2020全国中考数学试卷分类汇编(2)专题36 规律探索

2020全国中考数学试卷分类汇编(2)专题36 规律探索

规律探索 ‎ 一.选择题 ‎1. 2020年青海省观察下列各式的规律：①；②；③．请按以上规律写出第4个算式________．用含有字母的式子表示第n个算式为________．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）按照前三个算式的规律书写即可；‎ ‎（2）观察发现，算式序号与比序号大2的数的积减去比序号大1的数的平方，等于-1，根据此规律写出即可；‎ ‎【详解】（1），‎ ‎②，‎ ‎③，‎ ‎④；‎ 故答案为．‎ ‎（2）第n个式子为：．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了规律性数字变化类知识点，准确分析是做题的关键．‎ ‎2. 12．（2020山东省德州市4分）如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（　　）‎ A．148 B．152 C．174 D．202‎ ‎【分析】观察各图可知，后一个图案比前一个图案多2（n+3）枚棋子，然后写成第n个图案的通式，再取n＝10进行计算即可求解．‎ ‎【解答】解：根据图形，第1个图案有12枚棋子，‎ 第2个图案有22枚棋子，‎ 第3个图案有34枚棋子，‎ ‎…‎ 第n个图案有2（1+2+…+n+2）+2（n﹣1）＝n2+7n+4枚棋子，‎ 故第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为102+7×10+4＝100+70+4＝174（枚）．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】考查了规律型：图形的变化类，观察图形，发现后一个图案比前一个图案多2（n+3）枚棋子是解题的关键．‎ ‎3. （2020•四川省达州市•3分）如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为m，下列代数式表示正方体上小球总数，则表达错误的是（　　）‎ A．12（m﹣1） B．4m+8（ m﹣2） C．12（ m﹣2）+8 D．12m﹣16‎ ‎【分析】正方体有12条棱，每条棱上的小球数为m，则有12m个小球，而每个顶点处的小球重复计算2次，则正方形边上的所有小球的个数为12m﹣8×2＝12m﹣16，再将各选项化简即可．‎ 解：由题意得，当每条棱上的小球数为m时，正方体上的所有小球数为12m﹣8×2＝‎ ‎12m﹣16．‎ 而12（m﹣1）＝12m﹣12≠12m﹣16，4m+8（ m﹣2）＝12m﹣16，12（ m﹣2）+8＝12m﹣16，‎ 所以A选项表达错误，符合题意；‎ B.C.D选项表达正确，不符合题意；‎ 故选：A．‎ ‎4. （2020•山东聊城市•3分）人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖．如果按图①②③…的次序铺设地砖，把第n个图形用图ⓝ表示，那么图㊿中的白色小正方形地砖的块数是（　　）‎ A．150 B．200 C．355 D．505‎ ‎【分析】由图形可知图ⓝ的地砖有（7n+5）块，依此代入数据计算可求图㊿中的白色小正方形地砖的块数．‎ ‎【解答】解：由图形可知图ⓝ的地砖有（7n+5）块，‎ 当n＝50时，7n+5＝350+5＝355．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】考查了规律型：图形的变化，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“层数”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．‎ ‎5. （2020•山东济宁市•3分）小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案(如图所示)，每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字，寓意“不忘初心”.其中第(1)个图案中有1个正方体，第(2)个图案中有3个正方体，第(3)个图案中有6个正方体，……按照此规律，从第(100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图形规律可得第n个图形共有1+2+3+4+...+n=个正方体，最下面有n个带“心”字正方体，从而得出第100个图形的情况，再利用概率公式计算即可．