高考数学专题复习：专题4立体几何 第2讲

高考数学专题复习：专题4立体几何 第2讲

专题四　第二讲 一、选择题 ‎1．(2013·德阳市二诊)设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，若已知m⊥n，m⊥α，则“n⊥β”是“α⊥β”的(　　)‎ A．充分非必要条件　　 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎[答案]　A ‎[解析]　⇒α⊥β.⇒/ n⊥β.‎ ‎2．(2014·重庆理，7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)‎ A．54 B．60‎ C．66 D．72‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　如图所示 该几何体是将一个直三棱柱截去一个三棱锥得到的，直三棱柱底面是直角三角形，两直角边长为3和4，柱高为5，∵EF∥AC，AC⊥平面ABDF，∴EF⊥平面ABDF，∴EF⊥DF，在直角梯形ABDF中，易得DF＝5，故其表面积为S＝SRt△ABC＋S矩形ACEF＋S梯形ABDF＋S梯形BCED＋SRt△DEF＝＋3×5＋＋＋＝60.‎ ‎3．(文)设α、β、γ是三个互不重合的平面，m、n为两条不同的直线．给出下列命题：‎ ‎①若n∥m，m⊂α，则n∥α；‎ ‎②若α∥β，n⊄β，n∥α，则n∥β；‎ ‎③若β⊥α，γ⊥α，则β∥γ；‎ ‎④若n∥m，n⊥α，m⊥β，则α∥β.‎ 其中真命题是(　　)‎ A．①和② B．①和③‎ C．②和④ D．③和④‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　若n∥m，m⊂α，则n∥α或n⊂α，即命题①不正确，排除A、B；若α∥β，n⊄β，n∥α，则n∥β，则命题②正确，排除D，故应选C.‎ ‎(理)已知α、β是两个不同的平面，m、n是两条不重合的直线，下列命题中正确的是(　　)‎ A．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n B．若m⊥α，m⊥n，则n∥α C．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n D．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β ‎[答案]　C ‎[解析]　对于选项A，m，n有可能平行也有可能异面；对于选项B，n有可能在平面α内，所以n与平面α不一定平行；对于选项D，m与β的位置关系可能是m⊂β，m∥β，也可能m与β相交．由n⊥β，α⊥β得，n∥α或n⊂α，又m⊥α，∴m⊥n，故C正确．‎ ‎4．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，△AED、△EBF、△FCD分别沿DE、EF、FD折起，使A，B，C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　B ‎[解析]　由条件知A′E、A′F、A′D两两互相垂直，以A′为一个顶点，A′E、A′F、A′D为三条棱构造长方体，则长方体的对角线为四面体外接球的直径，∵A′E＝A′F＝1，A′D＝2，∴(2R)2＝12＋12＋22＝6，∴R＝.‎ ‎5．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折 ‎，在翻折过程中(　　)‎ A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直 B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直 C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直 ‎[答案]　B ‎[解析]　①过A、C作BD的垂线AE、CF，∵AB与BC不相等，∴E与F不重合，在空间图(2)中，若AC⊥BD，∵AC∩AE＝A，∴BD⊥平面ACE，∴BD⊥CE，这样在平面BCD内，过点C有两条直线CE、CF都与BD垂直矛盾，∴A错；②若AB⊥CD，∵AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD，∴AB⊥AC，∵ABAB，这样的△ABC不存在，∴C错误．‎ ‎6．(文)已知正四棱柱ABCD－A1B‎1C1D1，AB＝2，CC1＝2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为(　　)‎ A．2　　　　　　　　　 B. C. D．1‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　本题考查了正四棱柱的性质，点到直线距离的求解．连接AC、BD，AC∩BD＝O，连接EO，则EO∥AC1.