高考数学难点突破30__概率

高考数学难点突破30__概率

高中数学难点 30 概 率 概率是高考的重点内容之一，尤其是新增的随机变量这部分内容.要充分注意一些重要 概念的实际意义，理解概率处理问题的基本思想方法. ●难点磁场 (★★★★★)如图，用 A、B、C 三类不同的元件连接成两个系统 N1、N2，当元件 A、B、 C 都正常工作时，系统 N1 正常工作；当元件 A 正常工作且元件 B、C 至少有一个正常工作 时，系统 N2 正常工作.已知元件 A、B、C 正常工作的概率依次为 0.80,0.90,0.90，分别求系 统 N1，N2 正常工作的概率 P1、P2. ●案例探究 ［例 1］(★★★★★)有一容量为 50 的样本，数据的分组及各组的频率数如下： ［10，15］4 ［30，35 ) 9 ［15，20 5 ［35，40 8 ［20，25 10 ［40，45 3 ［25， 30 11 (1)列出样本的频率分布表(含累积频率)； (2)画出频率分布直方图和累积频率的分布图. 命题意图：本题主要考查频率分布表，频率分布直方图和累积频率的分布图的画法. 知识依托：频率、累积频率的概念以及频率分布表、直方图和累积频率分布图的画法. 错解分析：解答本题时，计算容易出现失误，且要注意频率分布与累积频率分布的区别. 技巧与方法：本题关键在于掌握三种表格的区别与联系. 解：(1)由所给数据，计算得如下频率分布表 数 据 段 ［10,15 ［15,20 ［20,25 ［25,30 ［30,35 ［35,40 ［40,45 总 计 频 数 4 5 10 11 9 8 3 50 频 率 0.08 0.10 0.20 0.22 0.18 0.16 0.06 1 累 积 频 率 0.08 0.18 0.38 0.60 0.78 0.94 1 (2)频率分布直方图与累积频率分布图如下： ［例 2］(★★★★★)某电器商经过多年的经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数ζ 是一个随机变量，它的分布列如下： ζ 1 2 3 …… 12 P 12 1 12 1 …… 设每售出一台电冰箱，电器商获利 300 元，如销售不出而囤积于仓库，则每台每月需花 保养费用 100 元，问电器商每月初购进多少台电冰箱才能使自己月平均收益最大？ 命题意图：本题考查利用概率中的某些知识如期望来解决实际问题. 知识依托：期望的概念及函数的有关知识. 错解分析：在本题中，求 Ey 是一个难点，稍有不慎，就将产生失误. 技巧与方法：可借助概率分布、期望、方差等知识来解决日常生产生活中的实际问题. 解：设 x 为月初电器商购进的冰箱台数，只须考虑 1≤x≤12 的情况，设电器商每月的 收益为 y 元，则 y 是随机变量ζ 的函数且 y=      xxx xx   ),(100300 ,300 ,电器商平均每月获益 的平均数，即数学期望为：Ey=300x(Px+Px+1+…+P12)+［300－100(x－1)］P1+［2×300－100(x －2)］P2+…+［300(x－1)－100］Px－1 =300x(12－x+1) + ［300× 2 )1(1002 )1( xxxx  ］ = 3 25(－2x2+38x) 由于 x∈N,故可求出当 x=9 或 x=10 时，也即电器商月初购进 9 台或 10 台电冰箱时，收 益最大. ●锦囊妙记 本章内容分为概率初步和随机变量两部分.第一部分包括等可能事件的概率、互斥事件 有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率和独立重复实验.第二部分包括随机变量、 离散型随机变量的期望与方差. 涉及的思维方法：观察与试验、分析与综合、一般化与特殊化. 主要思维形式有：逻辑思维、聚合思维、形象思维和创造性思维. ●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★★)甲射击命中目标的概率是 2 1 ，乙命中目标的概率是 3 1 ，丙命中目标的概 率是 4 1 .现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为( ) 10 7 D. 5 4C. 3 2 B. 4 3A. 2.(★★★★)已知随机变量ζ 的分布列为：P(ζ =k)= 3 1 ,k=1,2,3,则 P(3ζ +5)等于( ) A.6 B.9 C.3 D.4 二、填空题 3.(★★★★)1 盒中有 9 个正品和 3 个废品，每次取 1 个产品，取出后不再放回，在取 得正品前已取出的废品数ζ 的期望 Eζ =_________. 4.(★★★★)某班有 52 人，男女各半，男女各自平均分成两组，从这个班中选出 4 人参 加某项活动，这 4 人恰好来自不同组别的概率是_________. 三、解答题 5.(★★★★★)甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是 0.6，计算： (1)两人都击中目标的概率； (2)其中恰有一人击中目标的概率； (3)至少有一人击中目标的概率. 6.