【数学】2018届一轮复习北师大版统计与统计案例教案
第3讲 统计与统计案例
抽样方法 自主练透 夯实双基
抽样方法主要有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种，这三种抽样方法各自适用不同特点的总体，但无论哪种抽样方法，每一个个体被抽到的概率都是相等的，都等于样本容量和总体容量的比值．
[题组通关]
1．某县老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为( )
类别
人数
老年教师
900
中年教师
1 800
青年教师
1 600
合计
4 300
A.90 B．100
C．180 D．300
C [解析] 设该样本中的老年教师人数为x，由题意及分层抽样的特点得＝，故x＝180.
2．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是________．
[解析] 设第1组抽出的号码为x，则第16组应抽出的号码是8×15＋x＝126，所以x＝6.
[答案] 6
3．利用随机数表法对一个容量为500，编号为000，001，002，…，499的产品进行抽样检验，抽取一个容量为10的样本，选取方法是从随机数表第12行第5列、第6列、第7列数字开始由左到右依次选取三个数字(下面摘取了随机数表中的第11行至第12行)，根据下表，读出的第3个数是________．
18 18 07 92 45 44 17 16 58 09 79 83 86 19 62 06 76 50 03 10 55 23 64 05 05
26 62 38 97 75 84 16 07 44 99 83 11 46 32 24 20 14 85 88 45 10 93 72 88 71
[解析] 最先读到的数据的编号是389，向右读下一个数是775，775大于499，故舍去，再下一个数是841，舍去，再下一个数是607，舍去，再下一个数是449，再下一个数是983，舍去，再下一个数是114.故读出的第3个数是114.
[答案] 114
解决抽样问题的方法
(1)解决此类题目的关键是深刻理解各种抽样方法的特点和适用范围．但无论哪种抽样方法，每一个个体被抽到的概率都是相等的，都等于样本容量与总体容量的比值．
(2)在系统抽样的过程中，要注意分段间隔，需要抽取n个个体，样本就需要分成n个组，则分段间隔即为(N为样本容量)，首先确定在第一组中抽取的个体的号码数，再从后面的每组中按规则抽取每个个体．
用样本估计总体 高频考点 多维探明
1．统计中的四个数字特征
(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据．
(2)中位数：在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数．
(3)平均数：样本数据的算术平均数，即
＝(x1＋x2＋…＋xn)．
(4)方差与标准差
方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．
标准差：
s＝.
2．直方图的两个结论
(1)小长方形的面积＝组距×＝频率．
(2)各小长方形的面积之和等于1.
用统计图表估计总体
(2016·福建毕业班质量检测)随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP软件层出不穷．现从使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取50个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如图．
(1)试估计使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数及平均数；
(2)根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：
①能否认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%?
②如果你要从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？说明理由．
【解】 (1)依题意可得，使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数为55分钟．
使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数为：
15×0.06＋25×0.34＋35×0.12＋45×0.04＋55×0.4＋65×0.04＝40(分钟)．
(2)①使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家的比例估计值为0.04＋0.20＋0.56＝0.80＝80%>75%.
故可以认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%.
②使用B款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数为15×0.04＋25×0.2＋35×0.56＋45×0.14＋55×0.04＋65×0.02＝35<40.
