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文档介绍
高中数学必修2教案:第二章 2_3_3-2_3_4平面与平面垂直的性质
2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质 [学习目标] 1.理解直线和平面垂直、平面与平面垂直的性质定理,并能用文字、符号和图形语言描述定理.2.会用线面垂直、面面垂直的性质定理证明相关问题.3.理解“平行”与“垂直”之间的相互转化. [知识链接] 1.线面垂直的判定定理:若一条直线垂直于平面内的两条相交直线,则该直线与此平面垂直. 2.面面垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. [预习导引] 1.直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 ⇒a∥b 图形语言 作用 ①线面垂直⇒线线平行②作平行线 2.平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 符号语言 ⇒a⊥β 图形语言 作用 ①面面垂直⇒线面垂直 ②作面的垂线 要点一 直线与平面垂直的性质及应用 例1 如图,正方体A1B1C1D1ABCD中,EF与异面直线AC、A1D都垂直相交. 求证:EF∥BD1. 证明 如图所示, 连接AB1、B1D1、B1C、BD, ∵DD1⊥平面ABCD, AC⊂平面ABCD, ∴DD1⊥AC. 又AC⊥BD,DD1∩BD=D, ∴AC⊥平面BDD1B1, 又BD1⊂平面BDD1B1, ∴AC⊥BD1. 同理可证BD1⊥B1C,又AC∩B1C=C, ∴BD1⊥平面AB1C. ∵EF⊥A1D,A1D∥B1C,∴EF⊥B1C. 又∵EF⊥AC,AC∩B1C=C, ∴EF⊥平面AB1C,∴EF∥BD1. 规律方法 证明线线平行常有如下方法: (1)利用线线平行定义:证共面且无公共点; (2)利用三线平行公理:证两线同时平行于第三条直线; (3)利用线面平行的性质定理:把证线线平行转化为证线面平行; (4)利用线面垂直的性质定理:把证线线平行转化为证线面垂直; (5)利用面面平行的性质定理:把证线线平行转化为证面面平行. 跟踪演练1 如图,已知平面α∩平面β=l,EA⊥α,垂足为A,EB⊥β,垂足为B,直线a⊂β,a⊥AB.求证:a∥l. 证明 因为EA⊥α,α∩β=l,即l⊂α,所以l⊥EA. 同理l⊥EB,又EA∩EB=E,所以l⊥平面EAB. 因为EB⊥β,a⊂β, 所以EB⊥a, 又a⊥AB,EB∩AB=B, 所以a⊥平面EAB.因此,a∥l. 要点二 平面与平面垂直的性质及应用 例2 已知:α、β、γ是三个不同平面,l为直线,α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l.求证:l⊥γ. 证明 方法一 设α∩γ=a,β∩γ=b,在γ内任取一点P,过P在γ内作直线m⊥a,n⊥b,如图. ∵α⊥γ,β⊥γ,∴m⊥α,n⊥β, 又∵α∩β=l, ∴m⊥l,n⊥l,又m∩n=P,∴l⊥γ. 方法二 如图,α∩γ=a, β∩γ=b,在α内作m⊥a, 在β内作n⊥b. ∵α⊥γ,β⊥γ,∴m⊥γ,n⊥γ, ∴m∥n. 又∵n⊂β,m⊄β,∴m∥β, 又α∩β=l,m⊂α,∴m∥l,∴l⊥γ. 规律方法 1.证明或判定线面垂直的常用方法: (1)线面垂直的判定定理; (2)面面垂直的性质定理; (3)若a∥b,a⊥α则b⊥α;(a,b为直线,α为平面). (4)若a⊥α,α∥β则a⊥β;(a为直线,α,β为平面). 2.两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直,方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线. 跟踪演练2 设平面α⊥平面β,点P在平面α内,过点P作平面β的垂线a,试判断直线a与平面α的位置关系. 解 如图,设α∩β=c,过点P在平面α内作直线b⊥c, 根据平面与平面垂直的性质定理有b⊥β. 因为过一点有且只有一条直线与平面β垂直, 所以直线a与直线b重合, 因此a⊂α. 要点三 线线、线面、面面垂直的综合应用 例3 如图所示,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为a的菱形,且∠DAB=60°,侧面PAD为正三角形,其所在的平面垂直于底面ABCD. (1)若G为AD边的中点,求证:BG⊥平面PAD; (2)求证:AD⊥PB. 