‎ ‎【详解】解：由图可知：‎ 第1个图形共有1个正方体，最下面有1个带“心”字正方体；‎ 第2个图形共有1+2=3个正方体，最下面有2个带“心”字正方体；‎ 第3个图形共有1+2+3=6个正方体，最下面有3个带“心”字正方体；‎ 第4个图形共有1+2+3+4=10个正方体，最下面有4个带“心”字正方体；‎ ‎...‎ 第n个图形共有1+2+3+4+...+n=个正方体，最下面有n个带“心”字正方体；‎ 则：第100个图形共有1+2+3+4+...+100==5050个正方体，最下面有100个带“心”字正方体；‎ ‎∴从第(100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了图形变化规律，概率的求法，解题的关键是总结规律，得到第100个图形中总正方体的个数以及带“心”字正方体个数．‎ 二.填空题 ‎1.（2020•辽宁省营口市•3分）如图，∠MON＝60°，点A1在射线ON上，且OA1＝1，过点A1作A1B1⊥ON交射线OM于点B1，在射线ON上截取A1A2，使得A1A2＝A1B1；过点A2作A2B2⊥ON交射线OM于点B2，在射线ON上截取A2A3，使得A2A3＝A2B2；…；按照此规律进行下去，则A2020B2020长为　（1+）2019　．‎ ‎【分析】解直角三角形求出A1B1，A2B2，A3B3，…，探究规律利用规律即可解决问题．‎ ‎【解答】解：在Rt△OA1B1中，∵∠OA1B1＝90°，∠MON＝60°，OA1＝1，‎ ‎∴A1B1＝A1A2＝OA1•tan60°＝，‎ ‎∵A1B1∥A2B2，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴A2B2＝（1+），‎ 同法可得，A3B3＝（1+）2，‎ ‎…‎ 由此规律可知，A2020B2020＝（1+）2019，‎ 故答案为（1+）2019．‎ ‎2.（2020•辽宁省本溪市•3分）如图，四边形ABCD是矩形，延长DA到点E，使AE＝DA，连接EB，点F1是CD的中点，连接EF1，BF1，得到△EF1B；点F2是CF1的中点，连接EF2，BF2，得到△EF2B；点F3是CF2的中点，连接EF3，BF3，得到△EF3B；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD的面积等于2，则△EFnB的面积为　　．（用含正整数n的式子表示）‎ ‎【分析】先求得△EF1D的面积为1，再根据等高的三角形面积比等于底边的比可得EF1F2的面积，EF2F3的面积，…，EFn﹣1Fn的面积，以及△BCFn的面积，再根据面积的和差关系即可求解．‎ ‎【解答】解：∵AE＝DA，点F1是CD的中点，矩形ABCD的面积等于2，‎ ‎∴△EF1D和△EAB的面积都等于1，‎ ‎∵点F2是CF1的中点，‎ ‎∴△EF1F2的面积等于，‎ 同理可得△EFn﹣1Fn的面积为，‎ ‎∵△BCFn的面积为2×÷2＝，‎ ‎∴△EFnB的面积为2+1﹣1﹣﹣…﹣﹣＝2﹣（1﹣）＝．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】考查了矩形的性质，规律型：图形的变化类，三角形的面积，本题难点是得到EF1F2的面积，EF2F3的面积，…，EFn﹣1Fn的面积．‎ ‎3. (2020•山东省泰安市•4分)如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为an，则a4+a200＝　 　．‎ ‎【分析】观察“杨辉三角”可知第n个数记为an＝(1+2+…+n)＝n(n+1)，依此求出a4，a200，再相加即可求解．‎ ‎【解答】解：观察“杨辉三角”可知第n个数记为an＝(1+2+…+n)＝n(n+1)，‎ 则a4+a200＝×4×(4+1)+×200×(200+1)＝20110．故答案为：20110．‎ ‎【点评】此题考查了规律型：数字的变化类，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力．‎ ‎4. (2020•山东省潍坊市•3分)如图，四边形ABCD是正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的．其中：的圆心为点A，半径为AD；的圆心为点B，半径为BA1；的圆心为点C，半径为CB1；的圆心为点D，半径为DC1；…，…的圆心依次按点A，B，C，D循环．若正方形ABCD的边长为1，则的长是　 　．‎ ‎【分析】曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+1，到ADn－1＝AAn＝4(n－1)+1，BAn＝BBn＝4(n－1)+2，再计算弧长．