【数学】2018届一轮复习苏教版（理）第九章平面解析几何9-6双曲线定义学案
1.双曲线定义
平面内到两个定点 F1，F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 F1F2 的正数)的点的轨迹叫做双
曲线，两个定点 F1，F2 叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
集合 P＝{M||MF1－MF2|＝2a}，F1F2＝2c，其中 a，c 为常数且 a>0，c>0.
(1)当 2a
F1F2 时，P 点不存在.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
x2
a2
－y2
b2
＝1
(a>0，b>0)
y2
a2
－x2
b2
＝1
(a>0，b>0)
图形
性
质
范围 x≥a 或 x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a 或 y≥a
对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±b
ax y＝±a
bx
离心率 e＝c
a
，e∈(1，＋∞)，其中 c＝ a2＋b2
实虚轴
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长 A1A2＝2a；线段 B1B2 叫做双曲
线的虚轴，它的长 B1B2＝2b；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲
线的虚半轴长
a、b、c 的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
【知识拓展】
巧设双曲线方程
(1)与双曲线x2
a2
－y2
b2
＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为x2
a2
－y2
b2
＝t(t≠0).
(2)过已知两个点的双曲线方程可设为x2
m
＋y2
n
＝1(mn<0).
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点 F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线.( × )
(2)方程x2
m
－y2
n
＝1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.( × )
(3)双曲线方程x2
m2
－y2
n2
＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是x2
m2
－y2
n2
＝0，即x
m±y
n
＝0.( √ )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ )
(5)若双曲线x2
a2
－y2
b2
＝1(a>0，b>0)与x2
b2
－y2
a2
＝1(a>0，b>0)的离心率分别是 e1，e2，则1
e21
＋1
e22
＝1(此
结论中两条双曲线称为共轭双曲线).( √ )
1.(教材改编)若双曲线x2
a2
－y2
b2
＝1 (a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲
线的离心率为________.
答案 5
解析 由题意得 b＝2a，又 a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.
∴e2＝c2
a2
＝5，∴e＝ 5.
2.等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y2＝16x 的准线交于 A，B 两点，
AB＝4 3，则 C 的实轴长为________.
答案 4
解析 由题设 C：x2
a2
－y2
a2
＝1.
∵抛物线 y2＝16x 的准线为 x＝－4，联立x2
a2
－y2
a2
＝1 和 x＝－4，得 A(－4， 16－a2)，B(－4，
－ 16－a2)，
∴AB＝2 16－a2＝4 3，
∴a＝2，∴2a＝4.
∴C 的实轴长为 4.
3.(2016·无锡一模)已知焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为 y＝±1
3x，那么双曲线的离心率
为________.
答案 10
3
解析 根据题意，设双曲线的方程为x2
a2
－y2
b2
＝1，则b
a
＝1
3
，所以c
a
＝ 1＋b
a
2＝ 10
3
，即双曲
线的离心率为 10
3 .
4.(2016·江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线x2
7
－y2
3
＝1 的焦距是________.
答案 2 10
解析 由已知，a2＝7，b2＝3，则 c2＝7＋3＝10，故焦距为 2c＝2 10.
5.双曲线x2
4
－y2＝1 的顶点到其渐近线的距离等于________.
答案 2 5
5
解析 双曲线的一个顶点坐标为(2,0)，
一条渐近线方程是 y＝1
2x，即 x－2y＝0，
则顶点到渐近线的距离 d＝|2－0|
5
＝2 5
5 .
题型一 双曲线的定义及标准方程
命题点 1 利用定义求轨迹方程
例 1 已知圆 C1：(x＋3)2＋y2＝1 和圆 C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外
切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为____________________.
答案 x2－y2
8
＝1(x≤－1)
解析 如图所示，设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于 A 和 B.
根据两圆外切的条件，
得 MC1－AC1＝MA，
MC2－BC2＝MB，
因为 MA＝MB，
所以 MC1－AC1＝
MC2－BC2，
即 MC2－MC1＝BC2－AC1＝2，
所以点 M 到两定点 C1、C2 的距离的差是常数且小于 C1C2＝6.