所以选B款订餐软件．
用样本的数字特征估计总体特征
(2016·石家庄第一次模拟)为比较甲、乙两地某月11时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中11时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：
①甲地该月11时的平均气温低于乙地该月11时的平均气温
②甲地该月11时的平均气温高于乙地该月11时的平均气温
③甲地该月11时的气温的标准差小于乙地该月11时的气温的标准差
④甲地该月11时的气温的标准差大于乙地该月11时的气温的标准差
其中根据茎叶图能得到的正确结论的编号为( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
【解析】 由茎叶图和平均数公式可得甲、乙两地的平均数分别是30，29，则甲地该月11时的平均气温高于乙地该月11时的平均气温，①错误，②正确，排除A和B；又甲、乙两地该月11时的标准差分别是s甲＝＝，s乙＝＝，则甲地该月11时的气温的标准差小于乙地该月11时的气温的标准差，③正确，④错误，故选项C正确．
【答案】C
(1)关于平均数、方差的计算
样本数据的平均数与方差的计算关键在于准确记忆公式，要特别注意区分方差与标准差，不能混淆，标准差是方差的算术平方根．
(2)求解频率分布直方图中相关数据的两个注意点
一是小长方形的面积表示频率，其纵轴是，而不是频率．
二是各组数据频率之比等于对应小长方形的高度之比．
[题组通关]
1．(2016·广州六校教育教学联合体测试)为了了解某校高三美术生的身体状况，抽查了部分美术生的体重，将所得数据整理后，作出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶3∶5，第2个小组的频数为15，则被抽查的美术生的人数是( )
A．35 B．48
C．60 D．75
C [解析] 设被抽查的美术生的人数为n，因为后2个小组的频率之和为(0.037 5＋0.012 5)×5＝0.25，所以前3个小组的频率之和为0.75.又前3个小组的频率之比为1∶3∶5，第2个小组的频数为15，所以前3个小组的频数分别为5，15，25，所以n＝＝60.
2．(2016·福州模拟)为了丰富学生的课余生活，某校举办了“你来比划，我来猜”的猜成语活动，若甲、乙两个班级各10个小组参加了此项活动，对其猜对成语的个数进行统计，得到如茎叶图所示的两组数据，对这两个班级10个小组猜对成语的个数的平均数x甲，x乙和中位数y甲，y乙进行比较，正确的结论是( )
A．甲>乙，y甲>y乙 B．甲<乙，y甲>y乙
C．甲>乙，y甲
10.828.
所以至少有99.9%的把握认为疫苗有效．
解决统计案例应注意的问题
(1)求回归直线方程问题的关键有两点：一是把相关数据代入公式准确计算；二是抓住样本中心点(x，y)必在回归直线上的特性．
(2)求解独立性检验问题时要注意：一是2×2列联表中的数据与公式中各个字母的对应，不能混淆；二是注意计算得到K2之后的结论．
[跟踪训练]
某城市随机抽取一年内100天的空气质量指数(AQI)的监测数据，结果统计如下：
AQI
[0，50]
(50，100]
(100，150]
(150，200]
(200，300]
>300
空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
天数
6
14
18
27
20
15
(1)已知某企业每天的经济损失y(单位：元)与空气质量指数x的关系式为y＝，若在本年内随机抽取一天，试估计这一天的经济损失超过400元的概率；
(2)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为严重污染．根据提供的统计数据，完成下面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”？
非严重污染
严重污染
总计
供暖季
非供暖季
总计
100
附：K2＝
P(K2≥k0)
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
[解] (1)记“在本年内随机抽取一天，该天的经济损失超过400元”为事件A.
由y>400，得x>200.
由统计数据可知，空气质量指数大于200的频数为35，
所以P(A)＝＝.
(2)根据题设中的数据得到如下2×2列联表：
非严重污染
严重污染
总计
供暖季
22
8
30
非供暖季
63
7
70
总计
85
15
100
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得
K2＝≈4.575.
因为4.575＞3.841，
所以有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”．
课时作业
1．(2016·长沙四校联考)高三某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为( )
A．13 B．17
C．19 D．21
C [解析] 因为47－33＝14，所以由系统抽样的定义可知样本中的另一个学生的编号为5＋14＝19.
2．为了判定两个分类变量X和Y是否有关系，应用K2独立性检验法算得K2的观测值为5，又已知P(K2≥3.841)＝0.05，P(K2≥6.635)＝0.01，则下列说法正确的是( )
A．有95%的把握认为“X和Y有关系”
B．有95%的把握认为“X和Y没有关系”
C．有99%的把握认为“X和Y有关系”
D．有99%的把握认为“X和Y没有关系”
A [解析] 依题意，K2＝5，且P(K2≥3.841)＝0.05，因此有95%的把握认为“X和Y有关系”，选A.
