中考数学一模试卷含解析2

中考数学一模试卷含解析2

吉林省长春市南关区2016年中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）‎ ‎1．﹣6的绝对值等于（　　）‎ A．﹣6 B．6 C．﹣ D．‎ ‎2．“十二五”期间，某市义务教育阶段在校学生人数达到654000人．654000这个数用科学记数法表示为（　　）‎ A．0.654×106 B．6.54×106 C．6.54×105 D．65.4×104‎ ‎3．下列运算中，正确的是（　　）‎ A．a2•a3=a5 B．a8÷a4=a2 C．（a5）2=a7 D．2a+3b=5ab ‎4．右图是由六个完全相同的小正方体组合而成的立体图形，它的主视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．如图，直线a∥b．若∠1=30°，∠2=45°，则∠3的大小为（　　）‎ A．75° B．80° C．85° D．105°‎ ‎6．如图，四边形ABCD内接于⊙O．若⊙O的半径为4，∠D=135°，则的长为（　　）‎ A．π B．2π C．4π D．8π ‎7．如图，在△ABC中，分别以点A、C为圆心，以大于长为半径作圆弧，两弧分别相交于点E、F，连结EF并延长交边BC于点D，连结AD．若AB=6，BC=8，则△ABD的周长为（　　）‎ A．8 B．10 C．12 D．14‎ ‎8．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在x轴的正半轴上，点B在点C的左侧，直线y=kx经过点A（3，3）和点P，且OP=6．将直线y=kx沿y轴向下平移得到直线y=kx+b，若点P落在矩形ABCD的内部，则b的取值范围是（　　）‎ A．0＜b＜3 B．﹣3＜b＜0 C．﹣6＜b＜﹣3 D．﹣3＜b＜3‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）‎ ‎9．比较大小：　　　　2 （填“＜“，“=“或“＞“）．‎ ‎10．不等式2（x+3）﹣4≤0的解集为　　　　．‎ ‎11．一元二次方程x2﹣5x+3=0根的判别式的值为　　　　．‎ ‎12．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠CAB=40°，则∠D的大小为　　　　度．‎ ‎13．如图，在平面直角坐标系中，点A在函数y=（x＞0）的图象上，过点A作AC⊥y轴于点C，点B在x轴上，连结CB、AB．若△ABC的面积为4，则k的值为　　　　．‎ ‎14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣2）2+1（a为常数）的顶点为A，过点A作y轴的平行线与抛物线y=﹣x2﹣x交于点B．抛物线y=﹣x2﹣x的顶点为C，连结CA、CB，则△ABC的面积为　　　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共10小题，共78分）‎ ‎15．先化简，再求值：a（a﹣4）+（1﹣a）（1+a），其中a=．‎ ‎16．现有一副扑克牌中的3张牌，牌面数字分别为7、9、9，从中随机抽取一张然后放回，再随机抽取一张．用画树状图（或列表）的方法，求抽取的两张牌面数字相同的概率．‎ ‎17．某车间计划生产360个零件，由于改进了技术，该车间实际每天生产零件的个数是原计划的1.2倍，结果提前4天完成任务．求该车间原计划每天生产零件的个数．‎ ‎18．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，分别过点A、D作AE∥BC、DE∥AB，AE与DE相交于点E，连结CE．求证：四边形ADCE是矩形．‎ ‎19．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处．海轮沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东64°方向上的B处．求海轮所在的B处与灯塔P的距离．（结果精确到0.1海里）（参考数据：sin64°=0.90，cos64°=0.44，tan64°=2.05）‎ ‎20．在“世界粮食日”前夕，某校团委随机抽取了n名本校学生，对某日午餐剩饭菜情况进行问卷调查．问卷中的剩饭菜情况包括：‎ A．饭和菜全部吃完； B．饭有剩余但菜吃完；‎ C．饭吃完但菜有剩余；D．