×3﹣＝3.5，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴BD＝，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．‎ ‎5. （2020•山东济宁市•3分）如图，在△ABC中点D为△ABC的内心，∠A=60°，CD=2，BD=4．则△DBC的面积是（ ）‎ A. 4 B. 2 C. 2 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过点B作BH⊥CD于点H．由点D为△ABC的内心，∠A=60°，得∠BDC=120°，则∠BDH=60°，由BD=4，BD：CD=2：1得BH=2，CD=2，于是求出△DBC的面积．‎ ‎【详解】解：过点B作BH⊥CD于点H．‎ ‎∵点D为△ABC的内心，∠A=60°，‎ ‎∴∠BDC=90°+∠A=90°+×60°=120°，‎ 则∠BDH=60°，‎ ‎∵BD=4，BD：CD=2：1‎ ‎∴DH=2，BH=2，CD=2，‎ ‎∴△DBC的面积为CD•BH=×2×2=2.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了三角形内心的相关计算，熟练运用含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．‎ 二.填空题 ‎1.（2020•宁夏省•3分）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED＝1寸，锯道长AB＝1尺（1尺＝10寸）．问这根圆形木材的直径是　26　寸．‎ ‎【分析】根据题意可得OE⊥AB，由垂径定理可得尺＝5寸，设半径OA＝OE＝r，则OD＝r﹣1，在Rt△OAD中，根据勾股定理可得：（r﹣1）2+52＝r2，解方程可得出木材半径，即可得出木材直径．‎ ‎【解答】解：由题意可知OE⊥AB，‎ ‎∵OE为⊙O半径，‎ ‎∴尺＝5寸，‎ 设半径OA＝OE＝r，‎ ‎∵ED＝1，‎ ‎∴OD＝r﹣1，‎ 则Rt△OAD中，根据勾股定理可得：（r﹣1）2+52＝r2，‎ 解得：r＝13，‎ ‎∴木材直径为26寸；‎ 故答案为：26．‎ ‎【点评】本题考查垂径定理结合勾股定理计算半径长度．如果题干中出现弦的垂线或者弦的中点，则可验证是否满足垂径定理；与圆有关的题目中如果求弦长或者求半径直径，也可以从题中寻找是否有垂径定理，然后构造直角三角形，用勾股定理求解．‎ ‎2.（2020•贵州省安顺市•4分）如图，△ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD垂直于BE的延长线于点D，BD＝8，AC＝11，则边BC的长为　4　．‎ ‎【分析】延长BD到F，使得DF＝BD，根据等腰三角形的性质与判定，勾股定理即可求出答案．‎ ‎【解答】解：延长BD到F，使得DF＝BD，‎ ‎∵CD⊥BF，‎ ‎∴△BCF是等腰三角形，‎ ‎∴BC＝CF，‎ 过点C点作CH∥AB，交BF于点H ‎∴∠ABD＝∠CHD＝2∠CBD＝2∠F，‎ ‎∴HF＝HC，‎ ‎∵BD＝8，AC＝11，‎ ‎∴DH＝BH﹣BD＝AC﹣BD＝3，‎ ‎∴HF＝HC＝8﹣3＝5，‎ 在Rt△CDH，‎ ‎∴由勾股定理可知：CD＝4，‎ 在Rt△BCD中，‎ ‎∴BC＝＝4，‎ 故答案为：4‎ ‎【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质与判定，本题属于中等题型．‎ ‎3.（2020•山东东营市•4分）如图，在中，的半径为点是边上的动点，过点作的一条切线(其中点为切点)，则线段长度的最小值为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图：连接OP、OQ，根据，可得当OP⊥AB时，PQ最短；在中运用含30°的直角三角形的性质和勾股定理求得AB.AQ的长，然后再运用等面积法求得OP的长，最后运用勾股定理解答即可．‎ ‎【详解】解：如图：连接OP、OQ，‎ ‎∵是的一条切线 ‎∴PQ⊥OQ ‎∴‎ ‎∴当OP⊥AB时，PQ最短 在Rt△ABC中，‎ ‎∴AB=2OB=，AO=cos∠A·AB= ‎ ‎∵S△AOB= ‎ ‎∴，即OP=3‎ 在Rt△OPQ中，OP=3，OQ=1‎ ‎∴PQ=．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查了切线的性质、含30°直角三角形的性质、勾股定理等知识点，此正确作出辅助线、根据勾股定理确定当PO⊥AB时、线段PQ最短是解答本题的关键．‎ ‎4.（2020•山东菏泽市•3分）如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，点P在对角线BD上，且BP＝BA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为　3　．‎ ‎【分析】根据矩形的性质可得BD＝13，再根据BP＝BA可得DQ＝DP＝8，所以得CQ＝3，在Rt△BCQ中，根据勾股定理即可得BQ的长．‎ ‎【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，∠BAD＝∠BCD＝90°，‎ ‎∴BD＝＝13，‎ ‎∵BP＝BA＝5，‎ ‎∴PD＝BD﹣BP＝8，‎ ‎∵BA＝BP，‎ ‎∴∠BAP＝∠BPA＝∠DPQ，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠BAP＝∠DQP，‎ ‎∴∠DPQ＝∠DQP，‎ ‎∴DQ＝DP＝8，‎ ‎∴CQ＝DQ﹣CD＝DQ﹣AB＝8﹣5＝3，‎ ‎∴在Rt△BCQ中，根据勾股定理，得 BQ＝＝＝3．‎ 故答案为：3．