历年高考抛物线真题详解理科

历年高考抛物线真题详解理科

历年高考抛物线真题详解理科 ‎1.【2017课标1，理10】已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A．16 B．14 C．12 D．10‎ ‎2.【2016年高考四川理数】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且=2,则直线OM的斜率的最大值为( )‎ ‎（A）（B）（C）（D）1‎ ‎3.【2016年高考四川理数】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且=2,则直线OM的斜率的最大值为( )‎ ‎（A）（B）（C）（D）1‎ ‎4.【2016高考新课标1卷】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|=,|DE|=,则C的焦点到准线的距离为 ‎(A)2 (B)4 (C)6 (D)8‎ ‎5.【2015高考四川，理10】设直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（ ）‎ ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎6.【2015高考浙江，理5】如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，，，其中点，在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 7. ‎【2017课标II，理16】已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点。若为的中点，则 ‎8.【2016高考天津理数】设抛物线，（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C（p,0），AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为，则p的值为_________.‎ ‎10.【2017北京，理18】已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；‎ ‎（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.‎ ‎11.【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线，抛物线 ‎（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；‎ ‎（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.‎ ‎①求证：线段PQ的中点坐标为；‎ ‎②求p的取值范围.‎ ‎12.【2017浙江，21】（本题满分15分）如图，已知抛物线，点A，，抛物线上的点．过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．‎ ‎（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值．‎ ‎13.【2016高考新课标3理数】已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．‎ ‎（I）若在线段上，是的中点，证明；‎ ‎（II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.‎ ‎1.【2017课标1，理10】已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A．16 B．14 C．12 D．10‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：设，直线方程为 联立方程得∴‎ 同理直线与抛物线的交点满足 由抛物线定义可知 当且仅当（或）时，取得等号.‎ ‎【考点】抛物线的简单性质 ‎2.【2016年高考四川理数】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且=2,则直线OM的斜率的最大值为( )‎ ‎（A）（B）（C）（D）1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：设（不妨设），则由已知得，，，，，故选C.‎ 考点：抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用．‎ ‎3.【2016年高考四川理数】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且=2,则直线OM的斜率的最大值为( )‎ ‎（A）（B）（C）（D）1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：设（不妨设），则由已知得，，，，，故选C.‎ 考点：抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用．‎ ‎【名师点睛】本题考查抛物线的性质，结合题意要求，利用抛物线的参数方程表示出抛物线上点的坐标，利用向量法求出点的坐标，是我们求点坐标的常用方法，由于要求最大值，因此我们把斜率用参数表示出后，可根据表达式形式选用函数，或不等式的知识求出最值，本题采用基本不等式求出最值．‎ ‎4.【2016高考新课标1卷】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|=,|DE|=,则C的焦点到准线的距离为 ‎(A)2 (B)4 (C)6 (D)8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 考点：抛物线的性质。‎ ‎【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.‎ ‎5.【2015高考四川，理10】设直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（ ）‎ ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 显然当直线的斜率不存在时，必有两条直线满足题设.当直线的斜率存在时，设斜率为.设，则，相减得.由于，所以，即.圆心为，由得，所以，即点M必在直线上.将代入得.因为点M在圆上，所以.又（由于斜率不存在，故，所以不取等号），所以.选D.‎ 利用这个范围即可得到r的取值范围。‎ ‎6.【2015高考浙江，理5】如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，，，其中点，在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A.‎ ‎【解析】，故选A.‎ ‎【考点定位】抛物线的标准方程及其性质 ‎【名师点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质，属于中档题，解题时，需结合平面几何中同高的三角形面积比等于底边比这一性质，结合抛物线的性质：抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的距离求解，在平面几何背景下考查圆锥曲线的标准方程及其性质，是高考中小题的热点，在复习时不能遗漏相应平面几何知识的复习.‎ ‎7.【2017课标II，理16】已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点。若为的中点，则。‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 点A，‎ ‎【考点】抛物线的定义；梯形中位线在解析几何中的应用。‎ ‎【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化。如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题。