饭和菜都有剩余．‎ 每位学生在问卷调查时都按要求只选择了其中一种情况，该校团委收回全部问卷后，将收集到的数据整理并绘制成如下的条形统计图．‎ ‎（1）求n的值．‎ ‎（2）饭和菜全部吃完的学生人数占被调查的学生人数的百分比为　　　　．‎ ‎（3）根据统计结果，估计该校2400名学生中菜有剩余的学生人数．‎ ‎21．甲、乙两个工程队同时开始维修某一段路面，一段时间后，甲队被调往别处，乙队又用了2小时完成了剩余的维修任务．已知乙队每小时维修路面的长度保持不变，甲队每小时维修路面30米．甲、乙两队在此路段维修路面的总长度y（米）与维修时间x（时）之间的函数图象如图所示．‎ ‎（1）甲队调离时，甲、乙两队已维修路面的总长度为　　　　米．‎ ‎（2）求此次维修路面的总长度a．‎ ‎（3）求甲队调离后y与x之间的函数关系式．‎ ‎22．在菱形ABCD中，∠B=60°，AC为对角线．点E、F分别在边AB、DA或其延长线上，连结CE、CF，且∠ECF=60°．‎ 感知：如图①，当点E、F分别在边AB、DA上时，易证：AF=BE．（不要求证明）‎ 探究：如图②，当点E、F分别在边AB、DA的延长线上时，CF与边AB交于点G．求证：AF=BE．‎ 应用：如图②，若AB=12，AF=4，求线段GE的长．‎ ‎23．（10分）（2016•南关区一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6．点P在边AC上运动，过点P作PD⊥AB于点D，以AP、AD为邻边作▱PADE．设□PADE与△ABC重叠部分图形的面积为y，线段AP的长为x（0＜x≤6）．‎ ‎（1）求线段PE的长（用含x的代数式表示）．‎ ‎（2）当点E落在边BC上时，求x的值．‎ ‎（3）求y与x之间的函数关系式．‎ ‎（4）直接写出点E到△ABC任意两边所在直线距离相等时x的值．‎ ‎24．（12分）（2016•南关区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A（1，0）、B（5，0）两点，点D是抛物线上横坐标为6的点．点P在这条抛物线上，且不与A、D两点重合，过点P作y轴的平行线与射线AD交于点Q，过点Q作QF垂直于y轴，点F在点Q的右侧，且QF=2，以QF、QP为邻边作矩形QPEF．设矩形QPEF的周长为d，点P的横坐标为m．‎ ‎（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．‎ ‎（2）求这条抛物线的对称轴将矩形QPEF的面积分为1：2两部分时m的值．‎ ‎（3）求d与m之间的函数关系式及d随m的增大而减小时d的取值范围．‎ ‎（4）当矩形QPEF的对角线互相垂直时，直接写出其对称中心的横坐标．‎ ‎　‎ ‎2016年吉林省长春市南关区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）‎ ‎1．﹣6的绝对值等于（　　）‎ A．﹣6 B．6 C．﹣ D．‎ ‎【考点】绝对值．‎ ‎【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数进行解答即可．‎ ‎【解答】解：|﹣6|=6，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查的是绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．‎ ‎　‎ ‎2．“十二五”期间，某市义务教育阶段在校学生人数达到654000人．654000这个数用科学记数法表示为（　　）‎ A．0.654×106 B．6.54×106 C．6.54×105 D．65.4×104‎ ‎【考点】科学记数法—表示较大的数．‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：654000这个数用科学记数法表示为6.54×105．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎3．下列运算中，正确的是（　　）‎ A．a2•a3=a5 B．a8÷a4=a2 C．（a5）2=a7 D．2a+3b=5ab ‎【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．‎ ‎【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加；同底数幂的除法底数不变指数相减；幂的乘方底数不变指数相乘；合并同类项系数相加字母及指数不变；可得答案．