又根据双曲线的定义，得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2 的距离大，与 C1 的距离
小)，
其中 a＝1，c＝3，则 b2＝8.
故点 M 的轨迹方程为 x2－y2
8
＝1(x≤－1).
命题点 2 利用待定系数法求双曲线方程
例 2 根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为 12，离心率为5
4
；
(2)焦距为 26，且经过点 M(0,12)；
(3)经过两点 P(－3,2 7)和 Q(－6 2，－7).
解 (1)设双曲线的标准方程为
x2
a2
－y2
b2
＝1 或y2
a2
－x2
b2
＝1(a>0，b>0).
由题意知，2b＝12，e＝c
a
＝5
4.
∴b＝6，c＝10，a＝8.
∴双曲线的标准方程为x2
64
－y2
36
＝1 或y2
64
－x2
36
＝1.
(2)∵双曲线经过点 M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在 y 轴上，且 a＝12.
又 2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.
∴双曲线的标准方程为 y2
144
－x2
25
＝1.
(3)设双曲线方程为 mx2－ny2＝1(mn>0).
∴ 9m－28n＝1，
72m－49n＝1，
解得
m＝－ 1
75
，
n＝－ 1
25.
∴双曲线的标准方程为y2
25
－x2
75
＝1.
命题点 3 利用定义解决焦点三角形问题
例 3 已知 F1，F2 为双曲线 C：x2－y2＝2 的左，右焦点，点 P 在 C 上，PF1＝2PF2，则 cos∠F1PF2
＝________.
答案 3
4
解析 ∵由双曲线的定义有 PF1－PF2
＝PF2＝2a＝2 2，
∴PF1＝2PF2＝4 2，
则 cos∠F1PF2＝PF21＋PF22－F1F22
2PF1·PF2
＝4 22＋2 22－42
2×4 2×2 2
＝3
4.
引申探究
1.本例中，若将条件“PF1＝2PF2”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2 的面积是多少？
解 不妨设点 P 在双曲线的右支上，
则 PF1－PF2＝2a＝2 2，
在△F1PF2 中，由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝PF21＋PF22－F1F22
2PF1·PF2
＝1
2
，所以 PF1·PF2＝8，
所以
1 2F PFS△ ＝1
2PF1·PF2·sin 60°＝2 3.
2.本例中，若将条件“PF1＝2PF2”改为“PF1
→ ·PF2
→ ＝0”，则△F1PF2 的面积是多少？
解 不妨设点 P 在双曲线的右支上，
则 PF1－PF2＝2a＝2 2，
由于PF1
→ ·PF2
→ ＝0，所以PF1
→ ⊥PF2
→ ，
所以在△F1PF2 中，有 PF21＋PF22＝F1F22，
即 PF21＋PF22＝16，
所以 PF1·PF2＝4，
所以
1 2F PFS△ ＝1
2PF1·PF2＝2.
思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要
求可求出双曲线方程.
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1－PF2|＝2a，运用平方
的方法，建立与 PF1·PF2 的联系.
(3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，
然后再根据 a，b，c，e 及渐近线之间的关系，求出 a，b 的值，如果已知双曲线的渐近线方
程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为x2
a2
－y2
b2
＝λ(λ≠0)，再由条件求
出λ的值即可.
(1)已知 F1，F2 为双曲线x2
5
－y2
4
＝1 的左，右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点 A
在双曲线上，则 AP＋AF2 的最小值为__________.
(2)设 F1，F2 分别为双曲线x2
a2
－y2
b2
＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，双曲线上存在一点 P 使得 PF1
＋PF2＝3b，PF1·PF2＝9
4ab，则该双曲线的离心率为________.
