【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第二章第9讲 函数模型及其应用学案
第9讲 函数模型及其应用
1．几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)
2.三种函数模型性质比较
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的单调性
增函数
增函数
增函数
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x值增大，图象与y轴接近平行
随x值增大，图象与x轴接近平行
随n值变化而不同
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)幂函数增长比直线增长更快．( )
(2)不存在x0，使ax0
1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>1)的增长速度．( )
(4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
下列函数中，随x的增大，y的增长速度最快的是( )
A．y＝ex B．y＝100 ln x
C．y＝x100 D．y＝100·2x
答案：A
(教材习题改编)一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的( )
答案：B
甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )
A．甲比乙先出发
B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙两人的速度相同
D．甲比乙先到达终点
答案：D
(教材习题改编)某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元．销售额x为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y＝alog4x＋b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元．
解析：依题意得，
即解得a＝2，b＝－2.
所以y＝2log4x－2，当y＝8时，即2log4x－2＝8.
x＝1 024(万元)．
答案：1 024
据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元．若普通车存车量为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是________．
解析：由题意知，y＝0.2x＋0.3(4 000－x)＝－0.1x＋1 200，其中x∈[0，4 000]，x∈N.
答案：y＝－0.1x＋1 200，x∈[0，4 000]，x∈N
函数模型的选择
[典例引领]
(1)下表是在某个投资方案中，整理到的投入资金x(万元)与收益y(万元)的统计表．
投入资金x(万元)
1
2
3
4
5
6
收益y(万元)
0.4
0.8
1.6
3.1
6.2
12.3
你认为投入资金x与收益y选择下列哪个模拟函数比较恰当( )
A．y＝ax＋b B．y＝a·bx
C．y＝ax2＋bx＋c D．y＝blogax＋c
(2)某研究所对人体在成长过程中，年龄与身高的关系进行研究，根据统计，某地区未成年人，从1岁到16岁的年龄x(岁)与身高y(米)的散点图如图，则该关系较适宜的函数模型为( )
A．y＝ax＋b B．y＝a＋logbx
C．y＝a·bx D．y＝ax2＋b
【解析】 (1)画出大致散点图如图所示，根据散点图可知选B．
(2)根据散点图可知，较适宜的函数模型为y＝a＋logbx，故选B．
【答案】 (1)B (2)B
选择函数模型的基本思想
(1)根据数据描绘出散点图；
(2)将散点根据趋势“连接”起来，得到大致走势图象；
(3)根据图象与常见的基本函数的图象进行联想对比，选择最佳函数模型．但必须注意实际意义与基本图形的平移性相结合．
[通关练习]
1．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x
(单位：千元)对年销售量y(单位：t)的影响．根据近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)数据得到下面的散点图．则下列哪个作为年销售量y关于年宣传费x的函数模型最适合( )
A．y＝ax＋b B．y＝a＋b
C．y＝a·bx D．y＝ax2＋bx＋c
解析：选B．根据散点图知，选择y＝a＋b最适合，故选B．
2．某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
时间t
60
100
180
种植成本Q
116
84
116
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.
利用你选取的函数，求：
(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________；
(2)最低种植成本是________元/100 kg.
解析：因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t＝60和t＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q＝at2＋bt＋c，即Q＝a(t－120)2＋m描述，将表中数据代入可得
解得
所以Q＝0.01(t－120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100 kg.
答案：(1)120 (2)80
函数模型的应用
[典例引领]
已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
(1)求炮的最大射程；
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
【解】 (1)在y＝kx－(1＋k2)x2(k>0)中，
令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0.
由实际意义和题设条件知x>0，k>0.
解以上关于x的方程得x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．
所以炮的最大射程是10千米．
(2)因为a>0，所以炮弹可以击中目标⇔存在k>0，使ka－(1＋k2)a2＝3.2成立⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根，
得
解得0200，两边同时取对数，得n－1>，又≈＝3.8，则n>4.8，即a5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B．
【答案】 B
角度三 构建分段函数模型
提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)
【解】 (1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；
当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，
再由已知得解得
故函数v(x)的表达式为v(x)＝
(2)依题意并由(1)可得f(x)＝
当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1 200；
当200，解得x>2.3.
因为x∈N*，所以3≤x≤6，x∈N*.
当x>6时，y＝[50－3(x－6)]x－115.
令[50－3(x－6)]x－115>0，有3x2－68x＋115<0.
又x∈N*，所以6185，
所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．
6．(2018·辽宁抚顺一模)食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满足P＝80＋4，Q＝a＋120，设甲大棚的投入为x(单元：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)．
(1)求f(50)的值；
(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？
解：(1)由题意知甲大棚投入50万元，
则乙大棚投入150万元，
所以f(50)＝80＋4＋×150＋120＝277.5(万元)．
(2)f(x)＝80＋4＋(200－x)＋120＝－x＋4＋250，
依题意得⇒20≤x≤180，
故f(x)＝－x＋4＋250(20≤x≤180)．
令t＝，则t∈[2，6]，y＝－t2＋4t＋250＝－(t－8)2＋282，
当t＝8，即x＝128时，f(x)取得最大值，f(x)max＝282.
所以甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大总收益为282万元．