‎ ‎【解答】解：A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故A正确；‎ B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误；‎ C、幂的乘方底数不变指数相乘，故C错误；‎ D、不是同类项不能合并，故D错误；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．‎ ‎　‎ ‎4．右图是由六个完全相同的小正方体组合而成的立体图形，它的主视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单组合体的三视图．‎ ‎【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．‎ ‎【解答】解：从正面看第一层是四个小正方形，从左边数第二个小正方形的上边是两个小正方形，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．‎ ‎　‎ ‎5．如图，直线a∥b．若∠1=30°，∠2=45°，则∠3的大小为（　　）‎ A．75° B．80° C．85° D．105°‎ ‎【考点】平行线的性质．‎ ‎【分析】直接利用平行线的性质得出∠3=∠4，再利用三角形外角的性质得出答案．‎ ‎【解答】解：∵a∥b，‎ ‎∴∠3=∠4，‎ ‎∵∠1+∠2=∠4=30°+45°=75°，‎ ‎∴∠3=75°．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题主要考查了平行线的性质，得出∠3=∠4是解题关键．‎ ‎　‎ ‎6．如图，四边形ABCD内接于⊙O．若⊙O的半径为4，∠D=135°，则的长为（　　）‎ A．π B．2π C．4π D．8π ‎【考点】弧长的计算．‎ ‎【分析】连接AO，OC，根据圆内接四边形的性质得到∠B=45°，由圆周角定理得到∠AOC=90°，根据弧长的公式即可得到结论．‎ ‎【解答】解：连接AO，OC，‎ ‎∵四边形ABCD内接于⊙O，∠D=135°，‎ ‎∴∠B=45°，‎ ‎∴∠AOC=90°，‎ ‎∴的长==2π，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查的是弧长的计算，圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．如图，在△ABC中，分别以点A、C为圆心，以大于长为半径作圆弧，两弧分别相交于点E、F，连结EF并延长交边BC于点D，连结AD．若AB=6，BC=8，则△ABD的周长为（　　）‎ A．8 B．10 C．12 D．14‎ ‎【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．‎ ‎【分析】根据线段垂直平分线性质得出AD=CD，则可得出△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=6+8=14，即可得解．‎ ‎【解答】解：∵根据做法可知：EF是AC的垂直平分线，‎ ‎∴AD=CD，‎ ‎∵△ABD的周长=AB+BD+AD，‎ ‎∴AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=6+8=14．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了基本作图和线段垂直平分线性质的应用，解此题的关键是根据题意得出AD=CD，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 ‎　‎ ‎8．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在x轴的正半轴上，点B在点C的左侧，直线y=kx经过点A（3，3）和点P，且OP=6．将直线y=kx沿y轴向下平移得到直线y=kx+b，若点P落在矩形ABCD的内部，则b的取值范围是（　　）‎ A．0＜b＜3 B．﹣3＜b＜0 C．﹣6＜b＜﹣3 D．﹣3＜b＜3‎ ‎【考点】一次函数图象与几何变换；一次函数图象上点的坐标特征．‎ ‎【分析】作PE⊥AD于E交BC于F，先求出直线y=kx以及点P坐标，再确定点E、F坐标，代入y=x+b中即可解决问题．