答案 (1) 37－2 5 (2)5
3
解析 (1)由题意知，AP＋AF2＝AP＋AF1－2a，要求 AP＋AF2 的最小值，只需求 AP＋AF1 的
最小值，
当 A，P，F1 三点共线时，取得最小值，
则 AP＋AF1＝PF1＝ [3－－3]2＋1－02＝ 37，
∴AP＋AF2 的最小值为 AP＋AF1－2a＝ 37－2 5.
(2)不妨设 P 为双曲线右支上一点，PF1＝r1，PF2＝r2.根据双曲线的定义，得 r1－r2＝2a，
又 r1＋r2＝3b，故 r1＝3b＋2a
2
，r2＝3b－2a
2
.
又 r1·r2＝9
4ab，所以3b＋2a
2
·3b－2a
2
＝9
4ab，解得b
a
＝4
3(负值舍去)，故 e＝c
a
＝ a2＋b2
a2
＝
b
a
2＋1 4
3
2＋1＝5
3.
题型二 双曲线的几何性质
例 4 (1)(2016·盐城三模)若圆 x2＋y2＝r2 过双曲线x2
a2
－y2
b2
＝1 的右焦点 F，且圆与双曲线的渐
近线在第一、四象限的交点分别为 A，B，当四边形 OAFB 为菱形时，双曲线的离心率为
________.
(2)(2015·山东)在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C1：x2
a2
－y2
b2
＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线
C2：x2＝2py(p＞0)交于点 O，A，B.若△OAB 的垂心为 C2 的焦点，则 C1 的离心率为________.
答案 (1)2 (2)3
2
解析 (1)若四边形 OAFB 为菱形，且点 A 在圆 x2＋y2＝r2 上，则点 A 坐标为(c
2
， 3
2 c)，此时
r＝c.又点 A 在渐近线上，所以 3
2 c＝b
a·c
2
，即b
a
＝ 3，所以 e＝ 1＋b
a
2＝2.
(2)由题意，不妨设直线 OA 的方程为 y＝b
ax，直线 OB 的方程为 y＝－b
ax.
由
y＝b
ax，
x2＝2py，
得 x2＝2p ·b
ax，
∴x＝2pb
a
，y＝2pb2
a2
，∴A
2pb
a
，2pb2
a2 .
设抛物线 C2 的焦点为 F，则 F 0，p
2 ，
∴kAF＝
2pb2
a2
－p
2
2pb
a
.
∵△OAB 的垂心为 F，∴AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1，
即
2pb2
a2
－p
2
2pb
a
·
－b
a ＝－1，∴b2
a2
＝5
4.
设 C1 的离心率为 e，则 e2＝c2
a2
＝a2＋b2
a2
＝1＋5
4
＝9
4.
∴e＝3
2.
思维升华 双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x2
a2
－y2
b2
＝1(a>0，b>0)
中，离心率 e 与双曲线的渐近线的斜率 k＝±b
a
满足关系式 e2＝1＋k2.
(2016·全国甲卷改编)已知 F1，F2 是双曲线 E：x2
a2
－y2
b2
＝1 的左，右焦点，点 M
在 E 上，MF1 与 x 轴垂直，sin∠MF2F1＝1
3
，则 E 的离心率为________.
答案 2
解析 离心率 e＝ F1F2
MF2－MF1
，由正弦定理得 e＝ F1F2
MF2－MF1
＝ sin∠F1MF2
sin∠MF1F2－sin∠MF2F1
＝
2 2
3
1－1
3
＝ 2.
题型三 直线与双曲线的综合问题
例 5 (2016·苏州模拟)已知椭圆 C1 的方程为x2
4
＋y2＝1，双曲线 C2 的左，右焦点分别是 C1 的
左，右顶点，而 C2 的左，右顶点分别是 C1 的左，右焦点.
(1)求双曲线 C2 的方程；
(2)若直线 l：y＝kx＋ 2与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A 和 B，且OA→ ·OB→ >2(其中 O 为原点)，
求 k 的取值范围.
