新都一中高 2015 级第三学期 10 月月考试题数学（理）

新都一中高 2015 级第三学期 10 月月考试题数学（理）

新都一中高 2015 级第三学期 10 月月考试题 数学（理） 一、选择题(60 分) 1.直线 3 1 0x y   的倾斜角的大小是 （ ） A． 030 B． 060 C． 0120 D． 0150 2.空间直角坐标中，点 ( 3,4,0)A  与 (2, 1,6)B  间的距离是的（ ） A． 86 B．9 C． 2 21 D． 2 43 3.设 1 2z x y  ，式中变量 x 和 y 满足条件 2 0 0 1 x y x y x         ，则 z 的最小值为 （ ） A. 3 B． 5 2  C． 3 2  D． 3 2 4.设⊙ 2 2 1 : ( 5) ( 3) 9,C x y    ⊙ 2 2 2 : 4 2 9 0C x y x y     ，则它们公切线的条数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5.关于两平面垂直有下列命题，其中错误的是 （ ） A．如果平面  平面 ，平面   平面 ， =l  ，那么 l  B．如果平面 与平面  不垂直也不重合，那么平面 内一定存在直线平行于平面  C．如果平面  平面  ，那么平面 内一定存在直线不垂直于平面  D．如果平面  平面  ，那么平面 内的所有直线都垂直于平面  6.若方程 2 2 2( 2) 2 0a x a y ax a     表示圆，则 a 的值为 （ ） A． 1a  或 2a   B． 2a  或 1a   C． 1a   D． 2a  7.若圆 2 2 2 5 0x y x    与圆 2 2 2 4 4 0x y x y     的交点为 A，B，则线段 AB 的垂直平分线 的方程是（ ） A. 1 0x y   B. 2 1 0x y   C. 2 1 0x y   D. 1 0x y   8.已知直线 1l 和 2l 夹角的平分线所在直线的方程为 y x ，如果 1l 的方程是 0ax by c   ，那么 2l 的 方程是 （ ） A. 0bx ay c   B. 0ax by c   C. 0bx ay c   D. 0bx ay c   9.如图，正方形 ABCD 中，E,F 分别是 BC,CD 的中点，M 是 EF 的中点，现在沿 AE,AF 及 EF 把这个正 方形折成一个四面体，使 B,C,D 三点重合，重合后的点记为 P，则在四面体 A  PEF 中必有 （ ） A． PM AEF  所在平面 B． AM PEF  所在平面 C． PF AEF  所在平面 D． AP PEF  所在平面 10. 已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上， ABC 是边长为1的正三角形， SC 为球 O 的直径，且 2SC  ；则此棱锥的体积为（ ） ( )A 2 2 ( )B 3 6 ( )C 2 3 ( )D 2 6 11.方程 2 2 4x x kx    有两个不相等的实根，则 k 的取值范 围是 （ ） A．15( ,2]8 B．[2, ) C． 15( , ]8  D．15( , )8  12．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的 是某多 面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ） （A） 4 2 （B）4 （C） 6 2 （D） 6 二、填空题（20 分） 13.如图，在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，上底面中心为 O，则异 面直线 AO 与 1DC 所成角的余弦值为____________ 14.已知圆 M： 2 2( 1) 1x y   和点 (1,3)A ，则过点 A 与圆 M 相切 的直线方程是____________ 15.已知直线l ： 3 6 0x y   与圆 2 2 12x y  交于 ,A B 两点，过 ,A B 分别作l 的垂线与 x 轴交 于 ,C D 两点，则| |CD  _____________. 16.如图，透明塑料制成的长方体容器 1 1 1 1ABCD A B C D 内灌进一些水，固定容器底面一边 BC 于地 面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面五个命题：①有水的部分始终呈棱柱形；②没有 水的部分始终呈棱柱形；③水面 EFGH 所在的四边形的面积为定值；④棱 1 1A D 始终与水面所在平面 平行；⑤当容器倾斜如图（3）所示时，BE 与 BF 之积 BE BF 是定值. 其中所有正确命题的序号是_______________ 新都一中高 2015 级第三学期 10 月月考试题 数学答题卷 注意：此表由阅卷老师填写，考生不能在得分栏作任何填涂！ 题号 13－16 17 18 19 20 21 22 总分 得分 二、填空题 13._______________ 14.__________________________ 15._____________ 16._____________ 三、解答题（70 分） 17.（12 分）已知两条直线 1 : 2 0l x y  和 2 : 2 0l x y   . （1）过点 (1,1)P 的直线 l 与 1l 垂直，求直线 l 的方程； （2）若圆 M 的圆心在直线 1l 上，与 y 轴相切，且被直线 2l 截得的弦长为 2 ，求圆 M 的方程. 18.