‎ ‎【解答】解：由图可知，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+1，AD＝AA1＝1，BA1＝BB1＝2，…，ADn－1＝AAn＝4(n－1)+1，BAn＝BBn＝4(n－1)+2，‎ 故的半径为BA2020＝BB2020＝4(2020－1)+2＝8078，的弧长＝．故答案为4039π．‎ ‎【点评】此题主要考查了弧长的计算，弧长的计算公式：，找到每段弧的半径变化规律是解题关键．‎ ‎5. （2020•四川省内江市•6分）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），直线l：y＝x+与x轴交于点B，以AB为边作等边△ABA1，过点A1作A1B1∥x轴，交直线l于点B1，以A1B1为边作等边△A1B1A2，过点A2作A2B2∥x轴，交直线l于点B2，以A2B2为边作等边△A2B2A3，以此类推……，则点A2020的纵坐标是　　．‎ ‎【分析】先根据解析式求得B的坐标，即可求得AB＝1，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A1的纵坐标为，A2的纵坐标为，A3的纵坐标为，进而得到An的纵坐标为，据此可得点A2020的纵坐标．‎ ‎【解答】解：∵直线l：y＝x+与x轴交于点B，‎ ‎∴B（﹣1，0），‎ ‎∴OB＝1，‎ ‎∵A（﹣2，0），‎ ‎∴OA＝2，‎ ‎∴AB＝1，‎ ‎∵△ABA1是等边三角形，‎ ‎∴A1（﹣，），‎ 把y＝代入y＝x+，求得x＝，‎ ‎∴B1（，），‎ ‎∴A1B1＝2，‎ ‎∴A2（﹣，+×2），即A2（﹣，），‎ 把y＝代入y＝x+，求得x＝，‎ ‎∴B2（，），‎ ‎∴A2B2＝4，‎ ‎∴A3（3，+×4），即A3（3，），‎ ‎……，‎ An的纵坐标为，‎ ‎∴点A2020的纵坐标是，‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等边三角形的性质的运用，解决问题的关键是依据等边三角形的性质找出规律，求得An的纵坐标为，‎ ‎6. （2020•山东东营市•4分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点······，依次进行下去，记点的横坐标为，若则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出A1.B1.A2.B2.A3.B3…，从而得到每3次变化为一个循环组依次循环，用2020除以3，根据商的情况确定出a2020即可 ‎【详解】解：当a1=2时，B1的横坐标与A1的横坐标相等为2，A1（2，3），B1(2，) ；‎ A2的纵坐标和B1的纵坐标相同为，代入y=x+1，得x=，可得A2（，）；‎ B2的横坐标和A2的横坐标相同为，代入得，y=，得B2(，) ；‎ A3的纵坐标和B2的纵坐标相同为，代入y=x+1，得x=，故A3（，） ‎ B3的横坐标和A3的横坐标相同为，代入得，y=3，得B3(，3)‎ A4的纵坐标和B3的纵坐标相同为3，代入y=x+1，得x=2，所以A4（2，3）‎ ‎…‎ 由上可知，a1，a2，a3，a4，a5，…，3个为一组依次循环，‎ ‎∵2020÷3=673⋯⋯1，‎ ‎∴a2020=a1=2，‎ 故答案为：2．‎ ‎【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，依次求出各点的坐标，观察出每3次变化为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．‎ ‎7. （2020•安徽省•8分）观察以下等式：‎ 第1个等式：×（1+）＝2﹣，‎ 第2个等式：×（1+）＝2﹣，‎ 第3个等式：×（1+）＝2﹣，‎ 第4个等式：×（1+）＝2﹣．‎ 第5个等式：×（1+）＝2﹣．‎ ‎…‎ 按照以上规律，解决下列问题：‎ ‎（1）写出第6个等式：　×（1+）＝2﹣　；‎ ‎（2）写出你猜想的第n个等式：　×（1+）＝2﹣　（用含n的等式表示），并证明．‎ ‎【分析】（1）根据题目中前5个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第6个等式；‎ ‎（2）把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可．‎ ‎【解答】解：（1）第6个等式：×（1+）＝2﹣；‎ ‎（2）猜想的第n个等式：×（1+）＝2﹣．‎ 证明：∵左边＝×＝＝2﹣＝右边，‎ ‎∴等式成立．‎ 故答案为：×（1+）＝2﹣；×（1+）＝2﹣．‎ ‎【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式，并证明猜想的正确性．‎ ‎8.