安徽省合肥市2020届高三第一次教学质量检测 数学（文）试题（扫描版）

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合肥市 2020 年高三第一次教学质量检测 数学试题(文科) (考试时间：120 分钟 满分：150 分) 第Ⅰ卷 (60 分) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1.已知集合  12A x x    ，  2 1 0B x x   ，则 ABI ( ). A.  1 ， B. 1 12   ， C. 1 22   ， D. 1 22   ， 2.已知 i 为虚数单位，复数 z 满足   1 2i 2 iz    ，则 z 的共轭复数 z  ( ). A. 4 3i B. 4 3i C.3 4i D.3 4i 3.设双曲线 :C 224 64 0xy   的焦点为 12FF， ，点 P 为 C 上一点， 1 6PF  ，则 2PF 为( ). A.13 B.14 C.15 D.17 4.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21 世纪 海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经 济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的 命运共同体.自 2013 年以来，“一带一路”建设成果显著. 右图是 2013-2017 年，我国对“一带一路”沿线国家进出 口情况统计图.下列描述错误的是( ). A.这五年，2013 年出口额最少 B.这五年，出口总额比进口总额多 C.这五年，出口增速前四年逐年下降 D.这五年，2017 年进口增速最快 5.已知角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边 过点 13 22M  ， ，则 cos2 sin 3  的值为( ). A. 1 2 B. 3 2 C.1 D. 3 2 6.若执行右图的程序框图，则输出 i 的值为( ). A.2 B.3 C.4 D.5 7.已知正方形 ABCD 的边长为 2，点 E 为边 AB 中点，点 F 为边 BC 中点，将 AED DCF， 分别沿 DE DF， 折起，使 AC， 两点重合于 P 点，则三棱锥 P DEF 的外接球的表面 积为( ). A. 3 2  B.3 C. 6 D.12 8.已知函数   sin 2 3f x x  ，则下列关于函数  fx的说法，不正确．．．的是( ). A.  fx的图象关于 12x  对称 B.  fx在 0 ， 上有 2 个零点 C.  fx在区间 5 36   ， 上单调递减 D.函数  fx图象向右平移11 6  个单位，所得图像对应的函数为奇函数 9.函数 22 cos xx y xx   的图像大致为( ). 10.射线测厚技术原理公式为 0 tI I e  ，其中 0II， 分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的 底数，t 为被测物厚度， 为被测物的密度， 是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅 241( 241 Am )低 能  射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为 0.8，钢的密度为 7.6，则这种射线的吸收系数 为( ). (注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln2 0.6931 ，结果精确到 0.001) A.0.110 B.0.112 C. 0.114 D. 0.116 11.已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D ，过对角线 1BD 作平面 交棱 1AA 于点 E，交棱 1CC 于点 F，则： ①四边形 1BFD E 一定是平行四边形； ②多面体 1ABE DCFD 与多面体 1 1 1 1DC F A B BE 的体积相等； ③四边形 1BFD E 在平面 11AA D D 内的投影一定是平行四边形； ④平面 有可能垂直于平面 11BB D D . 其中所有正确结论的序号为( ). A.①② B.②③④ C.①④ D.①②④ 12.已知函数   23f x x a( aR )，   3 9g x x x .若存在实数b 使不等式    f x g x 的解集为   b ， ，则实数 a 的取值范围为( ). A. 5 ， B. 27 5 ， C.  27 ， D.    27 5    U， ， 第Ⅱ卷 (90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题—第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22 题、第 23 题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.把答案填在答题卡上的相应位置. 13.已知实数 xy， 满足 2 60 xy xy xy        ， ， ， 则 2z x y取得最大值的最优解为 . 14.已知向量 a  r (1，1)，  = 2bm r ， ，且 a r ⊥  2ab rr，则 m 的值等于 . 15. 在 ABC 中 ， 内 角 A B C， ， 所 对 的 边 分 别 为 a b c， ， ，若 2sin sin cos sinA B C C ，则 22 2 ab c   ，sinC 的最大值为 . 16.