高中数学必修4：3．2 简单的三角恒等变换（教、学案）

高中数学必修4：3．2 简单的三角恒等变换（教、学案）

‎3． 2 简单的三角恒等变换 ‎【教学目标】‎ 会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，引导学生推导半角公式，积化和差、‎ 和差化积公式（公式不要求记忆），使学生进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。‎ ‎【教学重点、难点】‎ ‎ 教学重点：引导学生以已有公式为依据，以推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。‎ ‎ 教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。‎ ‎【教学过程】‎ 复习引入：复习倍角公式、、‎ ‎ 先让学生默写三个倍角公式，注意等号两边角的关系，特别注意。既然能用单角 表示倍角，那么能否用倍角表示单角呢？‎ 半角公式的推导及理解 ： ‎ 例1、 试以表示．‎ 解析：我们可以通过二倍角和来做此题．（二倍角公式中以a代2a，代a）‎ 解：因为，可以得到；‎ 因为，可以得到．‎ 两式相除可以得到．‎ 点评：⑴以上结果还可以表示为：‎ ‎ ‎ 并称之为半角公式（不要求记忆），符号由角的象限决定。‎ ‎⑵降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明。‎ ‎⑶代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换，三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系他们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点。‎ 变式训练1：求证 积化和差、和差化积公式的推导（公式不要求记忆）：‎ 例2：求证：‎ ‎（１）；‎ ‎（２）．‎ 解析：回忆并写出两角和与两角差的正余弦公式，观察公式与所证式子的联系。‎ 证明：（１）因为和是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．‎ ‎；．‎ 两式相加得；‎ 即；‎ ‎（２）由（１）得①；设，‎ 那么．‎ 把的值代入①式中得．‎ 点评：在例２证明中用到了换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．‎ 变式训练2：课本p142 2（2）、3（3）‎ 例３、求函数的周期，最大值和最小值．‎ 解析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相应的值。‎ 解： ，‎ 所以，所求的周期，最大值为２，最小值为．‎ 点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．‎ 变式训练3：课本p142 4、（1）（2）（3）‎ 探究：求y=asinx+bcosx的周期，最大值和最小值．‎ 小结：我们要对三角恒等变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．‎ 作业布置：课本p143 习题3.2 A组1、（1）（5） 3 、5 ‎ ‎3．2 简单的三角恒等变换（导学案）‎ 课前预习学案 一、预习目标：回顾复习两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式，预习简单的三角恒等变换。‎ 二、预习内容：‎ ‎1、回顾复习以下公式并填空：‎ Cos(α+β)= Cos(α-β)=‎ sin(α+β)= sin(α-β)=‎ tan(α+β)= tan(α-β)=‎ ‎ sin2α= tan2α=‎ ‎ cos2α=‎ ‎2、阅看课本P139---141例1、2、3。‎ 三、提出疑惑：‎ 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 课内探究学案 一、学习目标：会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，会推导半角公式，积化和差、和差化积公式（公式不要求记忆），进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。‎ ‎ 学习重点：以已有公式为依据，以推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。‎ ‎ 学习难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。‎ 二、学习过程：‎ 探究一：半角公式的推导（例1）‎ ‎ 请同学们阅看例1，思考以下问题，并进行小组讨论。‎ ‎ 1、2α与α有什么关系？α与α/2有什么关系？进一步体会二倍角公式和半角公式的应用。‎ ‎ ‎ ‎2、半角公式中的符号如何确定？‎ ‎ 3、二倍角公式和半角公式有什么联系？‎ ‎ 4、代数变换与三角变换有什么不同？‎ 探究二：半角公式的推导（例2）‎ ‎ 请同学们阅看例2，思考以下问题，并进行小组讨论。‎ ‎ 1、两角和与差的正弦、余弦公式两边有什么特点？它们与例2在结构形式上有什么联系？‎ ‎ 2、在例2证明过程中，如果不用（1）的结果，如何证明（2）？‎ ‎ 3、在例2证明过程中，体现了什么数学思想方法？‎ 探究三：三角函数式的变换（例3）‎ ‎ 请同学们阅看例1，思考以下问题，并进行小组讨论。‎ ‎1、例3的过程中应用了哪些公式？ ‎ ‎ ‎ ‎2、如何将形如y=asinx+bcosx的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数？并求y=asinx+bcosx的周期，最大值和最小值．‎ ‎ 三、反思、总结、归纳：‎ ‎ sinα/2= cosα/2= tanα/2=‎ ‎ sinαcosβ= cosαsinβ= ‎ ‎ cosαcosβ= sinαsinβ=‎ ‎ sinθ+sinφ= sinθ-sinφ=‎ ‎ cosθ+cosφ= cosθ-cosφ=‎ 四、当堂检测：‎ ‎ 课本p143 习题‎3.2 A组1、（3）（7）2、（1）B组2‎ ‎ ‎ 课后练习与提高 一、选择题：‎ ‎1．已知cos（α+β）cos（α－β）=，则cos2α－sin2β的值为（ ）‎ A．－ B．－ C． D．‎ ‎2．在△ABC中，若sinAsinB=cos2，则△ABC是（ ）‎ A．等边三角形 B．等腰三角形 ‎ C．不等边三角形 D．直角三角形 ‎3．sinα+sinβ=（cosβ－cosα），且α∈（0，π），β∈（0，π），则α－β等于（ ）‎ A．－ B．－ C． D．‎ 二、填空题 ‎4．sin20°cos70°+sin10°sin50°=_________．‎ ‎5．已知α－β=，且cosα+cosβ=，则cos（α+β）等于_________．‎ 三、解答题 ‎6．已知f（x）=－+，x∈（0，π）．‎ ‎（1）将f（x）表示成cosx的多项式；‎ ‎（2）求f（x）的最小值．‎