（2020•贵州省黔西南州•3分）如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中菱形的个数为　57　．‎ ‎【分析】根据图形的变化规律即可得第⑦个图形中菱形的个数．‎ ‎【解答】解：第①个图形中一共有3个菱形，即2+1×1＝3；‎ 第②个图形中一共有7个菱形，即3+2×2＝7；‎ 第③个图形中一共有13个菱形，即4+3×3＝13；‎ ‎…，‎ 按此规律排列下去，‎ 所以第⑦个图形中菱形的个数为：8+7×7＝57．‎ 故答案为：57．‎ ‎【点评】本题考查了规律型﹣图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．‎ ‎9. （2020•四川省内江市•6分）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），直线l：y＝x+与x轴交于点B，以AB为边作等边△ABA1，过点A1作A1B1∥x轴，交直线l于点B1，以A1B1为边作等边△A1B1A2，过点A2作A2B2∥x轴，交直线l于点B2，以A2B2为边作等边△A2B2A3，以此类推……，则点A2020的纵坐标是　　．‎ ‎【分析】先根据解析式求得B的坐标，即可求得AB＝1，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A1的纵坐标为，A2的纵坐标为，A3的纵坐标为，进而得到An的纵坐标为，据此可得点A2020的纵坐标．‎ ‎【解答】解：∵直线l：y＝x+与x轴交于点B，‎ ‎∴B（﹣1，0），‎ ‎∴OB＝1，‎ ‎∵A（﹣2，0），‎ ‎∴OA＝2，‎ ‎∴AB＝1，‎ ‎∵△ABA1是等边三角形，‎ ‎∴A1（﹣，），‎ 把y＝代入y＝x+，求得x＝，‎ ‎∴B1（，），‎ ‎∴A1B1＝2，‎ ‎∴A2（﹣，+×2），即A2（﹣，），‎ 把y＝代入y＝x+，求得x＝，‎ ‎∴B2（，），‎ ‎∴A2B2＝4，‎ ‎∴A3（3，+×4），即A3（3，），‎ ‎……，‎ An的纵坐标为，‎ ‎∴点A2020的纵坐标是，‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等边三角形的性质的运用，解决问题的关键是依据等边三角形的性质找出规律，求得An的纵坐标为，‎ ‎10．（2020年山东省滨州市5分）观察下列各式：a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，根据其中的规律可得an＝　　（用含n的式子表示）．‎ ‎【分析】观察发现，每一项都是一个分数，分母依次为3.5.7，…，那么第n项的分母是2n+1；分子依次为2，3，10，15，26，…，变化规律为：奇数项的分子是n2+1，偶数项的分子是n2﹣1，即第n项的分子是n2+（﹣1）n+1；依此即可求解．‎ ‎【解答】解：由分析可得an＝．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．‎ 三.解答题 ‎1. (2020•山东省青岛市•10分)实际问题：‎ 某商场为鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数)，一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？‎ 问题建模：‎ 从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取a (1＜a＜n)个整数，这a个整数之和共有多少种不同的结果？‎ 模型探究：‎ 我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．‎ 探究一：‎ ‎(1)从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？‎ 表①‎ 所取的2个整数 ‎1，2‎ ‎1，3‎ ‎2，3‎ ‎2个整数之和 ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．‎ ‎(2)从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？‎ 表②‎ 所取的2个整数 ‎1，2‎ ‎1，3‎ ‎1，4‎ ‎2，3‎ ‎2，4‎ ‎3，4‎ ‎2个整数之和 ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．‎ ‎(3)从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有　 　种不同的结果．‎ ‎(4)从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有　 　种不同的结果．