‎ ‎【解答】解：如图作PE⊥AD于E交BC于F，‎ ‎∵直线y=kx经过点A（3，3），‎ ‎∴k=1，‎ ‎∴直线为y=x，设点P坐标（a，a），‎ ‎∵OP=6，‎ ‎∴a2+a2=72，‎ ‎∴a2=36，‎ ‎∵a＞0，‎ ‎∴a=6．‎ ‎∴点P坐标（6，6），点E（6，3），点F（6，0），‎ 把点E（6，3），点F（6，0）分别代入y=x+b中，得到b=﹣3或﹣6，‎ ‎∴点P落在矩形ABCD的内部，‎ ‎∴﹣6＜b＜﹣3．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查一次函数有关知识，掌握两条直线平行k值相同，寻找特殊点是解决问题的关键，理解点P在平移过程中与y轴的距离保持不变，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）‎ ‎9．比较大小：　＜　2 （填“＜“，“=“或“＞“）．‎ ‎【考点】实数大小比较．‎ ‎【分析】求出2=，根据＞即可求出答案．‎ ‎【解答】解：∵2==，‎ ‎∴＜2，‎ 故答案为：＜．‎ ‎【点评】本题考查了实数的大小比较的应用，关键是求出2=，题目比较典型，难度不大．‎ ‎　‎ ‎10．不等式2（x+3）﹣4≤0的解集为　x≤﹣1　．‎ ‎【考点】解一元一次不等式．‎ ‎【分析】根据解不等式的方法可以求得不等式2（x+3）﹣4≤0的解集，本题得以解决．‎ ‎【解答】解：2（x+3）﹣4≤0，‎ 去括号，得 ‎2x+6﹣4≤0，‎ 移项及合并同类项，得 ‎2x≤﹣2，‎ 系数化为1，得 x≤﹣1．‎ 故答案为：x≤﹣1．‎ ‎【点评】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是明确解一元一次不等式的方法．‎ ‎　‎ ‎11．一元二次方程x2﹣5x+3=0根的判别式的值为　13　．‎ ‎【考点】根的判别式．‎ ‎【分析】直接利用根的判别式△=b2﹣4ac求出答案．‎ ‎【解答】解：一元二次方程x2﹣5x+3=0根的判别式的值是：△=（﹣5）2﹣4×3=13．‎ 故答案为：13．‎ ‎【点评】此题主要考查了根的判别式，正确记忆公式是解题关键．‎ ‎　‎ ‎12．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠CAB=40°，则∠D的大小为　50　度．‎ ‎【考点】圆周角定理．‎ ‎【分析】连接BC，求出∠ABC的度数，然后根据圆周角定理求出∠D的度数．‎ ‎【解答】解：连接BC，‎ ‎∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ ‎∵∠CAB=40°，‎ ‎∴∠ABC=50°，‎ ‎∴∠B=∠ABC=50°，‎ 故答案为50．‎ ‎【点评】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎13．如图，在平面直角坐标系中，点A在函数y=（x＞0）的图象上，过点A作AC⊥y轴于点C，点B在x轴上，连结CB、AB．若△ABC的面积为4，则k的值为　8　．‎ ‎【考点】反比例函数系数k的几何意义．‎ ‎【分析】连接OA，由△ABC和△OAC的面积相等可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论．‎ ‎【解答】解：连接OA，如图所示．‎ ‎∵△ABC和△OAC的面积相等（同底等高），‎ ‎∴S△OAC=k=4，‎ ‎∴k=8．‎ 故答案为8．‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是找出S△OAC=k=4．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数系数k的几何意义找出相对应的三角形的面积是关键．‎ ‎　‎ ‎14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣2）2+1（a为常数）的顶点为A，过点A作y轴的平行线与抛物线y=﹣x2﹣x交于点B．抛物线y=﹣x2﹣x的顶点为C，连结CA、CB，则△ABC的面积为　10　．‎ ‎【考点】二次函数的性质．