解 (1)设双曲线 C2 的方程为x2
a2
－y2
b2
＝1(a>0，b>0)，
则 a2＝4－1＝3，c2＝4，
再由 a2＋b2＝c2，得 b2＝1.
故 C2 的方程为x2
3
－y2＝1.
(2)将 y＝kx＋ 2代入x2
3
－y2＝1，得
(1－3k2)x2－6 2kx－9＝0.
由直线 l 与双曲线 C2 有两个不同的交点，得
1－3k2≠0，
Δ＝－6 2k2＋361－3k2＝361－k2>0，
∴k2≠1
3
且 k2<1. ①
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 x1＋x2＝ 6 2k
1－3k2
，x1x2＝ －9
1－3k2.
∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋ 2)(kx2＋ 2)
＝(k2＋1)x1x2＋ 2k(x1＋x2)＋2
＝3k2＋7
3k2－1
.
又∵OA→ ·OB→ >2，得 x1x2＋y1y2>2，
∴3k2＋7
3k2－1
>2，即－3k2＋9
3k2－1
>0，
解得1
30，b>0)的焦距为 10，点 P(2,1)在 C 的一条渐
近线上，则 C 的方程为________________.
答案 x2
20
－y2
5
＝1
解析 依题意
a2＋b2＝25，
1＝b
a
×2， 解得 a2＝20，
b2＝5，
∴双曲线 C 的方程为x2
20
－y2
5
＝1.
2.(2016·全国乙卷改编)已知方程 x2
m2＋n
－ y2
3m2－n
＝1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离
为 4，则 n 的取值范围是________.
答案 (－1,3)
解析 ∵方程 x2
m2＋n
－ y2
3m2－n
＝1 表示双曲线，
∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m20，b>0)的左焦点，点 E 是该双曲线的右顶点，过 F 且垂直
于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 e 的
取值范围是____________.
答案 (1,2)
解析 由题意易知点 F 的坐标为(－c,0)，A(－c，b2
a )，B(－c，－b2
a )，E(a,0)，
∵△ABE 是锐角三角形，∴EA→·EB→>0，
即EA→·EB→＝(－c－a，b2
a )·(－c－a，－b2
a )>0，
整理得 3e2＋2e>e4，∴e(e3－3e－3＋1)<0，
∴e(e＋1)2(e－2)<0，
解得 e∈(0,2)，又 e>1，∴e∈(1,2).
6.(2016·浙江)设双曲线 x2－y2
3
＝1 的左，右焦点分别为 F1，F2，若点 P 在双曲线上，且△F1PF2
为锐角三角形，则 PF1＋PF2 的取值范围是________.
答案 (2 7，8)
解析 如图，由已知可得 a＝1，b＝ 3，c＝2，从而 F1F2＝4，由对称性不妨设 P 在右支上，
设 PF2＝m，
则 PF1＝m＋2a＝m＋2，
由于△PF1F2 为锐角三角形，
结合实际意义需满足 m＋22＜m2＋42，
42＜m＋22＋m2，
解得－1＋ 7＜m＜3，又 PF1＋PF2＝2m＋2，
∴2 7＜2m＋2＜8.
7.(2016·南京三模)设 F 是双曲线的一个焦点，点 P 在双曲线上，且线段 PF 的中点恰为双曲
线虚轴的一个端点，则双曲线的离心率为________.
答案 5
解析 不妨设双曲线方程为x2
a2
－y2
b2
＝1 (a>0，b>0)，设 F(－c,0)，线段 PF 的中点为(0，b)，则
P(c,2b).由点 P 在双曲线上，得c2
a2
－4＝1，所以 e＝ 5.
8.设双曲线x2
4
－y2
5
＝1 的左，右焦点分别为 F1，F2，P 为双曲线上位于第一象限内的一点，且
△PF1F2 的面积为 6，则点 P 的坐标为____________.