‎ 探究二：‎ ‎(1)从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有　 　‎ 种不同的结果．‎ ‎(2)从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥4)这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有　 　种不同的结果．‎ 探究三：‎ 从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥5)这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有　 　种不同的结果．‎ 归纳结论：‎ 从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取a(1＜a＜n)个整数，这a个整数之和共有　 　种不同的结果．‎ 问题解决：‎ 从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数)，一次任意抽取5张奖券，共有　476　种不同的优惠金额．‎ 拓展延伸：‎ ‎(1)从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？(写出解答过程)‎ ‎(2)从3，4，5，…，n+3(n为整数，且n≥2)这(n+1)个整数中任取a(1＜a＜n+1)个整数，这a个整数之和共有　 种不同的结果．‎ ‎【分析】根据整数的总个数n，与任取的a个整数，分别计算这a个整数之和的最大值、最小值，进而得出共有多少种不同结果情况，然后延伸到一般情况．‎ ‎【解答】解：探究一：‎ ‎(3)从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和最小值为1+2＝3，最大值为4+5＝9，这2个整数之和共有9－3+1＝7种不同情况；故答案为7；‎ ‎(4)从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和最小值为1+2＝3，最大值为n+n－1＝2n－1，这2个整数之和共有2n－1－3+1＝2n－3种不同情况；故答案为2n－3；‎ 探究二：‎ ‎(1)从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和的最小值为1+2+3＝6，最大值为2+3+4＝9，这3个整数之和共有9－6+1＝4种不同情况；故答案为4；‎ ‎(2)从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥4)这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和的最小值为1+2+3＝6，最大值为n+(n－1)+(n－2)＝3n－3，这3个整数之和共有3n－3－6+1＝3n－8种不同结果，故答案为3n－8；‎ 探究三：‎ 从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥5)这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和的最小值为1+2+3+4＝10，最大值为n+(n－1)+(n－2)+(n－3)＝4n－6，因此这4个整数之和共有4n－6－10+1＝4n－15种不同结果，‎ 归纳总结：‎ 从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥5)这n个整数中任取a个整数，这a个整数之和的最小值为1+2+…+a＝，最大值为n+(n－1)+(n－2)+(n－3)+…+(n－a+1)＝na－，因此这a个整数之和共有na－－+1＝a(n－a)+1种不同结果，‎ 故答案为a(n－a)+1；‎ 问题解决：‎ 将n＝100，a＝5，代入a(n－a)+1得；5×(100－5)+1＝476，故答案为476；‎ 拓展延伸：‎ ‎(1)设从1，2，3，…，36这36个整数中任取a个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果，由上述结论得，a(36－a)+1＝204，解得，a＝7或a＝29；‎ 答：从1，2，3，…，36这36个整数中任取7个整数或取29个整数，能使取出的这些整数之和共有204种不同的结果；‎ ‎(2)根据上述规律，从(n+1)个连续整数中任取a个整数，这a个整数之和共有a(n+1－a)+1，‎ 故答案为a(n+1－a)+1．‎ ‎【点评】本题考查用代数式表示数字的变化规律，确定任取的a个整数之和的最大值和最小值是得出正确答案的关键．