2020全国中考数学试卷分类汇编(2)专题39 开放性问题

2020全国中考数学试卷分类汇编(2)专题39 开放性问题

开放性问题 ‎ 一.选择题 ‎ ‎1.‎ 二.填空题 ‎1.‎ 三.解答题 ‎1.（2020•广东省•10分）如题25图，抛物线y=与x轴交于点A.B，点A.B分别位于原点的左、右两侧，BO=3AO=3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C.D，BC=CD．‎ ‎（1）求B.c的值；‎ ‎（2）求直线BD的直线解析式；‎ ‎（3）点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．‎ ‎【答案】‎ 解：（1）由题意得A（-1，0），B（3，0），代入抛物线解析式得 ‎，解得 ‎（2）过点D作DE⊥x轴交于点E ‎∵OC∥OC，BC=CD，OB=3‎ ‎∴‎ ‎∴OE=‎ ‎∴点D的横坐标为xD=-‎ ‎∵点D是射线BC与抛物线的交点 ‎∴把xD=-代入抛物线解析式得yD=+1‎ ‎∴D(-，+1)‎ 设直线BD解析式为y=kx+m，将B（3，0）、D(-，+1)代入 ‎，解得 ‎∴直线BD的直线解析式为y=‎ ‎（3）由题意得tan∠ABD=，tan∠ADB=1‎ 由题意得抛物线的对称轴为直线x=1，设对称轴与x轴交点为M，P（1，n）且n＜0，Q（x，0）且x＜3‎ ‎①当△PBQ∽△ABD时，tan∠PBQ=tan∠ABD即=，解得-n=‎ tan∠PQB=tan∠ADB，即=1，解得x=‎ ‎②当△PQB∽△ABD时，tan∠PBQ=tan∠ADB即=1，解得-n=2‎ tan∠QPB=tan∠ABD，即=，解得x=‎ ‎③当△PQB∽△DAB时，tan∠PBQ=tan∠ABD即=，解得-n=‎ tan∠PQM=tan∠DAE，即=，解得x=‎ ‎④当△PQB∽△ABD时，tan∠PBQ=tan∠ABD即=1，解得-n=2‎ tan∠PQM=tan∠DAE，即=，解得x=‎ 综上所述，Q1（，0）、Q2（，0）、Q3（，0）、Q4（，0）‎ ‎【解析】分类讨论不重不漏，计算能力要求高 ‎【考点】一次函数、二次函数、平面直角坐标系、相似三角形、三角函数、分类讨论、二次根式计算 ‎2．（2020•广西省玉林市•12分）如图，已知抛物线：y1＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．‎ ‎（1）直接写出点A，B，C的坐标；‎ ‎（2）将抛物线y1经过向右与向下平移，使得到的抛物线y2与x轴交于B，B'两点（B'在B的右侧），顶点D的对应点为点D'，若∠BD'B'＝90°，求点B'的坐标及抛物线y2的解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若点Q在x轴上，则在抛物线y1或y2上是否存在点P，使以B′，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）令x＝0或y1＝0，解方程可得结论．‎ ‎（2）设平移后的抛物线的解析式为y2＝﹣（x﹣a）2+b，如图1中，过点D′作D′H⊥OB′于H．，连接BD′，B′D′．构建方程组解决问题即可．‎ ‎（3）观察图象可知，当点P的纵坐标为3或﹣3时，存在满足条件的平行四边形．分别令y1和y2等于3或﹣3，解方程即可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）对于y1＝﹣x2﹣2x+3，令y1＝0，得到﹣x2﹣2x+3＝0，解得x＝﹣3或1，‎ ‎∴A（﹣3，0），B（1，0），‎ 令x＝0，得到y1＝3，‎ ‎∴C（0，3）．‎ ‎（2）设平移后的抛物线的解析式为y2＝﹣（x﹣a）2+b，‎ 如图1中，过点D′作D′H⊥OB′于H，连接BD′．‎ ‎∵D′是抛物线的顶点，‎ ‎∴D′B＝D′B′，D′（a，b），‎ ‎∵∠BD′B′＝90°，D′H⊥BB′，‎ ‎∴BH＝HB′，‎ ‎∴D′H＝BH＝HB′＝b，‎ ‎∴a＝1+b，‎ 又∵y2＝﹣（x﹣a）2+b，经过B（1，0），‎ ‎∴b＝（1﹣a）2，‎ 解得a＝2或1（不合题意舍弃），b＝1，‎ ‎∴B′（3，0），y2＝﹣（x﹣2）2+1＝﹣x2+4x﹣3．‎ ‎（3）如图2中，‎ 观察图象可知，当点P的纵坐标为3或﹣3时，存在满足条件的平行四边形．‎ 对于y1＝﹣x2﹣2x+3，令y1＝3，x2+2x＝0，解得x＝0或﹣2，可得P1（﹣2，3），‎ 令y1＝﹣3，则x2+2x﹣6＝0，解得x＝﹣1，可得P2（﹣1﹣，﹣3），P3（﹣1+，﹣3），‎ 对于y2＝﹣x2+4x﹣3，令y2＝3，方程无解，‎ 令y2＝﹣3，则x2﹣4x＝0，解得x＝0或4，可得P4（0，﹣3），P5（4，﹣3），‎ 综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣2，3）或（﹣1﹣，﹣3）或（﹣1+，﹣3）或（0，﹣3）或（4，﹣3）．‎ ‎【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．‎