答案 (6 5
5
，2)
解析 由双曲线x2
4
－y2
5
＝1 的左，右焦点分别为 F1，F2，所以 F1F2＝6，设 P(x，y) (x>0，y>0)，
因为△PF1F2 的面积为 6，所以 1
2F1F2·y＝1
2
×6×y＝6，解得 y＝2，将 y＝2 代入x2
4
－y2
5
＝1 得 x
＝6 5
5 .所以 P(6 5
5
，2).
9.已知 F1，F2 分别是双曲线x2
a2
－y2
b2
＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，若在双曲线的右支上存在一
点 M，使得(OM→ ＋OF2
→ )·F2M→ ＝0(其中 O 为坐标原点)，且|MF1
→ |＝ 3|MF2
→ |，则双曲线的离心率
为______.
答案 3＋1
解析 ∵F2M→ ＝OM→ －OF2
→ ，
∴(OM→ ＋OF2
→ )·F2M→ ＝(OM→ ＋OF2
→ )·(OM→ －OF2
→ )＝0，
即 OM→ 2－OF2
→ 2＝0，∴|OF2
→ |＝|OM→ |＝c，
在△MF1F2 中，边 F1F2 上的中线等于 F1F2 的一半，可得MF1
→ ⊥MF2
→ .
∵|MF1
→ |＝ 3|MF2
→ |，
∴可设|MF2
→ |＝λ(λ>0)，|MF1
→ |＝ 3λ，
得( 3λ)2＋λ2＝4c2，解得λ＝c，
∴|MF1
→ |＝ 3c，|MF2
→ |＝c，
∴根据双曲线定义得 2a＝|MF1
→ |－|MF2
→ |＝( 3－1)c，
∴双曲线的离心率 e＝2c
2a
＝ 3＋1.
10.(2015·课标全国Ⅰ改编)已知 M(x0，y0)是双曲线 C：x2
2
－y2＝1 上的一点，F1，F2 是 C 的两
个焦点，若MF1
→ ·MF2
→ <0，则 y0 的取值范围是______________.
答案 － 3
3
， 3
3
解析 由题意知 a＝ 2，b＝1，c＝ 3，
∴F1(－ 3，0)，F2( 3，0)，
∴MF1
→ ＝(－ 3－x0，－y0)，MF2
→ ＝( 3－x0，－y0).
∵MF1
→ ·MF2
→ <0，
∴(－ 3－x0)( 3－x0)＋y20<0，
即 x20－3＋y20<0.∵点 M(x0，y0)在双曲线上，
∴x20
2
－y20＝1，即 x20＝2＋2y20，
∴2＋2y20－3＋y20<0，∴－ 3
3 0，b>0)的左，右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线的右支上，且
PF1＝4PF2，则此双曲线的离心率 e 的最大值为________.
答案 5
3
解析 由定义，知 PF1－PF2＝2a.
又 PF1＝4PF2，∴PF1＝8
3a，PF2＝2
3a.
在△PF1F2 中，由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝
64
9 a2＋4
9a2－4c2
2·8
3a·2
3a
＝17
8
－9
8e2.
要求 e 的最大值，即求 cos∠F1PF2 的最小值，
∴当 cos∠F1PF2＝－1 时，得 e＝5
3
，
即 e 的最大值为5
3.
12.(2015·课标全国Ⅰ)已知 F 是双曲线 C：x2－y2
8
＝1 的右焦点，P 是 C 的左支上一点，A(0,6 6).
当△APF 的周长最小时，该三角形的面积为________.
答案 12 6
解析 设左焦点为 F1，PF－PF1＝2a＝2，
∴PF＝2＋PF1，△APF 的周长为 AF＋AP＋PF＝AF＋AP＋2＋PF1，△APF 周长最小即为 AP
＋PF1 最小，当 A、P、F1 三点在一条直线时最小，过 AF1 的直线方程为 x
－3
＋ y
6 6
＝1，与 x2
－y2
8
＝1 联立，解得 P 点坐标为(－2,2 6)，此时 S△APF＝S△AF1F－S△F1PF＝12 6.