‎ ‎【分析】由两个抛物线的解析式可以得出顶点A、C的坐标，将x=2代入y=﹣x2﹣x中得出B点的坐标，根据A、B、C三点的坐标即可得出AB的长以及点C到直线AB的距离h，结合三角形的面积公式即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵抛物线y=a（x﹣2）2+1（a为常数）的顶点为A，‎ ‎∴点A的坐标为（2，1），‎ ‎∵抛物线y=﹣x2﹣x=﹣+，‎ ‎∴点C的坐标为（﹣2，）．‎ 令x=2，则有y=﹣×22﹣×2=﹣4，‎ ‎∴点B的坐标为（2，﹣4），‎ ‎∴AB=1﹣（﹣4）=5，点C到直线AB的距离h=2﹣（﹣2）=4，‎ ‎△ABC的面积S=AB•h=×5×4=10．‎ 故答案为：10．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的性质、三角形的面积公式以及点到直线的距离，解题的关键是找出A、B、C三点的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，将二次函数解析式变化成顶点式，找出点的坐标是关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共10小题，共78分）‎ ‎15．先化简，再求值：a（a﹣4）+（1﹣a）（1+a），其中a=．‎ ‎【考点】整式的混合运算—化简求值．‎ ‎【分析】先算乘法，再算加减，把a的值代入进行计算即可．‎ ‎【解答】解：原式=a2﹣4a+1﹣a2‎ ‎=1﹣4a．‎ 当a=时，原式=1﹣4×=﹣2．‎ ‎【点评】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，熟知整式混合运算的法则是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．现有一副扑克牌中的3张牌，牌面数字分别为7、9、9，从中随机抽取一张然后放回，再随机抽取一张．用画树状图（或列表）的方法，求抽取的两张牌面数字相同的概率．‎ ‎【考点】列表法与树状图法．‎ ‎【分析】先画树状图展示所有9种9种等可能的结果树，再找出抽取的两张牌面数字相同的结果数，然后根据概率公式求解．‎ ‎【解答】解：画树状图为：‎ 共有9种等可能的结果树，其中抽取的两张牌面数字相同的结果数为5，‎ 所以抽取的两张牌面数字相同的概率=．‎ ‎【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．‎ ‎　‎ ‎17．某车间计划生产360个零件，由于改进了技术，该车间实际每天生产零件的个数是原计划的1.2倍，结果提前4天完成任务．求该车间原计划每天生产零件的个数．‎ ‎【考点】分式方程的应用．‎ ‎【分析】根据题意表示出生产零件所用的天数，再利用提前4天完成任务得出等式求出答案．‎ ‎【解答】解：设该车间原计划每天生产零件x个．‎ 根据题意，得﹣=4．‎ 解得：x=15‎ 经检验，x=15是原方程的解，且符合题意．‎ 答：该车间原计划每天生产零件15个．‎ ‎【点评】本题主要考查的是分式方程的应用，根据题意找出正确等量关系是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，分别过点A、D作AE∥BC、DE∥AB，AE与DE相交于点E，连结CE．求证：四边形ADCE是矩形．‎ ‎【考点】矩形的判定．‎ ‎【分析】先证明四边形ABDE是平行四边形，得出AE=BD，由等腰三角形的性质得出BD=CD，AD⊥BC，得出AE=CD，∠ADC=90°，证出四边形ADCE是平行四边形．即可得出结论．‎ ‎【解答】证明∵AE∥BC、DE∥AB，‎ ‎∴四边形ABDE是平行四边形．‎ ‎∴AE=BD，‎ ‎∵AB=AC，AD平分∠BAC，‎ ‎∴BD=CD，AD⊥BC，‎ ‎∴AE=CD，∠ADC=90°，‎ 又∵AE∥BC，‎ ‎∴四边形ADCE是平行四边形．‎ ‎∴四边形ADCE是矩形．‎ ‎【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰三角形的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由等腰三角形的性质得出BD=CD，AD⊥BC是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处．海轮沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东64°方向上的B处．求海轮所在的B处与灯塔P的距离．