中考数学压轴题破解策略专题22直角三角形的存在性

中考数学压轴题破解策略专题22直角三角形的存在性

专题22《直角三角形的存在性》‎ 破解策略 以线段AB为边的直角三角形构造方法如右图所示：‎ ‎ ‎ ‎ 直角三角形的另一个顶点在以A在以AB为直径的圆上，或过A、B且与AB垂直的直线上（A，B两点除外）． ‎ ‎ 解直角三角形的存在性问题时，若没有明确指出直角三角形的直角，就需要进行分类讨论．通常这类问题的解题策略有：‎ ‎ （1）几何法：先分类讨论直角，再画出直角三角形，后计算．‎ ‎ 如图，若∠ACB＝90°．过点A、B作经过点C的直线的垂线，垂足分别为E、F．则△AEC∽△CFB．从而得到线段间的关系式解决问题．‎ ‎ （2）代数法：先罗列三边长，再分类讨论直角，根据勾股定理列出方程，然后解方程并检验．‎ ‎ 有时候将几何法和代数法相结合．可以使得解题又快又好！‎ 例题讲解 ‎ 例1 如图，抛物线l：y＝ax2＋2x－3与r轴交于A，B（3，0）两点（点A在点B的左侧）．与y轴交于点C（0，3）．已知对称轴为x＝1．‎ ‎ （1）求抛物线的表达式；‎ ‎（2）设点P是抛物线l上任意一点，点Q在直线x＝－3上，问：△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．‎ 解：（1）由题意可得点A的坐标为（1，0）．‎ 所以抛物线表达式可变为y＝a（x－3）（x＋1）＝ax2－2ax－3a ‎ ‎ 由点C的坐标可得－3a＝3，a＝－1‎ ‎ 所以抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3．‎ ‎ （2）如图，过点P作PM垂直于直线l，垂足为M．过点B作BN垂直于直线PM．垂足为N．‎ 若△PBQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，‎ 无论点P在BQ的上方或下方，由“弦图模型”均可得△PQM∽△BPN． 所以PM＝BN．‎ 设点P的坐标为（m，H，－m2＋2m＋3）．则PM＝|m＋3|，BN＝|－m2＋2m＋3|，所以|m＋3|＝|－m2＋2m＋3|．解得m1＝0，m2＝1，m3＝，m4＝‎ 所以点P的坐标为（0，3），（1，4），（，），（，）‎ 例2 如图，一次函数y＝－2x＋10的图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象相交于A、B两点（点A在点B的右侧），分别交x轴．y轴于点E，F．若点A的坐标为（4，2）．问：反比例函数图象的另一支上是否存在一点P．使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由，‎ ‎ 解：将点A（4，2）代入反比例函数表达式，得k＝8，‎ ‎ 所以反比例函数为y＝， ‎ ‎ 联立方程纽组 ， 解得，‎ ‎ 所以点B的坐标为（1，8）．‎ ‎ 由题意可得点E．F的坐标分剐为（5，0），（0，10），‎ ‎ 以AB为直角迎的直角三角形有两种情况：‎ ‎ ‎ 如图1，当∠PAB＝90°时，‎ ‎ 连结OA，则OA＝＝．‎ ‎ 而AE＝＝，OE＝5，所以OA2＋AE2＝OE2，‎ ‎ 即OA⊥AB．所以A，O，P三点共线．‎ ‎ 由O、A两点的坐标可得直线AP的表达式为y＝x．‎ ‎ 联立方程组 解得，‎ 所以点P的坐标为（－4，－2）．‎ ‎②如图2，当∠PBA＝90°时，记BP与y轴的交点为G．‎ 易证△FBC∽△FOE，所以，‎ 而FO＝10．FE＝，FB＝＝‎ 可求得FG＝，所以点G的坐标为（0，）．由B，G两点的坐标可得直线BP的表达式为y＝x＋，‎ 联立方程组 解得 ‎ 所以点P的坐标为（－16，－）；‎ 综上可得，满足条件的点P坐标为（－4，－2）或（－16，－）．‎ ‎ ‎ 例3 如图，抛物线C1：y＝a（x－2）2－5的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点A的横坐标是－1．D是x轴负半轴上的一个动点，将抛物线C1绕点D旋转180°后得到抛物线C2．抛物线C2的顶点为Q，与x轴相交于E，F两点（点E在点F的左侧）．当以点P，Q，E为顶点的三角形是直角三角形时，求顶点Q的坐标．‎ ‎ 解 由题意可得点A（－1，0），P（2，－5），B（5，0）．‎ 设点D的坐标为（m，0），则点Q的坐标为（2m－2，5），E的坐标为（2m－5，0），‎ 所以PQ2＝（2m－4）2 ＋102，PE2＝（2m－7）2＋52，EQ2＝32＋52＝34．‎ ‎△PQE为直角三角形有三种情况：‎ ‎①当∠PQE＝ 90°时，有PE2＝PQ2＋ EQ2，‎ 即（2m－7）2＋52＝（2m－4）2＋102＋34，解得m＝－，所以点Q的坐标为（－，5）；‎ ‎②当∠QEP＝90°时，有PQ2＝PE2 ＋EQ2，‎ 即（2m－4）2＋102＝（2m－7）2＋52＋34，解得m＝－，所以点Q的坐标为（－，5）；‎ ‎③当∠QPE＝ 90°时，有EQ2＝PE2 ＋ PQ2，‎ 即（2m－7）2＋52＋（2m－4）2＋102＝34，方程无解，所以此种情况不成立，‎ 综上可得，当△PQE为直角三角形时，顶点Q的坐标为（－，5）或（－，5）．‎ 例4 如图．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝ 90°，AD＝2，BC＝6，AB＝3．E为BC边上一点，当BE＝2时，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．当正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFG为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B'EFG的边EF与AC交于点M，连结B′D，B'M，DM．