‎ ‎【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．‎ ‎5.（2020•山东临沂市•3分）我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点A ‎（2，1）到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为　﹣1　．‎ ‎【分析】连接AO交⊙O于B，则线段AB的长度即为点A（2，1）到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离，根据勾股定理即可得到结论．‎ ‎【解答】解：连接AO交⊙O于B，‎ 则线段AB的长度即为点A（2，1）到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离，‎ ‎∵点A（2，1），‎ ‎∴OA＝＝，‎ ‎∵OB＝1，‎ ‎∴AB＝﹣1，‎ 即点A（2，1）到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为﹣1，‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎【点评】本题考查了坐标与图形性质，勾股定理，线段的性质，正确的理解题意是解题的关键．‎ ‎6. 2.（2020•广东省•4分）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫、老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如题17图，∠ABC=90°，点M、N分别在射线BA.BC上，MN长度始终不变，MN=4，E为MN的中点，点D到BA.BC的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为_________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 点B到点E的距离不变，点E在以B为圆心的圆上，线段BD与圆的交点即为所求最短距离的E点，BD=，BE=2‎ ‎【考点】直角三角形的性质、数学建模思想、最短距离问题 ‎7. （2020•四川省乐山市•3分）把两个含角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点为的中点，连结交于点．则=_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连接CE，设CD=2x，利用两个直角三角形的性质求得AD=4x，AC=2x，BC=x，AB=3，再由已知证得CE∥AB，则有，由角平分线的性质得，进而求得的值.‎ ‎【详解】连接CE，设CD=2x，‎ 在RtΔACD和RtΔABC中，∠BAC=∠CAD=30º，‎ ‎∴∠D=60º，AD=4x，AC=，‎ BC==x，AB=x，‎ ‎∵点E为AD的中点，‎ ‎∴CE=AE=DE==2x，‎ ‎∴ΔCED为等边三角形，‎ ‎∴∠CED=60º，‎ ‎∵∠BAD=∠BAE+∠CAD=30º+30º=60º，‎ ‎∴∠CED=∠BAD，‎ ‎∴AB∥CE，‎ ‎∴，‎ 在ΔBAE中，∵∠BAE=∠CAD=30º ‎∴AF平分∠BAE，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了含30º的直角三角形、等边三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、角平分线的性质等知识，是一道综合性很强的填空题，解答的关键是认真审题，找到相关知识的联系，确定解题思路，进而探究、推理并计算.‎ 三.解答题 ‎1.（2020•广东省深圳市•9分）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按背景图位置摆放（点E，A，D在同一条直线上），‎ 发现BE=DG且BE⊥DG。‎ 小组讨论后，提出了三个问题，请你帮助解答：‎ ‎（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转，（如图1）还能得到BE=DG吗？如果能，请给出证明．如 若不能，请说明理由：‎ ‎（2）把背景中的正方形分别改为菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，（如图2）试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE=DG仍成立？请说明理由；‎ ‎（3）把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE=4，AB=8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG。小组发现：在旋转过程中， BG2+DE2是定值，请求出这个定值 背景图 图3‎ 图2‎ 图1‎ ‎【考点】手拉手，相似，勾股 ‎【解析】‎ 解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形 ‎∴AB=AD，‎ ‎∵四边形AEFG为正方形 ‎∴AE=AG，‎ ‎∴‎ 在△EAB和△GAD中有：‎ ‎∴△EAB≌△GAD ‎∴BE=DG ‎(2)当∠EAG=∠BAD时，BE=DG成立。‎ 证明：∵四边形ABCD菱形 ‎∴AB=AD ‎∵四边形AEFG为正方形 ‎∴AE=AG ‎∵∠EAG=∠BAD ‎∴‎ ‎∴‎ 在△EAB和△GAD中有：‎ ‎∴△EAB≌△GAD ‎∴BE=DG ‎(3)连接EB，BD，设BE和GD相交于点H ‎∵四边形AEFG和ABCD为矩形 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴△EAB∽△GAD ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∴‎ ‎2.