已知点  0 2A ， ，抛物线 2 2y px ( 0p  )的焦点为 F ，若此抛物线的准线上存在一点 P ，使得 APF 是以 APF 为直角的等腰直角三角形，则 p 的值等于___________. 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ， 1 1a  ， 424SS . (1)求数列 的通项公式； (2)若 1 2 9 180m m m ma a a a      L ( *mN )，求 m 的值. 18.(本小题满分 12 分) 某汽车公司生产新能源汽车，2019 年 3-9 月份销售量(单位：万辆)数据如下表所示： 月份 x 3 4 5 6 7 8 9 销售量 y (万 辆) 3.008 2.401 2.189 2.656 1.665 1.672 1.368 (1)某企业响应国家号召，购买了 6 辆该公司生产的新能源汽车，其中四月份生产的 4 辆，五月份生产 的 2 辆，6 辆汽车随机地分配给 A，B 两个部门使用，其中 A 部门用车 4 辆，B 部门用车 2 辆.现了解该汽车 公司今年四月份生产的所有新能源汽车均存在安全隐患，需要召回.求该企业 B 部门 2 辆车中至多有 1 辆车 被召回的概率； (2)经分析可知，上述数据近似分布在一条直线附近.设 y 关于 x 的线性回归方程为 $ $y bx a$ ，根据表 中数据可计算出 0.2465b $ ，试求出 $a 的值，并估计该厂 10 月份的销售量. 19. (本小题满分 12 分) 如图，该几何体的三个侧面 11AA B B ， 11BB C C ， 11CC A A 都是矩形. (1)证明：平面 ABC ∥平面 1 1 1A B C ； (2)若 1 2AA AC ， AC AB ， M 为 1CC 中点，证明： 1AM  平面 ABM . 20.(本小题满分 12 分) 设椭圆 :C 22 221xy ab( 0ab)的左右焦点分别为 12FF， ，椭圆的上顶点为点 B ，点 A 为椭圆C 上一点， 且 1130F A F B uuuv uuuv v. (1)求椭圆 C 的离心率； (2)若 1b  ，过点 2F 的直线交椭圆于 MN， 两点，求线段 MN 的中点 P 的轨迹方程. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数  ( ) 1 lnf x x x ，    1g x a x a R  ， . (1)求直线  y g x 与曲线  y f x 相切时，切点T 的坐标； (2)当  0 1x ， 时，   ()g x f x 恒成立，求 a 的取值范围. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题 目计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 23 2 21 2 xt yt     (t 为参数)，在以坐标原点为极点， x 轴正半轴 为极轴的极坐标系中，曲线 C 的方程为 4cos 6sin  . (1)求曲线 C 的直角坐标方程； (2)设曲线 C 与直线 l 交于点 MN， ，点 A 的坐标为(3，1)，求 AM AN . 23.(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲 已知函数   2f x x m x    ( mR )，不等式  20fx的解集为  4， . (1)求 m 的值； (2)若 0a  ， 0b  ， 3c  ，且 22a b c m   ，求   1 1 3abc   的最大值. 合肥市 2020 届高三第一次教学质量检测数学试题(文科) 参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.(4，2) 14.1 15.3， 5 3 (第一空 2 分，第二空 3 分) 16. 4 3 三、解答题：大题共 6 小题，满分 70 分. 17.(本小题满分 12 分) (1)设等差数列 na 的公差为 d ， 由 424SS 得， 114 6 8 4a d a d   ，整理得 12da . 又∵ 1 1a  ，∴ 2d  ， ∴  1 1 2 1na a n d n     ( *nN ). ………………………5 分 (2) 1 2 9 180m m m ma a a a      L 可化为10 45 20 80 180ma d m    ， 解得 5m  . ………………………12 分 18.(本小题满分 12 分) (1)设某企业购买的 6 辆新能源汽车，4 月份生产的 4 辆车为 1C ， 2C ， 3C ， 4C ；5 月份生产的 2 辆车为 1D ， 2D ，6 辆汽车随机地分配给 AB， 两个部门. B 部门 2 辆车可能为( ， 2C )，( ， 3C )，( ， 4C )，( ， 1D )，( ， 2D )，( ， )，( ， )， ( ， )，( ， )，( ， )，( ， )，( ， )，( ， ，( ， )，( ， )共 15 种 情况； 其中，至多有 1 辆车是四月份生产的情况有：( ， )，( ， )，( ， )，( ， )，( ， )，( ， )，( ， )，( ， )，( ， )共 9 种， 所以该企业 B 部门 2 辆车中至多有 1 辆车被召回的概率为 93 15 5P ．………………………5 分 (2)由题意得 6x  ， 2.137y  . 因为线性回归方程过样本中心点  xy， ，所以   $2.137 6 0.2465 a    ，解得 $ 3.616a  . 当 10x  时， $ 0.2465 10 3.616 1.151y      ， 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B B C A B C C A C D D 即该厂 10 月份销售量估计为 1.151 万辆. ………………………12 分 19.