因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化。‎ ‎8.【2016高考天津理数】设抛物线，（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C（p,0），AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为，则p的值为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：抛物线的普通方程为，，，又，则，由抛物线的定义得，所以，则，由得，即，所以，，所以，．‎ 考点：抛物线定义 ‎【名师点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．‎ ‎2．若P(x0，y0)为抛物线y2＝2px(p＞0)上一点，由定义易得|PF|＝x0＋；若过焦点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2‎ 可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．‎ ‎9.【2016高考浙江理数】若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 考点：抛物线的定义．‎ ‎【思路点睛】当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般会想到转化为抛物线上的点到准线的距离．解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到轴的距离．‎ ‎10.【2017北京，理18】已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；‎ ‎（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.‎ ‎【答案】（Ⅰ）方程为，抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.（Ⅱ）详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）代入点求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）设直线l的方程为（），与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，直线ON的方程为，联立求得点的坐标，证明.‎ 试题解析：解：（Ⅰ）由抛物线C：过点P（1，1），得.‎ 所以抛物线C的方程为.‎ 抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.‎ ‎，‎ 所以.‎ 故A为线段BM的中点.‎ ‎【考点】1.抛物线方程；2.直线与抛物线的位置关系 ‎【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转换与化归能力，当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整 体代换到后面的计算中去，从而减少计算量.‎ ‎11.【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线，抛物线 ‎（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；‎ ‎（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.‎ ‎①求证：线段PQ的中点坐标为；‎ ‎②求p的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）①详见解析，②‎ ‎【解析】‎ 值范围。‎ ‎（2）设，线段PQ的中点 因为点P和Q关于直线对称，所以直线垂直平分线段PQ,‎ 于是直线PQ的斜率为，则可设其方程为 ‎①由消去得 因为P 和Q是抛物线C上的相异两点，所以 从而，化简得.‎ 方程（*）的两根为，从而 因为在直线上，所以 因此，线段PQ的中点坐标为 ‎②因为在直线上 所以，即 由①知，于是，所以 因此的取值范围为 考点：直线与抛物线位置关系 ‎12.【2017浙江，21】（本题满分15分）如图，已知抛物线，点A，，抛物线上的点．过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．‎ ‎（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由两点求斜率公式可得AP的斜率为，由，得AP斜率的取值范围；（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程，得Q的横坐标，进而表达与的长度，通过函数求解的最大值．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）设直线AP的斜率为k，则，∵，∴直线AP斜率的取值范围是．‎ ‎（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程 解得点Q的横坐标是，因为|PA|==‎ ‎|PQ|= ，所以|PA||PQ|=‎ 令，因为，所以f(k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当k=时，取得最大值．‎ 的最大值。‎ ‎13.【2016高考新课标3理数】已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．‎ ‎（I）若在线段上，是的中点，证明；‎ ‎（II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）设出与轴垂直的两条直线，然后得出的坐标，然后通过证明直线与直线的斜率相等即可证明结果了；（Ⅱ）设直线与轴的交点坐标，利用面积可求得，设出的中点，根据与轴是否垂直分两种情况结合求解．‎ 试题解析：由题设.设，则，且 ‎.‎ 记过两点的直线为，则的方程为. .....3分 ‎（Ⅰ）由于在线段上，故.‎ 记的斜率为，的斜率为，则，‎ 所以. ......5分 ‎（Ⅱ）设与轴的交点为，‎ 则.‎ 由题设可得，所以（舍去），.‎ 设满足条件的的中点为.‎ 当与轴不垂直时，由可得.‎ 而，所以.‎ 当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为. ....12分 考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法．‎ 与从动点。‎ ‎14.【2015高考新课标1，理20】在直角坐标系中，曲线C：y=与直线(＞0)交与M,N两点，‎ ‎（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）存在 ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先求出M,N的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ ‎）先作出判定，再利用设而不求思想即将代入曲线C的方程整理成关于的一元二次方程，设出M,N的坐标和P点坐标，利用设而不求思想，将直线PM，PN的斜率之和用表示出来，利用直线PM，PN的斜率为0,即可求出关系，从而找出适合条件的P点坐标.‎ 试题解析：（Ⅰ）由题设可得，，或，.‎ ‎∵，故在=处的到数值为，C在处的切线方程为 ‎，即.‎ 故在=-处的到数值为-，C在处的切线方程为 ‎，即.‎ 故所求切线方程为或. ……5分 ‎（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：‎ 设P（0，b）为复合题意得点，，，直线PM，PN的斜率分别为.‎ 将代入C得方程整理得.‎ ‎∴.‎ ‎∴==.‎ 当时，有=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，‎ 故∠OPM=∠OPN，所以符合题意. ……12分 要细心和耐心。‎