证明 (1)∵在菱形ABCD中, G为AD的中点,∠DAB=60°,∴BG⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD=AD,∴BG⊥平面PAD. (2) 连接PG,如图, ∵△PAD为正三角形, G为AD的中点,∴PG⊥AD. 由(1)知BG⊥AD,PG∩BG=G, ∴AD⊥平面PGB, ∵PB⊂平面PGB,∴AD⊥PB. 规律方法 证明线面垂直,一种方法是利用线面垂直的判定定理,另一种方法是利用面面垂直的性质定理.本题已知面面垂直,故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定理.证明线面垂直的问题时,要注意以下三点:(1)两个平面垂直;(2)直线必须在其中一个平面内;(3)直线必须垂直于它们的交线. 跟踪演练3 如图,已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC⊥底面ABCD.PA与BD是否相互垂直?请证明你的结论. 解 PA与BD相互垂直.证明过程如下: 如图,取BC的中点O,连接PO、AO. ∵PB=PC, ∴PO⊥BC, 又侧面PBC⊥底面ABCD, ∴PO⊥底面ABCD,又BD⊂平面ABCD. ∴PO⊥BD, 在直角梯形ABCD中,易证△ABO ≌△BCD, ∠BAO=∠CBD,∠CBD+∠ABD=90°, ∴∠BAO+∠ABD=90°,∴AO⊥BD, 又PO∩AO=O,∴BD⊥平面PAO,∴BD⊥PA, 即PA与BD相互垂直. 1.下列说法正确的是( ) A.垂直于同一条直线的两直线平行 B.垂直于同一条直线的两直线垂直 C.垂直于同一个平面的两直线平行 D.垂直于同一条直线的一条直线和平面平行 答案 C 解析 由线面垂直的性质定理知C正确. 2.△ABC所在的平面为α,直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥BC,m⊥AC,则直线l,m的位置关系是( ) A.相交 B.异面 C.平行 D.不确定 答案 C 解析 因为l⊥AB,l⊥AC,AB⊂α,AC⊂α且AB∩AC=A,所以l⊥α,同理可证m⊥α,所以l∥m. 3.设αlβ是直二面角,直线a⊂α,直线b⊂β,a,b与l都不垂直,那么( ) A.a与b可能垂直,但不可能平行 B.a与b可能垂直,也可能平行 C.a与b不可能垂直,但可能平行 D.a与b不可能垂直,也不可能平行 答案 C 解析 当a,b都与l平行时, 则a∥b,所以A、D错, 如图,若a⊥b,过a上一点P在α内作a′⊥l, 因为α⊥β,所以a′⊥β, 又b⊂β,∴a′⊥b,∴b⊥α, 而l⊂α,∴b⊥l,与b和l不垂直矛盾,所以B错. 4.已知a、b为直线,α、β为平面.在下列四个命题中,正确的命题是________. ①若a⊥α,b⊥α,则a∥b;②若a∥α,b∥α,则a∥b;③若a⊥α,a⊥β,则α∥β;④若α∥b,β∥b,则α∥β. 答案 ①③ 解析 由“垂直于同一平面的两直线平行”知①真;由“平行于同一平面的两直线平行或异面或相交”知②假;由“垂直于同一直线的两平面平行”知③真;易知④假. 5. 如图,在三棱锥PABC内,侧面PAC⊥底面ABC,且∠PAC=90°,PA=1,AB=2,则PB=________. 答案 解析 ∵侧面PAC⊥底面ABC,交线为AC,∠PAC=90°(即PA⊥AC), ∴PA⊥平面ABC, ∴PA⊥AB,∴PB===. 1.线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系,提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据. 2.面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系,体现了数学中的转化与化归思想,其转化关系如下: 一、基础达标 1.下列命题中错误的是( ) A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β B.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ D.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β 答案 D 解析 由平面与平面垂直的有关性质可以判断出D项错误. 2.在长方体ABCDA1B1C1D1的棱AB上任取一点E,作EF⊥A1B1于F,则EF与平面A1B1C1D1的关系是( ) A.平行 B.EF⊂平面A1B1C1D1 C.相交但不垂直 D.