（12 分）如图所示,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,D 点为棱 AB 的中点. （1）求证: 1 / /AC 平面 1B CD ； （2）若 12, 2 2AB AC BC BB    ,求二面角 1B CD B  的余弦值； （3）若 1AC ， 1BA ， 1CB 两两垂直，求证：此三棱柱为正三棱柱. 19.（12 分）已知关于 x 的实系数方程 2 2 0x ax b   在区间(0,1)和(1,2)内各有一根，求：（1） 2 2a b 的取值范围；（2）求| 2 |a b  的取值范围。 20.（12 分）已知两定点 (0,1), (1,2)M N ，平面内一动点 P 到 M 的距离与 P 到 N 的距离之比为 2 ， 直线 1y kx  与点 P 的轨迹交于 A，B 两点.（1）求点 P 的轨迹方程，并指出是什么图形；（2）求 实数 k 的取值范围；（3）是否存在 k 使得 11OA OB   （O 为坐标原点），若存在求出 k 的值，若不 存在，请说明理由. 21.（12 分）已知圆 M： 2 2( 1) ( 1) 2x y    ，直线 : 2 0l x y   上有一动点 P，PA, PB 是圆 M 的两条切线,A,B 为切点. (1)求当 APB 最大时， PAB 的面积; (2)试探究直线 AB 是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由。 22.（10 分）在边长为 a 的正方形 ABCD 中， ,M N 分别为 DA BC、 上的点，且 / /MN AB ，连结 AC 交 MN 于点 P ，现沿 MN 将正方形 ABCD 折成直二面角. （1）求证：无论 MN 怎样平行移动（保持 / /MN AB ）， APC 的大小不变并求出此定值； （2）当 MN 在怎样的位置时， M 点到面 ACD 的距离最大？ 新都一中高 2015 级数学考试题参考答案 一、选择题(60 分) 1. C 2. A 3. B 4. B 5. D 6. C 7. A 8. A 9. D 10. D 11. A 12．D 二、填空题（20 分） 13. 3 2 14. 1x  或3 4 9 0x y   15. 4 16. ①②④⑤ 三、解答题（70 分） 17.解：（1）直线 1l 的斜率 1 2k  ，且 1l l ………………………………………（2 分） 直线l 的斜率 1 2k   ………………………………………………………（2 分） 直线l 的方程为 11 ( 1)2y x    ，即 2 3 0x y   ……………………（2 分） （2）设圆 M 的方程为 2 2 2( ) ( ) ( 0)x a y b r r     ，则 2 2 2 2 0 | | | 2 | 2( ) ( )22 a b r a a br           ,解得 5 7 10 7 5 7 a b r          或 1 2 1 a b r        ………………（4 分） 圆 M 的方程为 2 25 10 25( + ) ( + )7 7 49x y  或 2 2( +1) ( +2) 1x y  . ……………（2 分） 18. 解：（1）证明：连接 1BC 交 1B C 于 E，连接 DE，则 DE是 1BC A 的中位线，所以 1 / /AC DE 又 1AC  平面 1B CD ， DE  平面 1B CD  1 / /AC 平面 1B CD .………………………（4 分） （2）过 B 作 BF CD 于 F，连接 1B F ,则 1CD BB  CD  平面 1BB F  1B FB 为二面角 1B CD B  的平面角，设 1B FB   由已知可得 AB AC ， ACD ∽ FBD  1 2 2 5 5 BF BD BF BFAC CD      ， 1 112 5B F    1 11cos 11 BF B F    ，即二面角 1B CD B  的余弦值为 11 11 .…………（4 分） (3)证明：作 1 1 1,A M B C AN BC  ，垂足分别为 M，N，连接 BM， 1C N . 由已知可得 1A M  平面 1 1B C CB ， 1 1A M B C 又 1 1A B B C ，且 1 1,A M A B 是平面 1A BM 内的两条相交直 线  1B C  平面 1A BM ， 1B C  BM 同理 1B C  1C N 又 直线 1 1 ,B C C N BM， 都在平面 1 1B C CB 内，  1 / /C N BM ，又 1 / /C M BN  四边形 1C NBM 是  ， 1 1,C M BN C N BM  又 1 1AC M ≌ ANC  1C M CN ， CN BN ，  AC BC 同理 AC AB  ABC 是等边三角形，又三棱柱 ABC—A1B1C1 是直三棱柱  三 棱 柱 ABC—A1B1C1 为 正 三 棱 柱。……………………………（4 分） 19.