（2020•广东省•8分）已知关于x、y的方程组与的解相同．‎ ‎（1）求A.b的值；‎ ‎（2）若一个三角形的一条边的长为2，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b=0的解，试判断该三角形的形状，并说明理由．‎ ‎【答案】‎ 解：‎ （1） 由题意得，解得 由，解得 ‎（2）该三角形的形状是等腰直角三角形，理由如下：‎ 由（1）得x2﹣4x+12=0‎ ‎ （x-）2=0‎ ‎ x1=x2=‎ ‎∴该三角形的形状是等腰三角形 ‎∵（2）2=24，（）2=12‎ ‎∴（2）2=（）2+（）2‎ ‎∴该三角形的形状是等腰直角三角形 ‎【解析】理解方程组同解的概念，一元二次方程的解法、三角形形状的判断 ‎【考点】二元一次方程组、一元二次方程、勾股定理逆定理 ‎3.（2020•贵州省安顺市•10分）如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD交于点E，⊙O的切线AF交BD的延长线于点F，切点为A，且∠CAD＝‎ ‎∠ABD．‎ ‎（1）求证：AD＝CD；‎ ‎（2）若AB＝4，BF＝5，求sin∠BDC的值．‎ ‎【分析】（1）根据圆周角定理得∠ABD＝∠ACD，进而得∠ACD＝∠CAD，便可由等腰三角形判定定理得AD＝CD；‎ ‎（2）证明△ADF≌△ADE，得AE＝AF，DE＝DF，由勾股定理求得AF，由三角形面积公式求得AD，进而求得DE，BE，再证明△BEC∽△AED，得BC，进而求得sin∠BAC便可．‎ ‎【解答】解：（1）证明：∵∠CAD＝∠ABD，‎ 又∵∠ABD＝∠ACD，‎ ‎∴∠ACD＝∠CAD，‎ ‎∴AD＝CD；‎ ‎（2）∵AF是⊙O的切线，‎ ‎∴∠FAB＝90°，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB＝∠ADB＝∠ADF＝90°，‎ ‎∴∠ABD+∠BAD＝∠BAD+∠FAD＝90°，‎ ‎∴∠ABD＝∠FAD，‎ ‎∵∠ABD＝∠CAD，‎ ‎∴∠FAD＝∠EAD，‎ ‎∵AD＝AD，‎ ‎∴△ADF≌△ADE（ASA），‎ ‎∴AF＝AE，DF＝DE，‎ ‎∵AB＝4，BF＝5，‎ ‎∴AF＝，‎ ‎∴AE＝AF＝3，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴DE＝，‎ ‎∴BE＝BF﹣2DE＝，‎ ‎∵∠AED＝∠BEC，∠ADE＝∠BCE＝90°，‎ ‎∴△BEC∽△AED，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵∠BDC＝∠BAC，‎ ‎∴．‎ ‎【点评】本题主要考查了圆的切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形的应用，勾股定理，关键是证明三角形全等与相似．‎ ‎4.（2020•贵州省安顺市•8分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．‎ ‎（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；‎ ‎（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；‎ ‎（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．‎ ‎【分析】（1）构造边长3，4，5的直角三角形即可．‎ ‎（2）构造直角边为2，斜边为4的直角三角形即可（答案不唯一）．‎ ‎（3）构造三边分别为2，，的直角三角形即可．‎ ‎【解答】解：（1）如图①中，△ABC即为所求．‎ ‎（2）如图②中，△ABC即为所求．‎ ‎（3）△ABC即为所求．‎ ‎【点评】本题考查作图﹣应用与设计，无理数，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．‎ ‎5. （2020•山东淄博市•8分）如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A→C→B方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B的笔直公路．请结合∠A＝45°，∠B＝30°，BC＝100千米，≈1.4，≈1.7等数据信息，解答下列问题：‎ ‎（1）公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？‎ ‎（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？‎ ‎【分析】（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△BCD中，解直角三角形求出CD的长度和BD的长度，在直角△ACD中，解直角三角形求出AD的长度和AC的长度，再求出AB的长度，进而求出从A地到景区B旅游可以少走多少千米；‎ ‎（2）本题先由题意找出等量关系即原计划的工作时间﹣实际的工作时间＝50，然后列出方程可求出结果，最后检验并作答．‎ ‎【解答】解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，‎ 在直角△BCD中，AB⊥CD，sin30°＝，BC＝1000千米，‎ ‎∴CD＝BC•sin30°＝100×＝50（千米），‎ BD＝BC•cos30°＝100×＝50（千米），‎ 在直角△ACD中，AD＝CD＝50（千米），‎ AC＝＝50（千米），‎ ‎∴AB＝50+50（千米），‎ ‎∴从A地到景区B旅游可以少走：AC+BC﹣AB＝50+100﹣（50+50）＝50+50﹣50≈35（千米）．