问：是否存在这样的t，使△B'DM是直角三角形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．‎ 解 存在满足条件的t．理由如下：‎ ‎ 如图，过点D作DH⊥ BC于点H，过点M作MN⊥DH于点N，‎ ‎ 则BH＝AD＝2，DH＝AB＝3．‎ ‎ 所以BB′＝HE＝t，HB′＝|t－2|，EC＝4－t． ‎ ‎ 易证△MEC∽△ABC，‎ ‎ 可得＝，即＝，所以ME＝2－t．‎ ‎ 在Rt△B′ME中，有B′M2＝ME2＋B′E2＝t2－2t＋8．‎ ‎ 在Rt△DHB′中，有B′D2＝DH2＋B′H2＝t2－4t＋13．‎ ‎ 在Rt△DMN中，DN＝DH－NH＝t＋1．‎ ‎ 则DM2＝DN2＋MN2＝t2＋t＋1．‎ ‎ ①若∠DB'M＝90°，则DM2＝B'M2＋B'D2，‎ ‎ 即t2＋t＋1＝（t2－2t＋8）＋（t2－4t＋13），‎ ‎ 解得t1＝；‎ ‎②若∠B'MD＝90°，则B'D2＝B'M2＋DM2，‎ ‎ 即t2－4t＋13＝（t2－2t＋8）＋（t2＋t＋1），‎ ‎ 解得t2＝－3＋，t3＝－3－（舍）；‎ ‎③若∠B'DM＝90°，则B'M2＝B'D2＋DM2，‎ ‎ 即t2－2t＋8＝（t2－4t＋13）＋（t2＋t＋1），‎ ‎ 此方程无解．‎ ‎ 综上所得，当t＝或－3＋时，△B'DM是直角三角形．‎ 进阶训练 ‎1．如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OA ＝4，AB＝3．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1．25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．当两个动点运动了x（0＜x＜4）时，解答下列问题：‎ ‎ （1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）；‎ ‎ （2）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）N（x，x）；‎ ‎ （2）当△OMN是直角三角形时，x的值为2或．‎ ‎【提示】（1）过点N作NP⊥OA于点P，由△PON∽△AOB即可求得；‎ ‎ （2）分类讨论，通过△OMN和△OAB相似即可列出等式求得x的值．‎ ‎2．如图，在平面直角坐标xOy中，直线y＝kx－3与双曲线y＝的两个交点为A，B．其中A（－1，a）．若M为x轴上的一个动点，且△AMB为直角三角形，求满足条件的点M的坐标．‎ ‎ ‎ 解：满足条件的点M的坐标为（－5，0），（5，0），（，0）或（，0）．‎ ‎【提示】先求出点A，B的坐标，再设点M的坐标，从而用待定字母表示AM2，BM2，AB2．然后讨论直角，根据勾股定理列方程即可．‎ ‎3．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．‎ ‎ （1）求点A，B的坐标；‎ ‎ （2）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的一个动点，当以A，B，M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的表达式．‎ ‎ ‎ 解：（1）A（﹣4，0），B（2，0）；‎ ‎ （2）直线l的表达式为或．‎ ‎【提示】（2）若△ABM是直角三角形，则点M在以AB为直径的圆上，或过A，B且与AB垂直的直线上（A，B两点除外）．由题意可得直线l与以AB为直径的圆相切（如图），点M1，M2，M 3即为满足条件的三个点，此时直线l：；根据对称性，直线l还可以为 ‎4，如图，顶点为P（4，﹣4）的二次函数图象经过原点O（0，0），点A在该图象上， OA交其对称轴l于点M，点M，N关于点P对称，连结AN，ON．‎ ‎ （1）求该二次函数的表达式；‎ ‎ （2）当点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，请回答下列问题：‎ ‎ ①证明：∠ANM＝∠ONM；‎ ‎②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标；如果不能，请说明理由．‎ ‎ ‎ 解：（1）；（2）①略；②△ANO 能为直角三角形，符合条件的点A的坐标为 ‎【提示】（2）①过点A作AH⊥l于点H，令l与x轴的交点为D．设点A（m，），则直线AO的表达式为，从而求得点M的坐标为（4，m－8），‎ N的坐标为（4，﹣m），只需证明tan∠ANH＝tan∠OND即可；‎ ‎②分类讨论：当∠ANO＝90°时，∠ANM＝∠ONM＝45°，点N与点P重合，点M与点D重合，不满足M，N关于点P对称，故此时不存在这样的点A；‎ 当∠NOA＝90°时，有，求得满足条件的点A；‎ 当∠NAO＝90°时，有，即，解得m＝4，此时点A，P重合，不满足题意．‎ ‎5．抛物线y＝﹣x2＋2x＋3的顶点为C，点A的坐标为（﹣1，4），其对称轴l上是否存在点M，使线段MA绕点M逆时针旋转90°得到线段MB，且点B恰好落在抛物线上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 解：存在，点M的坐标为（1，2）或（1，5）．‎ ‎【提示】如图，连结AC，则AC⊥l，作BD⊥l于点D，则△MCA≌△BDM，从而MD＝AC＝2，BD＝MC．无论点A，B在l同侧还是异侧，设点M（1，m），都可得B（m－3，m－2），代入抛物线表达式即可求得m＝2或5，从而点M的坐标为（1，2）或（1，5）．‎