解：设 2( ) 2f x x ax b   ，则有 (0) 0 0 (1) 0 2 1 0 (2) 0 4 4 0 f b f a b f a b                 ，点 ( , )a b 表示的区域为 ………………………………………………（6 分） （1） 2 2a b 表示点 ( , )a b 到原点的距离的平方， 2 21 5 2 2a b    2 21 25 4 4a b   ……………（3 分） （2） | 2 | 2 a b  表示点 ( , )a b 到直线 2 0a b   的距离，由图可知 3 | 2 | 3 2 2 2 2 a b    3 | 2 | 32 a b    ……………（3 分） 20.解：（1）设动点 P 的坐标为 , )P x y（ 由已知可得 | 2 | |MP NP｜ ，即 2 2 2 2( 1) 2 ( 1) ( 2)x y x y       整理 2 2 4 6 9 0x y x y     ，即 2 2( 2) ( 3) 4x y    ，其图形是以点（2，3）为圆心，2 为半 径的圆.……………………………………（4 分） （2）直线 1y kx  ，即 1 0kx y   ，圆心到此直线的距离小于半径 2 | 2 3 1| 2 1 k k     解得 3 4k  ……………………………………（4 分） （3）设 1 1 2 2( , 1), ( , 1)A x kx B x kx  ，由 11OA OB   可得 1 2 1 2+ 1) 1)=11x x kx kx （ （ ，即 2 1 2 1 2( 1) ( ) 10=0k x x k x x  - ……（A) 又由 2 2 1 4 6 9 0 y kx x y x y         消去 y ： 2 2(1 ) 4(2 1) 16 0k x k x     由（2）知 3 4k   1 2 2 4(2 1)+ = 1 kx x k   ， 1 2 2 16 1x x k   ………（B) 将（B)代入（A)可得 2 2 8 416 10 01 k k k    ，解得 1k  ，或 3k   （不满足 3 4k  ）舍去 当 1k  时， 11OA OB   成立. ……………………………………………（4 分） 21. 解 ：（ 1 ） 如 图 ， 在 直 角 三 角 形 MPA 中 ， | | 2AM  , APM 是 锐 角 ， 由 | | 2sin | | | | AMAPM PM PM   ， 当 | |PM 最 小 时 sin APM 最大，即 APM 最大，亦即 APB 最大， 此时 MP l . 当 MP l 时，直线 MP 的方程为 y x ， 由 2 0 y x x y      得 1x y   ，所以点 P 的坐标为 P ( 1, 1)  ，直线 AB 通过以 PM 为直径的圆与圆 M 的交点 以 PM 为直径的圆的方程为 ( 1)( 1) ( 1)( 1) 0x x y y      ，即 2 2 2x y  ， 过圆 2 2 2x y  与圆 2 2( 1) ( 1) 2x y    交点的直线 AB 的方程为： 1 0x y   点 M 到直线 AB 的距离为 1 2 ， | | 6AB  ，点 P 到 AB 的距离为 3 2 ，所以， PAB 的面积为 1 3 3 362 22PABS     .……………………………………………（6 分） （2）在直线 : 2 0l x y   上任取一点 ( , 2)P t t  ，以 MP 为直径的圆的方程为 ( 1)( ) ( 1)( 2) 0x x t y y t       ，即 2 2 ( 1) ( 1) 2 0x y t x t y       过两圆 2 2 ( 1) ( 1) 2 0x y t x t y       和 2 2 2 2 0x y x y    交点的直线 AB 的方程为 (1 ) ( 3) 2 0t x t y     ，即 ( ) 3 2 0y x t x y     ，由 0 3 2 0 y x x y       得 1 2x y  ，所以，直 线 AB 通过定点 1 1( , )2 2 .…………………… ………………………（6 分） 22.解：设 (0 )AM x x a   ，则 DM CN a x   ， 2 , 2( )PA x PC a x   ， （1） 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2AC AD CD AM DM CD a x ax        2 2 2 cos 2 PA PC ACAPC PA PC     2 2 2 22 2( ) (2 2 2 ) 1 22 2 2( ) x a x a x ax x a x          APC 为定值120 ………………………………（5 分） (2)过 M 作 MH DA 于 H ，  MN  平面 ADM，且 / /MN CD ， CD  平面 ADM,  平面 ACD  平面 ADM， 所以， MH 的长度为点 M 到面 ACD 的距离，在直角三角形 DMA 中 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2( ) DM AM x a x ax xMH DM AM x a x x ax a             令 2 1 (0 )t x aax x    ，则 2 4t a  ， 2 2 1 2 MH a t t    2 2 2 82a t t a   （当且仅当 2 4=t a 即 2 ax  时，取等号）  2 2 1 2 42 aMH a t t    （当且仅当 2 ax  时取等号）， 所以，当点 M 和 N 分别是 DA BC、 的中点时， M 点到面 ACD 的距离最大为 2 4 a .…（5 分）