13.(2016·江西丰城中学模拟)一条斜率为 1 的直线 l 与离心率为 3的双曲线x2
a2
－y2
b2
＝1(a>0，b>0)
交于 P，Q 两点，直线 l 与 y 轴交于 R 点，且OP→ ·OQ→ ＝－3，PR→＝3RQ→ ，求直线和双曲线的方
程.
解 ∵e＝ 3，∴b2＝2a2，
∴双曲线方程可化为 2x2－y2＝2a2.
设直线 l 的方程为 y＝x＋m.
由 y＝x＋m，
2x2－y2＝2a2，
得
x2－2mx－m2－2a2＝0，
∴Δ＝4m2＋4(m2＋2a2)>0，
∴直线 l 一定与双曲线相交.
设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则 x1＋x2＝2m，x1x2＝－m2－2a2.
∵PR→＝3RQ→ ，xR＝x1＋3x2
4
＝0，
∴x1＝－3x2，∴x2＝－m，－3x22＝－m2－2a2.
消去 x2，得 m2＝a2.
OP→ ·OQ→ ＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1＋m)(x2＋m)
＝2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2
＝m2－4a2＝－3，
∴m＝±1，a2＝1，b2＝2.
直线 l 的方程为 y＝x±1，双曲线的方程为 x2－y2
2
＝1.
*14.已知双曲线 C：x2
a2
－y2
b2
＝1(a>0，b>0)的一个焦点是 F2(2,0)，且 b＝ 3a.
(1)求双曲线 C 的方程；
(2)设经过焦点 F2 的直线 l 的一个法向量为(m,1)，当直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同的两点
A，B 时，求实数 m 的取值范围，并证明 AB 中点 M 在曲线 3(x－1)2－y2＝3 上；
(3)设(2)中直线 l 与双曲线 C 的右支交于 A，B 两点，问是否存在实数 m，使得∠AOB 为锐角？
若存在，请求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由.
解 (1)由已知，得 c＝2，c2＝a2＋b2，b＝ 3a，
∴4＝a2＋3a2，∴a2＝1，b2＝3，
∴双曲线 C 的方程为 x2－y2
3
＝1.
(2)由题意，得直线 l：m(x－2)＋y＝0，
由
y＝－mx＋2m，
x2－y2
3
＝1，
得(3－m2)x2＋4m2x－4m2－3＝0.
由Δ>0，得 4m4＋(3－m2)(4m2＋3)>0，
12m2＋9－3m2>0，即 m2＋1>0 恒成立.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 x1＋x2＝ 4m2
m2－3
，x1x2＝4m2＋3
m2－3
.
又 x1＋x2>0，
x1·x2>0，
∴
4m2
m2－3
>0，
4m2＋3
m2－3
>0，
∴m2>3，∴m∈(－∞，－ 3)∪( 3，＋∞).
∵x1＋x2
2
＝ 2m2
m2－3
，y1＋y2
2
＝－ 2m3
m2－3
＋2m
＝－ 6m
m2－3
，
∴AB 的中点 M( 2m2
m2－3
，－ 6m
m2－3
)，
∵3( 2m2
m2－3
－1)2－ 36m2
m2－32
＝3×m2＋32
m2－32
－ 36m2
m2－32
＝3×m4＋6m2＋9－12m2
m2－32
＝3，
∴M 在曲线 3(x－1)2－y2＝3 上.
(3)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
假设存在实数 m，使∠AOB 为锐角，则OA→ ·OB→ >0，
∴x1x2＋y1y2>0.
∵y1y2＝(－mx1＋2m)(－mx2＋2m)
＝m2x1x2－2m2(x1＋x2)＋4m2，
∴(1＋m2)x1x2－2m2(x1＋x2)＋4m2>0，
∴(1＋m2)(4m2＋3)－8m4＋4m2(m2－3)>0，
即 7m2＋3－12m2>0，∴m2<3
5
，
与 m2>3 矛盾，
∴不存在实数 m，使得∠AOB 为锐角.