（结果精确到0.1海里）（参考数据：sin64°=0.90，cos64°=0.44，tan64°=2.05）‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．‎ ‎【分析】首先过点P作PC⊥AB于点C，然后利用三角函数的性质：PC=AP•sin30°，即可求得PC的值，再由PB=，即可求得答案．‎ ‎【解答】解：过点P作PC⊥AB于点C．‎ 由题意可知，AB∥PD，‎ ‎∴∠A=30°，∠B=64°，‎ 在Rt△APC中，∠ACP=90°，∠A=30°，AP=80，‎ ‎∴PC=AP•sin30°=80×=40，‎ 在Rt△PBC中，∠BCP=90°，∠B=64°，‎ ‎∴PB===44.44≈44.4（海里）．‎ 答：海轮所在的B处与灯塔P的距离约为44.4海里．‎ ‎【点评】此题考查了方向角问题．注意准确构造直角三角形是解此题的关键．‎ ‎　‎ ‎20．在“世界粮食日”前夕，某校团委随机抽取了n名本校学生，对某日午餐剩饭菜情况进行问卷调查．问卷中的剩饭菜情况包括：‎ A．饭和菜全部吃完； B．饭有剩余但菜吃完；‎ C．饭吃完但菜有剩余；D．饭和菜都有剩余．‎ 每位学生在问卷调查时都按要求只选择了其中一种情况，该校团委收回全部问卷后，将收集到的数据整理并绘制成如下的条形统计图．‎ ‎（1）求n的值．‎ ‎（2）饭和菜全部吃完的学生人数占被调查的学生人数的百分比为　60%　．‎ ‎（3）根据统计结果，估计该校2400名学生中菜有剩余的学生人数．‎ ‎【考点】条形统计图；用样本估计总体．‎ ‎【分析】（1）根据条形图，把A，B，C，D的人数加起来，即可解答；‎ ‎（2）用A的人数÷总人数，即可得到百分比；‎ ‎（3）用样本中菜有剩余即C、D人数所占比例×2400可得．‎ ‎【解答】解：（1）n=120+40+20+20=200；‎ ‎（2）×100%=60%；‎ ‎（3）2400×=480（人），‎ 答：估计该校2400名学生中菜有剩余的学生约为480人．‎ 故答案为：（2）60%．‎ ‎【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．‎ ‎　‎ ‎21．甲、乙两个工程队同时开始维修某一段路面，一段时间后，甲队被调往别处，乙队又用了2小时完成了剩余的维修任务．已知乙队每小时维修路面的长度保持不变，甲队每小时维修路面30米．甲、乙两队在此路段维修路面的总长度y（米）与维修时间x（时）之间的函数图象如图所示．‎ ‎（1）甲队调离时，甲、乙两队已维修路面的总长度为　150　米．‎ ‎（2）求此次维修路面的总长度a．‎ ‎（3）求甲队调离后y与x之间的函数关系式．‎ ‎【考点】一次函数的应用．‎ ‎【分析】（1）根据图象解答即可；‎ ‎（2）根据题意得出甲、乙两队每小时维修路面的总长度解答即可；‎ ‎（3）设所求函数关系式y=kx+b，利用待定系数法解答即可．‎ ‎【解答】解：（1）甲队调离时，甲、乙两队已维修路面的总长度为150米，‎ 故答案为：150．‎ ‎（2）甲队调离前，甲、乙两队每小时维修路面的总长度为150÷3=50（米）．‎ ‎∴乙队每小时维修路面的长度为50﹣30=20，‎ a=150+20×2=190（米）．‎ ‎（3）设所求函数关系式为y=kx+b．‎ 将点（3，150），（5，190）代入，得 ‎，解得．‎ 故甲队调离后y与x之间的函数关系式为：y=20x+90（3＜x≤5）．‎ ‎【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是读懂图象，获取相关信息，用待定系数法求函数解析式．‎ ‎　‎ ‎22．在菱形ABCD中，∠B=60°，AC为对角线．点E、F分别在边AB、DA或其延长线上，连结CE、CF，且∠ECF=60°．‎ 感知：如图①，当点E、F分别在边AB、DA上时，易证：AF=BE．（不要求证明）‎ 探究：如图②，当点E、F分别在边AB、DA的延长线上时，CF与边AB交于点G．求证：AF=BE．‎ 应用：如图②，若AB=12，AF=4，求线段GE的长．‎ ‎【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．‎ ‎【分析】探究：先由菱形的性质得出AC=BC，∠ACB=∠DAC=∠ABC=60°，则可证∠FAC=∠EBC=120°，∠ACF=∠BCE=60°﹣∠GCB，那么根据ASA可得△ACF≌△BCE，利用全等三角形对应边相等得出AF=BE；‎ 应用：先由菱形的性质得出AD∥CB，那么△AFG∽△BCG，利用相似三角形对应边成比例得出===，所以GB=3GA．