- 2021-04-17 发布 |
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文档介绍
高考数学一轮复习练案57第八章解析几何第八讲曲线与方程含解析
[练案57]第八讲 曲线与方程 A组基础巩固 一、单选题 1.(2019·云南质量检测)已知M(-2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为( D ) A.x2+y2=2 B.x2+y2=4 C.x2+y2=2(x≠±) D.x2+y2=4(x≠±2) [解析] MN的中点为原点O,易知|OP|=|MN|=2,∴P的轨迹是以原点O为圆心,2为半径的圆,除去与x轴的两个交点,即P的轨迹方程为x2+y2=4(x≠±2),故选D. 2.方程lg(x2+y2-1)=0所表示的曲线图形是( D ) 3.已知点F(1,0),直线l:x=-1,点B是l上的动点.若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M,则点M的轨迹是( D ) A.双曲线 B.椭圆 C.圆 D.抛物线 [解析] 连接MF,由中垂线性质知|MB|=|MF|, 即M到定点F的距离与它到直线x=-1距离相等. ∴点M的轨迹是抛物线,∴D正确. 4.(2019·金华模拟)已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点,定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则Q点的轨迹方程是( D ) A.2x+y+1=0 B.2x-y-5=0 C.2x-y-1=0 D.2x-y+5=0 [解析] 设Q(x,y),∵|PM|=|MQ|,∴M为线段PQ的中点,∴则P为(-2-x,4-y),代入2x-y+3=0,得Q点的轨迹方程为2x-y+5=0. 5.(2019·四川雅安调研)设动点P在直线x=1上,O为坐标原点,以OP为直角边、点O为直角顶点作等腰Rt△OPQ,则动点Q的轨迹是( B ) - 8 - A.圆 B.两条平行直线 C.抛物线 D.双曲线 [解析] 设P(1,a),Q(x,y).以点O为直角顶点作等腰直角三角形OPQ,=-1,x=-ay,∵|OP|=|OQ|,∴1+a2=x2+y2=a2y2+y2=(a2+1)y2,而a2+1>0,∴y2=1,∴y=1或y=-1,∴动点Q的轨迹是两条平行于x轴的直线. 6.若曲线C上存在点M,使M到平面内两点A(-5,0),B(5,0)距离之差的绝对值为8,则称曲线C为“好曲线”,以下曲线不是“好曲线”的是( B ) A.x+y=5 B.x2+y2=9 C.+=1 D.x2=16y [解析] M点的轨迹是双曲线 -=1,依题意,是“好曲线”的曲线与M点的轨迹必有公共点.四个选项中,只有圆x2+y2=9与M点的轨迹没有公共点,其他三个曲线与M点的轨迹都有公共点,所以圆x2+y2=9不是“好曲线”. 7.(2019·大同模拟)设点A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线,且|PA|=1,则P点的轨迹方程为( D ) A.y2=2x B.(x-1)2+y2=4 C.y2=-2x D.(x-1)2+y2=2 [解析] 如图,设P(x,y),圆心为M(1,0), 连接MA,则MA⊥PA,且|MA|=1. 又∵|PA|=1,∴|PM|==, 即|PM|2=2,∴(x-1)2+y2=2. 8.已知F是抛物线y=x2的焦点,P是该抛物线上的动点,则线段PF中点的轨迹方程是( A ) A.x2=2y-1 B.x2=2y- C.x2=y- D.x2=2y-2 [解析] 把抛物线方程y=x2化成标准形式x2=4y,可得焦点F(0,1), - 8 - 设P(x0,y0),PF的中点为M(x,y). 由中点坐标公式得,∴ 又∵P(x0,y0)在抛物线y=x2上, ∴2y-1=(2x)2,即x2=2y-1,故选A. 9.(2019·江西省萍乡市模拟)已知动圆C经过点A(2,0),且截y轴所得的弦长为4,则圆心C的轨迹是( D ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 [解析] 设圆心C(x,y),弦为BD,过点C作CE⊥y轴,垂足为E,则|BE|=2,∴|CA|2=|BC|2=|BE|2+|CE|2,∴(x-2)2+y2=22+x2,化为y2=4x,y2=4x为抛物线. 二、多选题 10.当α∈(,)时,方程x2sin α+y2cos α=1表示的轨迹可以是( ACD ) A.两条直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 [解析] 当α∈(,)时,sin α∈(,1),∈(1,),cos α∈(0,),∈(,+∞), >>0. 方程x2sin α+y2cos α=1可化为+=1, 表示焦点在y轴上的椭圆. 当α=时,sin α=1,cos α=0,方程x2sin α+y2cos α=1化为x2=1,x=±1,表示两条直线. 当α∈(,)时, - 8 - sin α∈(,1),∈(1,), cos α∈(-,0),∈(-∞,-), 方程x2sin α+y2cos α=1可化为-=1, 表示焦点在x轴上的双曲线. 所以曲线不可能表示圆,故选A、C、D. 11.已知双曲线C过点(3,)且渐近线为y=±x,则下列结论正确的是( AC ) A.C的方程为-y2=1 B.C的离心率为 C.曲线y=ex-2-1经过C的一个焦点 D.直线x-y-1=0与C有两个公共点 [解析] 对于选项A:由已知可设所求双曲线方程为x2-y2=λ,又双曲线C过点(3,),从而×32-()2=λ,即λ=1,从而A正确;对于选项B:由双曲线方程可知a=,b=1,c=2,从而离心率为e===,所以B错误;对于选项C:双曲线的右焦点坐标为(2,0),满足y=ex-2-1,从而C正确;对于选项D:联立,整理,得y2-2y+2=0,由Δ=(2)2-4×2=0,知直线与双曲线C只有一个交点,D错误.故选A、C. 三、填空题 12.已知圆的方程为x2+y2=4,若抛物线过点A(-1,0),B(1,0)且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程是 +=1(y≠0) . [解析] 设抛物线焦点为F,过A,B,O作准线的垂线AA1,BB1,OO1,则|AA1|+|BB1|=2|OO1|=4,由抛物线定义得|AA1|+|BB1|=|FA|+|FB|,∴|FA|+|FB|=4,故F点的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点),所以抛物线的焦点轨迹方程为+=1(y≠0). 13.(2019·江西九江联考)设F(1,0),点M在x轴上,点P在y轴上,且=2,⊥,当点P在y轴上运动时,则点N的轨迹方程为__y2=4x__. - 8 - [解析] 设M(x0,0),P(0,y0),N(x,y),由=2,得即因为⊥,=(x0,-y0),=(1,-y0),所以(x0,-y0)·(1,-y0)=0,所以x0+y=0,即-x+y2=0,所以点N的轨迹方程为y2=4x. 四、解答题 14.(2019·四川成都诊断)已知长度为4的线段AB的两个端点A,B分别在x轴和y轴上运动,动点P满足=3,记动点P的轨迹方程为曲线C. (1)求曲线C的方程; (2)设不经过点H(0,1)的直线y=2x+t与曲线C相交于M,N若直线HM与HN的斜率之和为1,求实数t的值. [解析] (1)设P(x,y),A(m,0),B(0,n), ∵=3, ∴(x,y-n)=3(m-x,-y)=(3m-3x,-3y), 即,∴. 又|AB|=4,∴m2+n2=16.从而+16y2=16. ∴曲线C的方程为+y2=1. (2)设M(x1,y1),N(x2,y2), 联立,消去y,得37x2+36tx+9(t2-1)=0, 由Δ=(36t)2-4×37×9(t2-1)>0, 可得-查看更多