2020高中数学 第一章 解三角形1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球

2020高中数学 第一章 解三角形1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球

‎1.1.3　‎圆柱、圆锥、圆台和球 ‎【基本知识】 ‎ 知识点一　圆柱、圆锥、圆台和球　　‎ ‎1.圆柱、圆锥、圆台和球的概念 名称 结构特征 相关概念 图形 圆柱 以 所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的 所围成的几何体叫做圆柱 ‎（1）轴：旋转轴叫做所围成的几何体的轴；‎ ‎（2）高：在 上这条边的长度；‎ ‎（3）底面：垂直于 的边旋转而成的 ；‎ ‎（4）侧面： 的边旋转而成的曲面；‎ ‎（5）母线： 无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线 圆锥 以直角三角形的 所在的直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的 所围成的几何体叫做圆锥 圆台 以直角梯形中 所在的直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的 所围成的几何体叫做圆台 球 以半圆的 所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的 叫做球面， 所围成的几何体叫做球 ‎（1）球心：半圆的 .‎ ‎（2）球的半径：连接球心和球面上任意一点的 .‎ ‎（3）球的直径：连接球面上两点并且过 的线段.‎ ‎（4）球面的集合定义：球面可以看做空间中 的距离等于 的点的集合.‎ ‎（5）大圆与小圆：球面被 平面截得的圆叫做球的大圆；被 4‎ ‎ 的平面截得的圆叫做球的小圆.‎ ‎（6）球面距离：在球面上，两点之间的最短距离就是经过这两点的 在这两点间的一段 的长度.‎ ‎（7）一个公式：球的小圆的圆心为，球心为，，球小圆半径为，球的半径为，则 ‎2.旋转体 由一个 绕着一条直线旋转而产生的曲面围成的几何体叫做旋转体.圆柱、圆锥、圆台、球等都属于旋转体.‎ 知识点二　组合体 由 等基本几何体组合而成的几何体叫组合体.‎ ‎【归纳·升华·领悟】‎ ‎（1）由圆柱的形成过程及母线的定义可知，圆柱有无数条母线，它们都与轴平行，它们之间也互相平行.‎ ‎（2）圆锥的顶点与底面圆周上任一点的连线都是圆锥的母线.‎ ‎（3）圆台也可以看作是等腰梯形以其底边的中线所在的直线为轴，各边旋转半周形成的曲面所围成的几何体. ‎ ‎（4）体育中用到的足球、篮球、乒乓球，它们都是中空的，所以它们不是数学中提到的球，但是铅球是数学提到的球，数学中提到的球是实心的旋转体.‎ ‎【典型例题】‎ 例1.以下说法中：‎ ‎①圆台上底面的面积与下底面的面积之比一定小于1；‎ ‎②矩形绕任意一条直线旋转都可以围成圆柱；‎ ‎③直角三角形绕其一边所在直线旋转一周都可以围成圆锥；‎ ‎④圆台的上下底面不一定平行，但过圆台侧面上每一点的母线都相等.‎ 其中正确的序号为 .‎ 例2.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积为‎392cm2，母线与轴的夹角为45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径.‎ 4‎ 例3.设地球的半径为R，在南纬60°圈上有两点A，B，A在西经90°，B在东经90°，求A，B两点间纬线圈的弧长及A，B两点间的球面距离　.‎ ‎【习题跟踪】‎ ‎1.下列说法中正确的个数是（　　）‎ ‎①半圆弧以其直径为轴旋转所成的曲面叫球；‎ ‎②空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球面；‎ ‎③球面和球是同一个概念；‎ ‎④经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆.‎ A.1 B‎.2 ‎ C.3 D.4‎ ‎2.有下列说法：‎ ‎①球的半径是连接球心和球面上任意一点的线段；‎ ‎②球的直径是连接球面上两点的线段；‎ ‎③不过球心的截面截得的圆叫做小圆.‎ 其中正确说法的序号是 .‎ ‎3.下列各命题：‎ ‎①连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；‎ ‎②圆锥的轴截面是等腰三角形，且只有一个；‎ ‎③球的任意截面都是圆面；‎ ‎④圆台所有母线的延长线交于一点.‎ 其中正确命题的序号是 （写出所有正确命题的序号）.‎ ‎4.如果圆台两底面的半径分别是7和1，则与两底面平行且等距离的截面面积是（　　）‎ A. B. C. D.‎ ‎5.已知圆柱的底面半径是‎20cm，高是‎15cm，则平行于圆柱的轴且与此轴相距‎12cm的截面面积是 .‎ ‎6.轴截面为正三角形的圆锥叫做等边圆锥.已知某等边圆锥的轴截面面积为，求该圆锥的底面半径、高和母线长.‎ ‎7.半径为5的球被一平面所截，若截面圆的面积为，则球心到截面的距离为（　　）‎ A.4 B‎.3 ‎ C.2.5 D.2‎ ‎8.设地球的半径为R，在北纬45°圈上有两点A，B，点A在西经40°，点B在东经50°，求A，B两点间纬线圈的弧长及A，B两点的球面距离.‎ 4‎ ‎【方法·规律·小结】‎ ‎1.轴截面 圆柱、圆锥、圆台可以分别看作是以矩形的一边、直角三角形的直角边、直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而成的曲面所围成的几何体，其轴截面分别为矩形、等腰三角形、等腰梯形，这些轴截面集中反映了旋转体的各主要元素，因此处理旋转体的有关问题时一般要作出轴截面.‎ ‎2.在有关几何体的计算中要注意的方法和技巧 ‎（1）研究圆柱、圆锥、圆台等问题的主要方法是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中易找到有关元素之间的位置和数量关系.‎ ‎（2）将圆柱、圆锥、圆台的侧面展开是把立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段之一.‎ ‎（3）圆台问题有时需要还原为圆锥问题来解决.‎ ‎（4）关于球的问题的计算，常作球的一个大圆，化“球”为“圆”，应用平面几何的有关知识解决；关于球与多面体的切接问题，要恰当地选取截面，化“空间”为“平面”.‎ 4‎