(本小题满分 12 分) (1)∵侧面 11AA B B 是矩形，∴ 11//A B AB . 又∵ 11AB 平面 ABC ， AB  平面 ABC ，∴ 11//AB 平面 ABC . 同理可得： 11//AC 平面 ABC . ∵ 1 1 1 1 1A B AC AI ，∴平面 //ABC 平面 1 1 1A B C . ………………………5 分 (2)∵侧面 1 1 1 1 1 1AA B B BB C C CC A A， ， 都是矩形，∴ 1A A AB . 又∵ AC AB ， 1A A AC AI ，∴ AB 平面 11AAC C . ∵ 1 1 1AM AAC C 平面 ，∴ 1AB A M . ∵ M 为 1CC 的中点， 1 2AA AC ，∴ 11ACM AC M， 都是等腰直角三角形， ∴ 1145AMC A MC    o ， 1 90A MAo ，即 1AM A M . 而 AB AM AI ，∴ 1AM  平面 ABM . ………………………12 分 20.(本小题满分 12 分) 解：(1)设 A ( 00xy， )， B  0 b， ，  1 0Fc ， .由 1130F A F B uuuv uuuv v得 0 0 0 0 4 3 4 0 3 30 3 cxxc y b by      ，即 4 33 bAc ， ， 又∵ ( )在椭圆 :C 22 221xy ab上， ∴ 22 22 41 331 cb ab          ，得 2 2 c a  ，即椭圆 C 的离心率为 2 2e  . ………………………5 分 (2)由(1)知， 2 2e  .又∵ 1b  ， 2 2 2a b c，解得 2 2a  ， 2 1b  ， ∴椭圆 的方程为 2 2 12 x y. 当线段 MN 在 x 轴上时，交点为坐标原点(0，0). 当线段 不在 轴上时，设直线 的方程为 1x my，  11M x y， ，  22N x y， ， 代入椭圆方程 中，得 222 2 1 0m y my    . ∵点 2F 在椭圆内部，∴ 0 ， 12 2 2 2 myy m    ， 则  1 2 1 2 2 42 2x x m y y m      ， ∴点  P x y， 的坐标满足 2 2 2x m  ， 2 2 my m  ， 消去 m 得， 2220x y x   ( 0x  ). 综上所述，点 P 的轨迹方程为 . ……………………………12 分 21.(本小题满分 12 分) (1)设切点坐标为 00xy， ，   1ln 1f x x x     ， 则     0 0 0 0 0 1ln 1 1 ln 1 xax x x a x         ，∴ 00 0 12ln 0xxx   . 令   12lnh x x x x   ，∴   2 2 210xxhx x     ，∴  hx在 0 ， 上单调递减， ∴   0hx 最多有一个实数根. 又∵  10h  ，∴ 0 1x  ，此时 0 0y  ，即切点T 的坐标为(1，0). ………………………5 分 (2)当  0 1x ， 时，   ()g x f x 恒成立，等价于  1ln 01 axx x  对 恒成立. 令    1ln 1 axh x x x  ，则         2 22 2 1 112 11 x a xahx x x x x       ，  10h  . ①当 2a  ，  1x 0， 时，  222 1 1 2 1 0x a x x x       ， ∴   0hx  ， 在  0 1x ， 上单调递增，因此   0hx . ②当 2a  时，令   0hx  得    22 121 1 1 1 1 1x a a x a a         ， . 由 2 1x  与 12 1xx  得， 101x. ∴当  1 1xx ， 时，   0hx  ， 单调递减， ∴当  1 1xx ， 时，    10h x h，不符合题意； 综上所述得， a 的取值范围是  2， . ……………………………12 分 22.(本小题满分 10 分) (1)曲线 C 的方程 4cos 6sin  ，∴ 2 4 cos 6 sin    ，∴ 2246x y x y   ， 即曲线 C 的直角坐标方程为：    222 3 13xy    . …………………………5 分 (2)把直线 23 2: 21 2 xt l yt     代入曲线C 得 2 2221 2 1322tt                 ， 整理得， 2 3 2 8 0tt   . ∵  2 3 2 32 0     ，设 12tt， 为方程的两个实数根，则 1232tt ， 12 8tt  ，∴ 12tt， 为异号， 又∵点 A (3，1)在直线 l 上， ∴  2 1 2 1 2 1 2 1 24 50 5 2AM AN t t t t t t t t          . …………………………10 分 23.(本小题满分 10 分) 解：(1)∵   2f x x m x    ，∴  2 2 0f x x m x      的解集为  4， ， ∴ 2x m x ，解得 28m，即 6m  . …………………………5 分 (2)∵ 6m  ，∴ 2 12a b c   . 又∵ 0a  ， 0b  ， 3c  ， ∴        1 2 2 31 1 3 2 a b cabc             3 331 2 2 31 1 2 1 12 322 3 2 3 2 3 a b c a b c                 ， 当且仅当 1 2 2 3a b c     ，结合 2 12a b c   解得 3a  ， 1b  ， 7c  时，等号成立， ∴    1 1 3abc   的最大值为 32. …………………………10 分