3．(2016·江西百校联盟模拟)已知对某超市某月(30天)每天顾客使用信用卡的人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )
A．44，45，56
B．44，43，57
C．44，43，56
D．45，43，57
B [解析] 由茎叶图可知全部数据为10，11，20，21，22，24，31，33，35，35，37，38，43，43，43，45，46，47，48，49，50，51，52，52，55，56，58，62，66，67，中位数为＝44，众数为43，极差为67－10＝57.选B.
4．某中学高中部有300名学生．为了研究学生的周平均学习时间，从中抽取60名学生，先统计了他们某学期的周平均学习时间(单位：小时)，再将学生的周平均学习时间分成5组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90]，并加以统计，
得到如图所示的频率分布直方图．则高中部学生的周平均学习时间为(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)( )
A．63.5小时 B．62.5小时
C．63小时 D．60小时
A [解析] 在高中部抽取的60名学生中，周平均学习时间分别落在[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90]的人数依次为6，15，24，12，3.
所以高中部学生的周平均学习时间为
(6×45＋15×55＋24×65＋12×75＋3×85)÷60＝63.5(小时)．故选A.
5．(2016·武汉市武昌区调研)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(－1，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )
A．1 193 B．1 359
C．2 718 D．3 413
附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4
B [解析] 由题意知μ＝－1，σ＝1，因为P(0＜x≤1)＝[P(－1－2＜X≤－1＋2)－P(－1－1＜X≤－1＋1)]＝×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9，所以落入阴影部分的个数为0.135 9×10 000＝1 359，故选B.
6．对于下列表格所示的五个散点，已知求得的线性回归方程为＝0.8x－155.
x
196
197
200
203
204
y
1
3
6
7
m
则实数m的值为( )
A．8 B．8.2
C．8.4 D．8.5
A [解析] 依题意得＝×(196＋197＋200＋203＋204)＝200，＝×(1＋3＋6＋7＋m)＝
，回归直线必经过样本点的中心，于是有＝0.8×200－155，由此解得m＝8.故选A.
7．某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________．
[解析] 设抽取的男生人数为x，男生有500人，根据分层抽样的特点，知＝，所以x＝25.
[答案] 25
8．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数相同，则图中的m＋n＝________.
[解析] 根据茎叶图，得乙的中位数是33，所以甲的中位数也是33，即m＝3；甲的平均数甲＝×(27＋39＋33)＝33，乙的平均数是乙＝×(20＋n＋32＋34＋38)＝33，所以n＝8，所以m＋n＝11.
[答案] 11
9．某调查机构调查了某地100个新生婴儿的体重，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如图所示)，则新生婴儿的体重(单位：kg)在[3.2，4.0)的人数是________．
[解析] 频率分布直方图反映样本的频率分布，每个小矩形的面积等于样本数据落在相应区间上的频率，故新生婴儿的体重在[3.2，4.0)的人数为100×(0.4×0.625＋0.4×0.375)＝40.
[答案] 40
10．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量(单位：千箱)与单位成本(单位：元)的资料进行线性回归分析，得到结果如下：
则销量每增加1千箱，单位成本约下降________元(结果保留5位有效数字)．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法公式分别为：
[解析] 由题意知＝≈－1.818 2，＝71－(－1.818 2)×≈77.36，所以＝－1.818 2x＋77.36，所以销量每增加1千箱，则单位成本约下降1.818 2元．
[答案] 1.818 2
11．(2016·河北省“五校联盟”质量检测)为了调查某高中学生每天的睡眠时间，现随机对20名男生和20名女生进行问卷调查，结果如下：
睡眠时间(小时)
[4，5)
[5，6)
[6，7)
[7，8)
[8，9]
女生人数
2
4
8
4
2
男生人数
1
5
6
5
3
(1)现把睡眠时间不足5小时的定义为“严重睡眠不足”，从睡眠时间不足6小时的女生中随机抽取3人，求此3人中恰有一人为“严重睡眠不足”的概率；
(2)完成下面2×2列联表，并回答是否有90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”？
睡眠时间少于7小时
睡眠时间不少于7小时
总计
男生
女生
总计
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
[解] (1)设从睡眠时间不足6小时的女生中抽出3人，其中恰有一人为“严重睡眠不足”为事件A.