‎ ‎2. （2020•四川省达州市•3分）已知k为正整数，无论k取何值，直线11：y＝kx+k+1与直线12：y＝（k+1）x+k+2都交于一个固定的点，这个点的坐标是　（﹣1，1）　；记直线11和12与x轴围成的三角形面积为Sk，则S1＝　　，S1+S2+S3+…+S100的值为　　．‎ ‎【分析】变形解析式得到两条直线都经过点（﹣1，1），即可证出无论k取何值，直线l1与l2的交点均为定点（﹣1，1）；先求出y＝kx+k+1与x轴的交点和y＝（k+1）x+k+2与x轴的交点坐标，再根据三角形面积公式求出Sk，求出S1＝×（1﹣）＝，S2＝×（ ），以此类推S100＝×（ ﹣），相加后得到 ×（1﹣）．‎ 解：∵直线11：y＝kx+k+1＝k（x+1）+1，‎ ‎∴直线12：y＝（k+1）x+k+2经过点（﹣1，1）；‎ ‎∵直线12：y＝（k+1）x+k+2＝k（x+1）+（x+1）+1＝（k+1）（x+1）+1，‎ ‎∴直线12：y＝（k+1）x+k+2经过点（﹣1，1）．‎ ‎∴无论k取何值，直线l1与l2的交点均为定点（﹣1，1）．‎ ‎∵直线11：y＝kx+k+1与x轴的交点为（﹣，0），‎ 直线12：y＝（k+1）x+k+2与x轴的交点为（﹣，0），‎ ‎∴SK＝|﹣+|×1＝，‎ ‎∴S1＝＝；‎ ‎∴S1+S2+S3+…+S100＝[++…]‎ ‎＝[（1﹣）+（）+…+（﹣）]‎ ‎＝×（1﹣）‎ ‎＝‎ ‎＝．‎ 故答案为（﹣1，1）；；．‎ ‎3. （2020•山东淄博市•4分）某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是　210　个．‎ ‎【分析】根据理解题意找出题目中所给的等量关系，找出规律，写出货包数量的函数解析式，再根据二次函数最值的求法求出快递货车装载的货包数量最多的站．‎ ‎【解答】解：当一辆快递货车停靠在第x个服务驿站时，‎ 快递货车上需要卸下已经通过的（x﹣1）个服务驿站发给该站的货包共（x﹣1）个，‎ 还要装上下面行程中要停靠的（n﹣x）个服务驿站的货包共（n﹣x）个．‎ 根据题意，完成下表：‎ 服务驿站序号 在第x服务驿站启程时快递货车货包总数 ‎1‎ n﹣1‎ ‎2‎ ‎（n﹣1）﹣1+（n﹣2）＝2（n﹣2）‎ ‎3‎ ‎2（n﹣2）﹣2+（n﹣3）＝3（n﹣3）‎ ‎4‎ ‎3（n﹣3）﹣3+（n﹣4）＝4（n﹣4）‎ ‎5‎ ‎4（n﹣4）﹣4+（n﹣5）＝5（n﹣5）‎ ‎…‎ ‎…‎ n ‎0‎ 由上表可得y＝x（n﹣x）．‎ 当n＝29时，y＝x（29﹣x）＝﹣x2+29x＝﹣（x﹣14.5）2+210.25，‎ 当x＝14或15时，y取得最大值210．‎ 答：在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是210个．‎ 故答案为：210．‎ ‎【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，二次函数的性质在实际生活中的应用，二次函数的最值在x＝﹣时取得．‎ ‎4. （2020•四川省遂宁市•4分）．如图所示，将形状大小完全相同的“▱”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“▱”的个数为a1，第2幅图中“▱”的个数为a2，第3幅图中“▱”的个数为a3，…，以此类推，若+++…+＝．（n为正整数），则n的值为　4039　．‎ ‎【分析】先根据已知图形得出an＝n（n+1），代入到方程中，再将左边利用＝﹣裂项化简，解分式方程可得答案．‎ ‎【解答】解：由图形知a1＝1×2，a2＝2×3，a3＝3×4，‎ ‎∴an＝n（n+1），‎ ‎∵+++…+＝，‎ ‎∴+++…+＝，‎ ‎∴2×（1﹣+﹣+﹣+……+﹣）＝，‎ ‎∴2×（1﹣）＝，‎ ‎1﹣＝，‎ 解得n＝4039，‎ 经检验：n＝4039是分式方程的解，‎ 故答案为：4039．‎ ‎【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出an＝n（n+1）及＝﹣．‎ ‎5. （2020•四川省自贡市•4分）如图，直线与轴交于点，与双曲 线在第三象限交于两点，且;‎ 下列等边三角形△，△，△，……‎ 的边，，，……在轴上，顶点 ‎……在该双曲线第一象限的分支上，则= ，前25‎ 个等边三角形的周长之和为 . ‎ ‎【解析】设，设直线与轴的交点为H，∴H（），又A（0，b），∴tan∠HAO=，∴∠HAO=30°，∴AB=2BM，AC=2CN，∵BM=，，∴AB=-，AC=，∴，联立得到。‎ ‎∴，由已知可得，∴，∴反比例函数的解析式为，过分别向轴作垂线，可得△的边长为4，△的边长为，△的周长为，△的边长为 ‎∴前25个等边三角形的周长之和为 ‎=60‎