相交且垂直 答案 D 解析 在长方体ABCDA1B1C1D1中,平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1且平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1=A1B1,又EF⊂面A1ABB1,EF⊥A1B1,∴EF⊥平面A1B1C1D1,答案D正确. 3.如图所示,三棱锥PABC中,平面ABC⊥平面PAB,PA=PB,AD=DB,则( ) A.PD⊂平面ABC B.PD⊥平面ABC C.PD与平面ABC相交但不垂直 D.PD∥平面ABC 答案 B 解析 ∵PA=PB,AD=DB, ∴PD⊥AB. 又∵平面ABC⊥平面PAB, 平面ABC∩平面PAB=AB, ∴PD⊥平面ABC. 4. 如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥ABCD,则在三棱锥ABCD中,下列命题正确的是( ) A.平面ABD⊥平面ABC B.平面ADC⊥平面BDC C.平面ABC⊥平面BDC D.平面ADC⊥平面ABC 答案 D 解析 如图,在平面图形中CD⊥BD,折起后仍然满足CD⊥BD,由于平面ABD⊥平面BCD,故CD⊥平面ABD,CD⊥AB.又AB⊥AD,故AB⊥平面ADC,又AB⊂平面ABC,所以平面ADC⊥平面ABC. 5.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ) A.若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n B.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n C.若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α⊥β D.若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥β 答案 D 解析 如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,平面BCC1B1⊥平面ABCD,BC1⊂平面BCC1B1,BC⊂平面ABCD,而BC1不垂直于BC,故A错误. 平面A1B1C1D1∥平面ABCD,B1D1⊂平面A1B1C1D1, AC⊂平面ABCD,但B1D1和AC不平行,故B错误. AB⊥A1D1,AB⊂平面ABCD,A1D1⊂平面A1B1C1D1,但平面A1B1C1D1∥平面ABCD,故C错误.故选D. 6.如图,边长为2a的正△ABC的中线AF与中位线DE相交于G,已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形,现给出下列结论,其中正确的结论有________.(填上所有正确结论的序号) ①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上. ②三棱锥A′-FED的体积有最大值. ③恒有平面A′GF⊥平面BCED. ④异面直线A′E与BD不可能互相垂直. 答案 ①②③ 解析 因为DE⊥A′G,DE⊥GF,A′G ∩GF=G, 所以DE⊥平面A′GF, 又DE⊂平面BCED, 所以平面A′GF⊥平面BCED,故③正确. 过A′作A′H⊥AF,垂足为H, 则A′H⊂平面A′GF, 所以A′H⊥DE,又DE∩AF=G, 所以A′H⊥平面ABC,故①正确. 三棱锥A′-FED的底面△FED的面积是定值,高是点A′到平面FED的距离. 易证当A′G⊥平面FED时距离(即高)最大,三棱锥A′-FED的体积最大,故②正确. 易知BD∥EF,所以∠A′EF是异面直线A′E与BD所成的角.正△ABC的边长为2a,AE=a,EF=a, 而A′F的长度的取值范围是(0,a), 当A′F=a时,A′E2+EF2=A′F2,∠A′EF=90°, 此时直线A′E与BD互相垂直,故④错误. 7. 如图三棱锥PABC中,已知△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,△PAC是直角三角形,∠PAC=90°,∠ACP=30°,平面PAC⊥平面ABC.求证:平面PAB⊥平面PBC. 证明 ∵平面PAC⊥平面ABC, 平面PAC∩平面ABC=AC,PA⊥AC, ∴PA⊥平面ABC. 又BC⊂平面ABC, ∴PA⊥BC. 又AB⊥BC,AB∩PA=A, ∴BC⊥平面PAB. 又BC⊂平面PBC, ∴平面PAB⊥平面PBC. 二、能力提升 8. 如图所示,在斜三棱柱ABCA1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则点C1在底面ABC上的投影H必在( ) A.