(★★★★)已知连续型随机变量ζ 的概率密度函数 f(x)=       2 0 21 1 0 x xax x (1)求常数 a 的值，并画出ζ 的概率密度曲线； (2)求 P(1＜ζ ＜ 2 3 ). 7.(★★★★★)设 P 在［0,5］上随机地取值，求方程 x2+px+ 2 1 4 p =0 有实根的概率. 8.(★★★★★)设一部机器在一天内发生故障的概率为 0.2，机器发生故障时全天停止工 作.若一周 5 个工作日里均无故障，可获利润 10 万元；发生一次故障可获利润 5 万元，只发 生两次故障可获利润 0 万元，发生三次或三次以上故障就要亏损 2 万元。求一周内期望利润 是多少？ 参考答案 难点磁场 解：记元件 A、B、C 正常工作的事件分别为 A、B、C，由已知条件 P(A)=0.80, P(B)=0.90,P(C)=0.90. (1) 因 为 事 件 A 、 B 、 C 是 相 互 独 立 的 ， 所 以 ， 系 统 N1 正 常 工 作 的 概 率 P1=P(A·B·C)=P(A)P(B)P(C)=0.648,故系统 N1 正常工作的概率为 0.648 (2)系统 N2 正常工作的概率 P2=P(A)·［ 1－P( CB )］ =P(A)·［ 1－P( B )P(C )］ =0.80×［1－(1－0.90)(1－0.90)］=0.792 故系统 N2 正常工作的概率为 0.792 歼灭难点训练 一、1.解析：设甲命中目标为事件 A，乙命中目标为事件 B，丙命中目标为事件 C，则 目标被击中的事件可以表示为 A+B+C，即击中目标表示事件 A、B、C 中至少有一个发生. .4 1)4 11)(3 11)(2 11( )](1[)](1[)](1[ )()()()(    CPBPAP CPBPAPCBAP 故目标被击中的概率为 1－P( A · B ·C )=1－ 4 3 4 1  答案：A 2.解析：Eξ =(1+2+3)· 3 1 =2，Eξ 2=(12+22+32)· 3 1 = 3 14 ∴Dξ =Eξ 2－(Eξ )2= 3 14 －22= 3 2 . ∴D(3ξ +5)=9Eξ =6. 答案：A 二、3.解析：由条件知，ξ 的取值为 0，1，2，3，并且有 P(ξ =0)= 4 3 C C 1 12 1 9  , 3.0220 13220 9244 914 30 220 1 2C CC)3(,220 9 2C CC)2(,44 9 2C CC)1( 4 12 1 9 3 3 3 12 1 9 2 3 2 12 1 9 1 3   E PPP 答案：0.3 4.解析：因为每组人数为 13，因此，每组选 1 人有 C 1 13种方法，所以所求概率为 P= 4 52 41 13 C )C( . 答案： 4 52 41 13 C )C( 三、5.解：(1)我们把“甲射击一次击中目标”叫做事件 A，“乙射击一次击中目标”叫 做事件 B.显然事件 A、B 相互独立，所以两人各射击一次都击中目标的概率是 P(A·B) =P(A)·P(B)=0.6×0.6=0.36 答：两人都击中目标的概率是 0.36 (2)同理，两人各射击一次，甲击中、乙未击中的概率是 P(A· B )=P(A)·P( B )=0.6× (1－0.6)=0.6×0.4=0.24 甲未击中、乙击中的概率是 P( A ·B)=P( A )P(B)=0.24，显然，“甲击中、乙未击中”和 “甲未击中、乙击中”是不可能同时发生，即事件 A· 与 ·B 互斥，所以恰有一人击中 目标的概率是 P(A· )+P( ·B)=0.24+0.24=0.48 答：其中恰有一人击中目标的概率是 0.48. (2)两人各射击一次，至少有一人击中目标的概率 P=P(A·B)+［P(A· )+P( )·B］ =0.36+0.48=0.84 答：至少有一人击中目标的概率是 0.84. 6.解：(1)因为ξ 所在区间上的概率总和为 1，所以 2 1 (1－a+2－a)·1=1, ∴a= 2 1 概率密度曲线如图： (2)P(1＜ξ ＜ 2 3 )= 9 3 2 3)12 1(2 1  7.解：一元二次方程有实数根  Δ ≥0 而Δ =P2－4( 2 1 4 P )=P2－P－2=(P+1)(P－2) 解得 P≤－1 或 P≥2 故所求概率为 P= 5 3 ]5,0[ )},2[]1,{(]5.0[  的长度 的长度 8.解：以 X 表示一周 5 天内机器发生故障的天数，则 X－B(5，0.2)，于是 X 有概率分布 P(X=k)=C k 5 0.2k0.85－k,k=0,1,2,3,4,5. 以 Y 表示一周内所获利润，则 Y=g(X)=           3 2 2 0 1 5 0 10 X X X X 若 若 若 若 Y 的概率分布为： P(Y=10)=P(X=0)=0.85=0.328 P(Y=5)=P(X=1)=C 1 5 0.2·0.84=0.410 P(Y=0)=P(X=2)=C 2 5 ·0.22·0.83=0.205 P(Y=－2)=P(X≥3)=1－P(X=0)－P(X=1)－P(X=2)=0.057 故一周内的期望利润为： EY=10×0.328+5×0.410+0×0.205－2×0.057=5.216(万元)