由GA+GB=AB=12，求出GA=3，GB=9，根据GE=GB+BE即可求解．‎ ‎【解答】探究：证明：如图2，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，‎ ‎∴AC=BC，∠ACB=∠DAC=∠ABC=60°，‎ ‎∴∠FAC=180°﹣∠DAC=120°，∠EBC=180°﹣∠ABC=120°，‎ ‎∴∠FAC=∠EBC．‎ 又∵∠ECF=60°，‎ ‎∴∠ACF=∠ACB﹣∠GCB=60°﹣∠GCB，‎ ‎∠BCE=∠ECF﹣∠GCB=60°﹣∠GCB，‎ ‎∴∠ACF=∠BCE．‎ 在△ACF与△BCE中 ‎，‎ ‎∴△ACF≌△BCE（ASA），‎ ‎∴AF=BE；‎ 应用：解：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AD∥CB，‎ ‎∴△AFG∽△BCG，‎ ‎∴===，‎ ‎∴GB=3GA．‎ 又∵GA+GB=AB=12，‎ ‎∴GA+3GA=12，‎ ‎∴GA=3，‎ ‎∴GB=9，‎ 又∵AF=BE，‎ ‎∴GE=GB+BE=9+4=13．‎ ‎【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形、相似三角形的判定与性质，证明出△ACF≌△BCE是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎23．（10分）（2016•南关区一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6．点P在边AC上运动，过点P作PD⊥AB于点D，以AP、AD为邻边作▱PADE．设□PADE与△ABC重叠部分图形的面积为y，线段AP的长为x（0＜x≤6）．‎ ‎（1）求线段PE的长（用含x的代数式表示）．‎ ‎（2）当点E落在边BC上时，求x的值．‎ ‎（3）求y与x之间的函数关系式．‎ ‎（4）直接写出点E到△ABC任意两边所在直线距离相等时x的值．‎ ‎【考点】四边形综合题．‎ ‎【分析】（1）先由∠C=90°，AC=BC，得出∠A=45°，再解等腰直角△APD，得出AD=AP•cos∠A=x=PD，然后根据平行四边形对边相等得出PE=AD=x；‎ ‎（2）当点E落在边BC上时，先由平行线的性质得出∠CPE=∠A=45°，再解等腰直角△CPE，得出PC=PE•cos∠CPE=x•=x，再根据AP+PC=AC列出方程x+x=6，解方程即可；‎ ‎（3）分两种情况进行讨论：①当0＜x≤4时，y=S▱PADE，根据平行四边形面积公式求解即可；②当4＜x≤6时，设DE与BC交于G，PE与BC交于F．求出GE=DE﹣DG=x﹣（6﹣x）=x﹣6，再根据y=S▱PADE﹣S△GFE计算即可；‎ ‎（4）由（2）知，x=4时，点E落在边BC上，此时点E到△ABC任意两边所在直线距离均不相等，所以分两种情况进行讨论：①当E在△ABC内部时，0＜x＜4．过E作EL⊥AC于L，EM⊥AB于M，延长DE交BC于N，则EN⊥BC．求出EL=x，EM=x，EN=6﹣x．由于x≠x，即EL≠EM．所以分EL=EN与EM=EN分别列出方程，求解即可；②当E在△ABC外部时，4＜x≤6，过E作EL⊥AC交AC延长线于L，EM⊥AB于M，易知EG⊥BC．求出EL=x，EM=x，EG=x﹣6．由于x≠x，即EL≠EM．所以分EL=EN与EM=EN分别列出方程，求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，‎ ‎∴∠A=45°，‎ ‎∵PD⊥AB，‎ ‎∴AD=AP•cos∠A=x=PD，‎ ‎∵四边形PADE是平行四边形，‎ ‎∴PE=AD=x；‎ ‎（2）当点E落在边BC上时，如图1．‎ ‎∵PE∥AD，‎ ‎∴∠CPE=∠A=45°，‎ ‎∵∠C=90°，‎ ‎∴PC=PE•cos∠CPE=x•=x．‎ ‎∵AP+PC=AC，‎ ‎∴x+x=6，‎ ‎∴x=4；‎ ‎（3）①当0＜x≤4时，如图2．‎ y=S▱PADE=AD•PD=x•x=x2，即y=x2；‎ ‎②当4＜x≤6时，如图3，设DE与BC交于G，PE与BC交于F．‎ ‎∵AD=x，AB=AC=6，‎ ‎∴DB=AB﹣AD=6﹣x，‎ ‎∴DG=DB•sin∠B=（6﹣x）•=6﹣x，‎ ‎∴GE=DE﹣DG=x﹣（6﹣x）=x﹣6，‎ ‎∴y=S▱PADE﹣S△GFE=x2﹣（x﹣6）2=﹣x2+9x﹣18；‎ ‎（4）①当E在△ABC内部时，0＜x＜4，如图4，过E作EL⊥AC于L，EM⊥AB于M，延长DE交BC于N，则EN⊥BC．