【推荐】专题3-4+基本不等式-试题君之课时同步君2017-2018学年高二数学人教版（必修5）x

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一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知a＞0，b＞0，m＝，n＝，且a，b的等比中项是1，则m＋n的最小值是 A．3 B．4‎ C．5 D．6‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意知：ab＝1，所以m＝＝2b，n＝＝2a，‎ 所以m＋n＝2(a＋b)≥＝4．故选B．‎ ‎2．已知，则m，n之间的大小关系是 A．m＞n B．m＜n ‎ C．m＝n D．不能确定 ‎【答案】A ‎ ‎ ‎3．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 A．60件 B．80件 ‎ C．100件 D．120件 ‎【答案】B ‎【解析】记平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为，‎ 则，‎ 当且仅当，即x＝80 (负值舍去)时取等号，故选B．‎ ‎4．已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为 A．8 B．6‎ C．4 D．2‎ ‎【答案】C ‎ ‎ ‎5．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值为 A． B．‎ C．5 D．6‎ ‎【答案】C ‎【解析】由x＋3y＝5xy及x＞0，y＞0可得，‎ 所以3x＋4y，‎ 当且仅当，即x＝2y时取等号．故3x＋4y的最小值为5．故选C．‎ ‎6．若a，b，c＞0且(a＋c)(a＋b)＝，则‎2a＋b＋c的最小值为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由a，b，c＞0及(a＋c)(a＋b)＝，可得＝(a＋c)(a＋b)≤，‎ 当且仅当b＝c时取等号，所以(‎2a＋b＋c)2≥，即2a＋b＋c≥，‎ 故‎2a＋b＋c的最小值为，故选D．‎ ‎7．若a＞0，b＞0，a＋b＝2，则下列不等式中恒成立的个数为 ‎①ab≤1；②≤；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤≥2．‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎ ‎ ‎8．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】用转化的数学思想先求的最小值，再建立不等式求解即可．‎ 因为，当且仅当时取等号，‎ 故，所以，解得，‎ 故实数的取值范围为．故选C．‎ 二、填空题：请将答案填在题中横线上．‎ ‎9．已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，则的最小值为_________________．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】因为a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，所以＝＝3＋＝3＋≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．‎ ‎10．函数的最小值是_________________．‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎11．在4×＋9×＝60的两个中，分别填入一个自然数，使它们的倒数之和最小，则中应分别填入____________和____________． ‎ ‎【答案】6 4‎ ‎【解析】设两数为x，y，则，‎ 故，‎ 当且仅当，即x＝6，y＝4时等号成立，故中应分别填入6和4．‎ ‎12．函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn＞0，则的最小值为_________________．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】因为函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0且a≠1)的图象恒过定点A(－2，－1)，且点A在直线mx＋ny＋1＝0上，所以－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1，又mn＞0，所以 ‎，当且仅当，即，时，取得最小值为8．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎13．（1）已知函数，试比较与的大小，并加以证明；‎ ‎（2）若0＜x＜1，a＞0，b＞0．求证：．‎ ‎【答案】（1）≤，证明见解析；（2）证明见解析．‎ ‎ ‎ ‎14．（1）求函数的最小值；‎ ‎（2）已知正数a，b和正数x，y，若a＋b＝10，，且x＋y的最小值是18，求a，b的值．‎ ‎【答案】（1）9；（2）或．‎ ‎ ‎ ‎15．某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2017年进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，该服装的年销量x (万件)与年促销费t (万元)之间满足：3－x与t＋1成反比例．如果不搞促销活动，该服装的年销量是1万件．已知2017年生产该服装的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，将每件服装的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，当年生产的服装正好能销售完．‎ ‎（1）将2017年生产该服装的利润y(万元)表示为促销费t (万元)的函数；‎ ‎（2）该企业2017年的促销费投入多少万元时，企业生产该服装的利润最大？‎ ‎(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)‎ ‎【答案】（1）；（2）促销费定为7万元时，企业生产该服装的利润最大．‎ ‎【解析】（1）由题意可设，‎ 将t＝0，x＝1代入，得k＝2，故．‎ 当2017年生产x万件时，生产成本为，‎ 销售收入为150%，‎ 由题意，可得．‎ ‎（2），‎ 当且仅当，即t＝7时，y取得最大值为42，‎ 所以2017年促销费定为7万元时，企业生产该服装的利润最大．‎ ‎16．已知的内角，，的对边分别为，，，且．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【思路分析】（1）由于已知条件是关于边的齐次式，用正弦定理边化角，可得，化简即可求得角的大小；（2）由（1）及，利用余弦定理可得，由均值不等式可求的最大值．‎ ‎（2）由（1）知，‎ 因为，由余弦定理可得，即．‎ ‎∵，∴，即．‎ ‎∴，当且仅当时，取等号．‎ ‎∴的最大值为．‎ ‎ ‎ ‎ ‎