所以P(A)＝＝＝.
(2)列联表如下：
睡眠时间少于7小时
睡眠时间不少于7小时
总计
男生
12
8
20
女生
14
6
20
总计
26
14
40
K2＝＝≈0.440＜2.706，
所以没有90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”．
12．(2016·开封市第一次模拟)甲、乙两人参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．画出茎叶图如图所示，乙的成绩中有一个数的个位数字模糊，在茎叶图中用c表示．(把频率当作概率)
(1)假设c＝5，现要从甲、乙两人中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度，你认为派哪位学生参加比较合适？
(2)假设数字c的取值是随机的，求乙的平均分高于甲的平均分的概率．
[解] (1)若c＝5，则派甲参加比较合适，理由如下：
甲＝(70×2＋80×4＋90×2＋9＋8＋8＋4＋2＋1＋5＋3)＝85，
乙＝(70×1＋80×4＋90×3＋5＋3＋5＋2＋5)＝85，
s＝[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5，
s＝[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41.
因为甲＝乙，s＜s，
所以两人的平均成绩相等，但甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适．
(2)若乙＞甲，则(75＋80×4＋90×3＋3＋5＋2＋c)＞85，
所以c＞5，所以c＝6，7，8，9，
又c的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，
所以乙的平均分高于甲的平均分的概率为.
13．(2016·武汉调研)一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，测得的数据如下：
零件数x(个)
10
20
30
40
50
加工时间y(分钟)
62
68
75
81
89
(1)如果y与x具有线性相关关系，求回归直线方程；
(2)根据(1)所求回归直线方程，预测此车间加工这种零件70个时，所需要的加工时间．
附：
所以回归直线方程为＝0.67x＋54.9.
(2)由(1)所求回归直线方程可知，在x＝70时，
＝0.67×70＋54.9＝101.8(分钟)．
所以预测此车间加工这种零件70个时，所需要的加工时间为101.8分钟．
14．(2016·石家庄市第一次模考)某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究，针对篮球运动员在投篮命中时，运动员到篮筐中心的水平距离这项指标，对某运动员进行了若干场次的统计，依据统计结果绘制如下频率分布直方图：
(1)依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离的中位数；
(2)在某场比赛中，考察他前4次投篮命中时到篮筐中心的水平距离的情况，并且规定：运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离不少于4米的记1分，否则扣掉1分．用随机变量X表示第4次投篮后的总分，将频率视为概率，求X的分布列和数学期望．
[解] (1)设该运动员到篮筐中心的水平距离的中位数为x，
因为0.20×1＝0.20＜0.5，且(0.40＋0.20)×1＝0.6＞0.5，
所以x∈(4，5)．
由0.40×(5－x)＋0.20×1＝0.5，解得x＝4.25，
所以该运动员到篮筐中心的水平距离的中位数是4.25米．
(2)由频率分布直方图可知投篮命中时到篮筐中心距离超过4米的概率为P＝，
随机变量X的所有可能取值为－4，－2，0，2，4.
P(X＝－4)＝＝，
P(X＝－2)＝C＝，
P(X＝0)＝C＝，
P(X＝2)＝C＝，
P(X＝4)＝＝，
X的分布列为
X
－4
－2
0
2
4
P
E(X)＝(－4)×＋(－2)×＋0×＋2×＋4×＝.