则点C到平面BDE的距离等于AC1到平面BDE的距离，过C作CH⊥OE于H，CH为所求．在△EOC中，EC＝，CO＝，所以CH＝1.本题解答体现了转化与化归的思想，注意等积法的使用．‎ ‎(理)已知四棱锥P－ABCD的侧棱长与底面边长都相等，点E是侧棱PB的中点，则异面直线AE与PD所成角的余弦值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　C ‎[解析]　设AC与BD的交点为O，∵棱锥的各棱长都相等，‎ ‎∴O为BD中点，∴EO∥PD，∴∠AEO为异面直线AE与PD 所成的角，设棱长为1，则AO＝，EO＝，AE＝，∵AO2＋EO2＝AE2，∴cos∠AEO＝＝.‎ 二、填空题 ‎7．a、b表示直线，α、β、γ表示平面．‎ ‎①若α∩β＝a，b⊂α，a⊥b，则α⊥β；‎ ‎②若a⊂α，a垂直于β内任意一条直线，则α⊥β；‎ ‎③若α⊥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a⊥b；‎ ‎④若a不垂直于平面α，则a不可能垂直于平面α内无数条直线；‎ ‎⑤若l⊂α，m⊂α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，则α∥β.‎ 其中为真命题的是__________．‎ ‎[答案]　②⑤‎ ‎[解析]　对①可举反例如图，需b⊥β才能推出α⊥β.对③可举反例说明，当γ不与α，β的交线垂直时，即可得到a，b不垂直；④对a只需垂直于α内一条直线便可以垂直α内无数条与之平行的直线．所以只有②⑤是正确的．‎ ‎8．已知三棱柱ABC－A1B‎1C1底面是边长为的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球表面积为12π，则该三棱柱的体积为________．‎ ‎[答案]　3 ‎[解析]　4πR2＝12π，∴R＝，△ABC外接圆半径r＝，∴柱高h＝2＝2，∴体积V＝×()2×2＝3.‎ ‎9．已知正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱长为1，点P是线段A‎1C1上的动点，则四棱锥P－ABCD的外接球半径R的取值范围是______________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　当P为A‎1C1的中点时，设球半径为R，球心到底面ABCD距离为h，则，∴R＝，当P与A1(或C1)重合时，外接球就是正方体的外接球，R＝，∴R∈[，]．‎ 三、解答题 ‎10．(文)(2014·江苏，16)如图，在三棱锥P－ABC中，D、E、F分别为棱PC、AC、AB 的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.‎ 求证：(1)直线PA∥平面DEF；‎ ‎(2)平面BDE⊥平面ABC.‎ ‎[解析]　(1)由于D、E分别是棱PC、AC的中点，则有PA∥DE，‎ 又PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，‎ 所以PA∥平面DEF.‎ ‎(2)由(1)PA∥DE，又PA⊥AC，所以DE⊥AC，‎ 又F是AB中点，所以DE＝PA＝3，EF＝BC＝4，‎ 又DF＝5，所以DE2＋EF2＝DF2，所以DE⊥EF，‎ EF、AC是平面ABC内两条相交直线，所以DE⊥平面ABC，‎ 又DE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.‎ ‎(理)(2013·内江模拟)已知ABCD是矩形，AD＝4，AB＝2，E、F分别是AB、BC的中点，PA⊥平面ABCD.‎ ‎(1)求证：PF⊥DF；‎ ‎(2)若PD与平面ABCD所成角为30°，在PA上找一点G，使EG∥平面PFD，并求出AG的长．‎ ‎[解析]　(1)证明：连接AF，∵PA⊥平面ABCD，且DF⊂平面ABCD，∴DF⊥PA，‎ 又F为BC中点，BC＝4，AB＝2，‎ ‎∴BF＝BA，∴∠AFB＝45°，‎ 同理∠DFC＝45°，‎ ‎∴∠AFD＝90°，即DF⊥AF，∴DF⊥平面PAF.‎ 又PF⊂平面PAF，∴PF⊥DF.‎ ‎(2)∵PA⊥平面ABCD，∴∠PDA就是PD与平面ABC所成角．‎ ‎∴∠PDA＝30°，∴PA＝.‎ 延长DF交AB延长线于H，连接PH，则平面PDF就是平面PHD，在平面PAH内，过E作EG∥PH交PA于G.‎ ‎∵EG∥PH，PH⊂平面PHD，∴EG∥平面PHD，‎ 即EG∥平面PDF，故点G为所求．‎ ‎∴＝＝，∴AG＝.‎ 一、选择题 ‎11．(文)(2013·吉大附中模拟)已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是(　　)‎ A．m∥n，m⊥α⇒n⊥α B．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n C．m⊥α，m⊥n⇒n∥α D．