直线AB上 B.直线BC上 C.直线AC上 D.△ABC内部 答案 A 解析 连接AC1,∠BAC=90°,即AC⊥AB,又AC⊥BC1,AB∩BC1=B,所以AC⊥平面ABC1.又AC⊂平面ABC,于是平面ABC1⊥平面ABC,且AB为交线,因此,点C1在平面ABC上的投影必在直线AB上,故选A. 9. 如图,正方形SG1G2G3中,E、F分别是G1G2、G2G3的中点,现在沿SE、SF、EF 把这个正方形折成一个四面体,使G1、G2、G3重合,重合后的点记为G.给出下列关系: ①SG⊥平面EFG;②SE⊥平面EFG;③GF⊥SE;④EF⊥平面SEG.其中成立的有( ) A.①与② B.①与③ C.②与③ D.③与④ 答案 B 解析 由SG⊥GE,SG⊥GF,得SG⊥平面EFG,排除C、D;若SE⊥平面EFG,则SG∥SE,这与SG∩SE=S矛盾,排除A,故选B. 10.如图所示,已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点.若CD=2,平面ABCD⊥平面DCEF,则线段MN的长等于________. 答案 解析 取CD的中点G,连接MG,NG. 因为ABCD,DCEF为正方形,且边长为2, 所以MG⊥CD,MG=2,NG=. 因为平面ABCD⊥平面DCEF, 所以MG⊥平面DCEF,可得MG⊥NG, 所以MN==. 11.如图,在四棱锥PABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分别是CD和PC的中点.求证: (1)PA⊥底面ABCD; (2)BE∥平面PAD; (3)平面BEF⊥平面PCD. 证明 (1)因为平面PAD⊥底面ABCD, 且PA垂直于这两个平面的交线AD, 所以PA⊥底面ABCD. (2)因为AB∥CD,CD=2AB, E为CD的中点, 所以AB∥DE,且AB=DE. 所以四边形ABED为平行四边形. 所以BE∥AD. 又因为BE⊄平面PAD, AD⊂平面PAD, 所以BE∥平面PAD. (3)因为AB⊥AD,而且四边形ABED为平行四边形, 所以BE⊥CD,AD⊥CD. 由(1)知PA⊥底面ABCD, 所以PA⊥CD. 所以CD⊥平面PAD. 所以CD⊥PD. 因为E和F分别是CD和PC的中点, 所以PD∥EF. 所以CD⊥EF. 又因为CD⊥BE,EF∩BE=E, 所以CD⊥平面BEF. 所以平面BEF⊥平面PCD. 三、探究与创新 12.如图所示,在平行四边形ABCD中,已知AD=2AB=2a,BD=a,AC∩BD=E,将其沿对角线BD折成直二面角. 求证:(1)AB⊥平面BCD; (2)平面ACD⊥平面ABD. 证明 (1)在△ABD中,AB=a,AD=2a,BD=a, ∴AB2+BD2=AD2, ∴∠ABD=90°,AB⊥BD. 又∵平面ABD⊥平面BCD, 平面ABD∩平面BCD=BD,AB⊂平面ABD, ∴AB⊥平面BCD. (2)∵折叠前四边形ABCD是平行四边形, 且AB⊥BD, ∴CD⊥BD. ∵AB⊥平面BCD,CD⊂平面BCD. ∴AB⊥CD. ∵AB∩BD=B, ∴CD⊥平面ABD. 又∵CD⊂平面ACD, ∴平面ACD⊥平面ABD. 13.在如图所示的多面体中,四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形. (1)若AC⊥BC,证明:直线BC⊥平面ACC1A1; (2)设D,E分别是线段BC,CC1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使直线DE∥平面A1MC?请证明你的结论. (1)证明 因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形, 所以AA1⊥AB,AA1⊥AC. 因为AB,AC为平面ABC内两条相交的直线, 所以AA1⊥平面ABC. 因为直线BC⊂平面ABC, 所以AA1⊥BC. 又由已知,AC⊥BC,AA1,AC为平面ACC1A1内两条相交的直线,所以BC⊥平面ACC1A1. (2)解 取线段AB的中点M,连接A1M,MC,A1C,AC1,设O为A1C,AC1的交点. 由已知,O为AC1的中点. 连接MD,OE,则MD,OE分别为△ABC,△ACC1的中位线, 所以MD綊AC,OE綊AC, 因此MD綊OE. 连接OM,从而四边形MDEO为平行四边形, 则DE∥MO. 因为直线DE⊄平面A1MC,MO⊂平面A1MC, 所以直线DE∥平面A1MC. 即线段AB上存在一点M(线段AB的中点),使直线DE∥平面A1MC.查看更多