‎ 答：从A地到景区B旅游可以少走35千米；‎ ‎（2）设施工队原计划每天修建x千米，依题意有，‎ ‎﹣＝50，‎ 解得x＝＝0.54，‎ 经检验x＝0.54是原分式方程的解．‎ 答：施工队原计划每天修建0.54千米．‎ ‎【点评】本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形的知识，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．同时考查了分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即①根据题意找出等量关系，②列出方程，③解出分式方程，④检验，⑤作答．注意：分式方程的解必须检验．‎ ‎6. （2020•四川省成都市•8分）成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一，现已成为外地游客到成都旅游打卡的网红地．如图，为测量电视塔观景台处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼顶处测得塔处的仰角为45°，塔底部处的俯角为22°．已知建筑物的高约为61米，请计算观景台的高的值．‎ ‎（结果精确到1米；参考数据：，，）‎ ‎【答案】观景台的高约为214米．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过点D作DM⊥AB于点M，由题意可得四边形DCBM是矩形，由矩形的性质可得BM=CD=61米；在Rt△BDM中，∠BDM=22°，BM=61米，由此可得tan22°=，即可求得DM=152.5米；再证明△ADM为等腰直角三角形，可得DM=AM=152.5‎ 米，由此即可求得观景台的高的长．‎ ‎【详解】过点D作DM⊥AB于点M，由题意可得四边形DCBM是矩形，‎ ‎∴BM=CD=61米，‎ 在Rt△BDM中，∠BDM=22°，BM=61米， tan∠BDM=，‎ ‎∴tan22°=，‎ 解得，DM=152.5米；‎ ‎∵∠ADM=45°，DM⊥AB，‎ ‎∴△ADM为等腰直角三角形，‎ ‎∴DM=AM=152.5米，‎ ‎∴AB=BM+AM=61+152.5=213.5≈214（米）．‎ 答：观景台的高约为214米．‎ ‎【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线，构建直角三角形是解决问题的关键．‎ ‎7. （2020•四川省甘孜州•8分）热气球的探测器显示，从热气球A处看大楼BC顶部C的仰角为30°，看大楼底部B的俯角为45°，热气球与该楼的水平距离AD为60米，求大楼BC的高度．（结果精确到1米，参考数据：）‎ ‎【答案】这栋楼的高度约为95米．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正切函数分别在Rt△ABD与Rt△ACD中求得BD与CD的长即可．‎ ‎【详解】由题意可知，，米，‎ 在中，(米)，‎ 在中，(米)，‎ ‎ (米)．‎ 答：这栋楼的高度约为95米．‎ ‎【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，准确确定直角三角形，灵活运用相关知识是解此题的关键．‎ ‎8. （2020•北京市•7分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线AC上一动点，连接DE．过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．‎ ‎（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设AE＝a，BF＝b，求EF的长（用含a，b的式子表示）；‎ ‎（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．‎ ‎【分析】（1）由三角形的中位线定理得DE∥BC，DE＝，进而证明四边形CEDF是矩形得DE＝CF，得出CF，再根据勾股定理得结果；‎ ‎（2）过点B作BM∥AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，证明△ADE≌△BDM得AE＝BM，DE＝DM，由垂直平分线的判定定理得EF＝MF，进而根据勾股定理得结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵D是AB的中点，E是线段AC的中点，‎ ‎∴DE∥BC，DE＝BC，‎ ‎∵∠ACB＝90°，‎ ‎∴∠DEC＝90°，‎ ‎∵DF⊥DE，‎ ‎∴∠EDF＝90°，‎ ‎∴四边形CEDF是矩形，‎ ‎∴DE＝CF＝BC，‎ ‎∴CF＝BF＝b，‎ ‎∵CE＝AE＝a，‎ ‎∴EF＝；‎ ‎（2）AE2+BF2＝EF2．‎ 证明：过点B作BM∥AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，‎ 则∠AED＝∠BMD，∠CBM＝∠ACB＝90°，‎ ‎∵D点是AB的中点，‎ ‎∴AD＝BD，‎ 在△ADE和△BDM中，‎ ‎，‎ ‎∴△ADE≌△BDM（AAS），‎ ‎∴AE＝BM，DE＝DM，‎ ‎∵DF⊥DE，‎ ‎∴EF＝MF，‎ ‎∵BM2+BF2＝MF2，‎ ‎∴AE2+BF2＝EF2．‎ ‎【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂直平分线的判定，关键在于构造全等三角形．‎