‎ EL=PE•sin∠LPE=x•=x，‎ EM=DE•sin∠EDM=x•=x，‎ EN=DN﹣DE=DB•sin∠B﹣AP=（6﹣x）•﹣x=6﹣x﹣x=6﹣x．‎ ‎∵0＜x＜4，‎ ‎∴x≠x，即EL≠EM．‎ 当EL=EN时，E在∠ACB的平分线上，‎ 有x=6﹣x，解得x=3，符合题意；‎ 当EM=EN时，E在∠ABC的平分线上，‎ 有x=6﹣x，解得x=，符合题意；‎ ‎②当E在△ABC外部时，4＜x≤6，过E作EL⊥AC交AC延长线于L，EM⊥AB于M，易知EG⊥BC．‎ EL=GC=AD•sin∠A=x•=x，‎ EM=DE•sin∠EDM=x•=x，‎ EG=DE﹣DG=AP﹣DB•sin∠B=x﹣（6﹣x）•=x﹣（6﹣x）=x﹣6．‎ ‎∵4＜x≤6，‎ ‎∴x≠x，即EL≠EM．‎ 当EL=EG时，E在∠ACB的外角的角平分线上，‎ 有x=x﹣6，解得x=6，符合题意；‎ 当EM=EG时，E在∠ABC的外角的角平分线上，‎ 有x=x﹣6，解得x=＞6，不合题意舍去．‎ 综上所述，点E到△ABC任意两边所在直线距离相等时x的值为3，6，．‎ ‎【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，解直角三角形，平行线的性质，三角形、四边形的面积等知识，综合性较强，有一定难度．利用数形结合、分类讨论以及方程思想是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎24．（12分）（2016•南关区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A（1，0）、B（5，0）两点，点D是抛物线上横坐标为6的点．点P在这条抛物线上，且不与A、D两点重合，过点P作y轴的平行线与射线AD交于点Q，过点Q作QF垂直于y轴，点F在点Q的右侧，且QF=2，以QF、QP为邻边作矩形QPEF．设矩形QPEF的周长为d，点P的横坐标为m．‎ ‎（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．‎ ‎（2）求这条抛物线的对称轴将矩形QPEF的面积分为1：2两部分时m的值．‎ ‎（3）求d与m之间的函数关系式及d随m的增大而减小时d的取值范围．‎ ‎（4）当矩形QPEF的对角线互相垂直时，直接写出其对称中心的横坐标．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）直接利用待定系数法求出二次函数解析式即可；‎ ‎（2）首先求出函数对称轴进而得出m的值；‎ ‎（3）分别利用当1＜m＜6时，d=2（﹣m2+7m﹣6+2），当m＞6时，d=2（m2﹣7m+6+2）求出d的取值范围即可；‎ ‎（4）当矩形QPEF的对角线互相垂直时，则矩形QPEF是正方形，边长为2，进而得出m的值求出答案．‎ ‎【解答】解：（1）把A（1，0）、B（5，0）代入y=ax2+bx+5，‎ ‎，‎ ‎ 解得，‎ ‎∴y=x2﹣6x+5；‎ ‎（2）如图所示：∵抛物线y=x2﹣6x+5的对称轴为：x=﹣=﹣=3，‎ ‎∵这条抛物线的对称轴将矩形QPEF的面积分为1：2两部分，‎ 可得PN=3﹣m，PE=2，‎ ‎∴=或=，‎ 解得：m=或m=；‎ ‎（3）当x=6时，y=x2﹣6x+5=62﹣6×6+5=5，‎ ‎∴点D的坐标为（6，5）．‎ 射线AD所对应的函数表达式为y=x﹣1（x＞1）．‎ ‎∴P（m，m2﹣6m+5），Q（m，m﹣1）．‎ 当1＜m＜6时，d=2（﹣m2+7m﹣6+2）=﹣2m2+14m﹣8，‎ 当m＞6时，d=2（m2﹣7m+6+2）=2m2﹣14m+16，‎ 又d=﹣2m2+14m﹣8=﹣2（m﹣）2+，‎ ‎∴d随m的增大而减小时d的取值范围是4＜d≤．‎ ‎（4）当矩形QPEF的对角线互相垂直时，则矩形QPEF是正方形，边长为2，‎ 当1＜m＜6时，m﹣1﹣（m2﹣6m+5）=2，‎ 整理得：m2﹣7m+8=0，‎ 解得：m1=，m2=，‎ 当m＞6时，m2﹣6m+5﹣（m﹣1）=2，‎ 整理得：m2﹣7m+4=0，‎ 解得：m3=，m4=（舍去），‎ 故P点横坐标为： +1=， +1=， +1=．‎ ‎【点评】此题主要考查了二次函数综合以及正方形的性质等知识，根据题意表示出矩形QPEF的边长是解题关键．‎