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β ‎[答案]　A ‎[解析]　由线面垂直的性质定理知A正确；如图1知，当m1⊂β，m1∩n＝A时满足B的条件，但m与n不平行；当m⊥α，m⊥n时，可能有n⊂α；如图2知，m∥n∥l，α∩β＝l时满足D的条件，由此知D错误．‎ ‎(理)设m、n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：‎ ‎①⇒β∥γ　　　　　②⇒m⊥β ‎③⇒α⊥β ④⇒m∥α 其中，真命题是(　　)‎ A．①④　　 B．②③　　　‎ C．①③　　 D．②④‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　①正确，平行于同一个平面的两个平面平行；②错误，由线面平行、垂直定理知：m不一定垂直于β；③正确，由线面平行，垂直关系判断正确；④错误，m也可能在α内．综上所述，正确的命题是①③，故选C.‎ ‎12．(文)(2013·西城区模拟)如图，正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，E是棱B‎1C1的中点，动点P在底面ABCD内，且PA1＝A1E，则点P运动形成的图形是(　　)‎ A．线段 B．圆弧 C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分 ‎[答案]　B ‎[解析]　|AP|＝＝＝|B1E|(定值)，故点P在底面ABCD内运动形成的图形是圆弧．‎ ‎(理)(2013·保定市模拟)正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，M为CC1的中点，P在底面ABCD内运动，且满足∠DPD1＝∠CPM，则点P的轨迹为(　　)‎ A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 ‎[答案]　A ‎[解析]　由∠DPD1＝∠CPM得＝＝，‎ ‎∴＝2，在平面ABCD内，以D为原点，DA、DC分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设DC＝1，P(x，y)，‎ ‎∵PD＝2PC，∴＝2，整理得x2＋(y－)2＝，所以，轨迹为圆的一部分，故选A.‎ ‎13．(2013·苍南求知中学月考)已知A、B是两个不同的点，m、n是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，给出下列4个命题：①若m∩n＝A，A∈α，B∈m，则B∈α；②若m⊂α，A∈m，则A∈α；③若m⊂α，m⊥β，则α⊥β；④若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β，其中真命题为(　　)‎ A．①③ B．①④‎ C．②③ D．②④‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　②∵m⊂α，∴m上的点都在平面α内，又A∈m，∴A∈α，∴②对；由二面垂直的判定定理知，③正确．‎ 二、解答题 ‎14．(文)如图，在直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，底面ABC为正三角形，M、N、G分别是棱CC1、AB、BC的中点．且CC1＝AC.‎ ‎(1)求证：CN∥平面AMB1；‎ ‎(2)求证：B‎1M⊥平面AMG.‎ ‎[证明]　(1)如图取线段AB1的中点P，连接NP、MP，‎ ‎∵CM綊BB1，‎ NP綊BB1，‎ ‎∴CM綊NP，‎ ‎∴四边形CNPM是平行四边形．‎ ‎∴CN∥MP.‎ ‎∵CN⊄平面AMB1，MP⊂平面AMB1，‎ ‎∴CN∥平面AMB1.‎ ‎(2)∵CC1⊥平面ABC，‎ ‎∴平面CC1B1B⊥平面ABC，‎ ‎∵AG⊥BC，∴AG⊥平面CC1B1B，‎ ‎∴B‎1M⊥AG.‎ ‎∵CC1⊥平面ABC，‎ 平面A1B‎1C1∥平面ABC，‎ ‎∴CC1⊥AC，CC1⊥B‎1C1，‎ 设AC＝‎2a，则CC1＝‎2a，‎ 在Rt△MCA中，AM＝＝a.‎ 在Rt△B‎1C1M中，B‎1M＝＝a.‎ ‎∵BB1∥CC1，∴BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AB，‎ ‎∴AB1＝＝＝‎2a.‎ ‎∵AM2＋B‎1M2‎＝AB，∴B‎1M⊥AM.‎ 又∵AG∩AM＝A，∴B‎1M⊥平面AMG.‎ ‎(理)如图，在三棱柱ABC—A1B‎1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB＝BC＝2，点N为B‎1C1的中点，点P在棱A‎1C1上运动．‎ ‎(1)试问点P在何处时，AB∥平面PNC，并证明你的结论； ‎ ‎(2)在(1)的条件下，若AA1

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