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文档介绍
江西省信丰中学2020届高三数学上学期第四次周考理A层13班2(含解析)
- 1 - 江西省信丰中学 2020 届高三数学上学期第四次周考(理 A 层)(13 班) 一.选择题(50 分) 1 若函数 y=cos ωx+π 6 (ω∈N*)图像的一个对称中心是 π 6 ,0 ,则ω的最小值为 ( ) A.1 B.2 C.4 D.8 2.f(x)=sin(ωx+φ)(x∈R) ω>0,|φ|<π 2 的部分图像如图所示,如果 x1,x2 ∈ -π 6 ,π 3 ,且 f(x1)=f(x2),则 f(x1+x2)=( ) A.1 2 B. 3 2 C. 2 2 D.1 3 已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) ω>0,|φ|<π 2 的最小正周期是π,若将 f(x)的图像向 右平移π 3 个单位后得到的图像关于原点对称,则函数 f(x)的图像( ) A.关于直线 x=π 12 对称 B.关于直线 x=5π 12 对称 C.关于点 π 12 ,0 对称 D.关于点 5π 12 ,0 对称 4 已知 sin π 3 +α +sin α=4 3 5 ,则 sin α+7π 6 的值是( ) A.-2 3 5 B.2 3 5 C.4 5 D.-4 5 - 2 - 5 已知 sin π 6 -α =1 3 ,则 cos 2 π 3 +α 的值是( ) A.7 9 B.1 3 C.-1 3 D.-7 9 6 若 sin 2α= 5 5 ,sin(β-α)= 10 10 ,且α∈ π 4 ,π ,β∈ π,3π 2 ,则α+β的 值是( ) A.7π 4 B.9π 4 C.5π 4 或7π 4 D.5π 4 或9π 4 7 设 a0 为单位向量,下列命题中:①若 a 为平面内的某个向量,则 a=|a|·a0;②若 a 与 a0 平行,则 a=|a|a0;③若 a 与 a0 平行且|a|=1,则 a=a0.假命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 8 设 D 为△ABC 所在平面内一点, BC =3CD ,则( ) A. AD =-1 3 AB +4 3 AC B. AD =1 3 AB -4 3 AC C. AD =4 3 AB +1 3 AC D. AD =4 3 AB -1 3 AC 9 设 D,E 分别是△ABC 的边 AB,BC 上的点,AD=1 2 AB,BE=2 3 BC.若 DE =λ1 AB +λ2 AC (λ1, λ2 为实数),则λ1+λ2 的值为( ) A.1 2 B. 3 2 - 3 - C. 2 2 D.1 10 设 M 是△ABC 所在平面上的一点,且 MB +3 2 MA +3 2 MC =0,D 是 AC的中点,则|MD | | BM | 的值为( ) A.1 3 B.1 2 C.1 D.2 二.填空题(20 分) 11 已知 cos π 6 -θ =a(|a|≤1),则 cos 5π 6 +θ +sin 2π 3 -θ 的值是________ 12 化简 sin2 α-π 6 +sin2 α+π 6 -sin2α的结果是________ 13 图,在△ABC 中,sin∠ABC 2 = 3 3 ,AB=2,点 D 在线段 AC 上,且 AD=2DC,BD=4 3 3 , 则 cos∠C=________. 14 图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西 偏北 30°的方向上,行驶 600 m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 75°的方向上,仰角为 30°, 则此山的高度 CD=________m. 三.解答题(36 分) 15.(12 分)如图所示,在四边形 ABCD 中,∠D=2∠B,且 AD=1,CD=3, - 4 - cos∠B= 3 3 . (1)求△ACD 的面积; (2)若 BC=2 3,求 AB 的长. 16.(12 分)在平面直角坐标系中,曲线 2cos : 3 sin x C y ( 是参数).以坐标原点O 为极 点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程: 3 2cos 04 4 . (1)写出曲线C 的普通方程与直线l 的直角坐标方程; (2)设 11, 2P ,直线l 与曲线C 交于 A 、 B 两点,求| | | |PA PB 的值. 17(12 分)已知函数 21( ) ln ( 1)2f x x ax a x (其中 0a ). (1)讨论 ( )f x 的单调性; (2)若 21( ) ( )2 ag x x f x ,设 1 2 1 2,x x x x 是函数 ( )g x 的两个极值点,若 3 2a , 且 1 2g x g x k 恒成立,求实数 k 的取值范围. - 5 - 2019 年高三(13)班第四次周考卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B D D A D A A A 10 解析:选 A ∵D 是 AC 的中点,延长 MD 至 E,使得 DE=MD,∴四边形 MAEC 为平行四 边形,∴ MD =1 2 ME =1 2 ( MA + MC ).∵ MB +3 2 MA +3 2 MC =0,∴ MB =-3 2 ( MA + MC )=-3 MD ,∴|MD | | BM | = |MD | |-3 MD | =1 3 ,故选 A 11 答案:0 12 答案:1 2 13 解析:由条件得 cos∠ABC=1 3 ,sin∠ABC=2 2 3 . 在△ABC 中,设 BC=a,AC=3b, 则由余弦定理得 9b2=a2+4-4 3 a.① 因为∠ADB 与∠CDB 互补, - 6 - 所以 cos∠ADB=-cos∠CDB, 所以 4b2+16 3 -4 16 3 3 b =- b2+16 3 -a2 8 3 3 b , 所以 3b2-a2=-6,② 联合①②解得 a=3,b=1,所以 AC=3,BC=3. 在△ABC 中,cos∠C=BC2+AC2-AB2 2BC·AC =32+32-22 2×3×3 =7 9 . 答案:7 9 14 解析:由题意,在△ABC 中,∠BAC=30°, ∠ABC=180°-75°=105°,故∠ACB=45°. 又 AB=600 m,故由正弦定理得 600 sin 45° = BC sin 30° ,解得 BC=300 2 m. 在 Rt△BCD 中,CD=BC·tan 30°=300 2× 3 3 =100 6(m). 答案:100 6 15 解:(1)因为∠D=2∠B,cos∠B= 3 3 , 所以 cos∠D=cos 2∠B=2cos2∠B-1=-1 3 . 因为∠D∈(0,π), 所以 sin∠D= 1-cos2∠D=2 2 3 . 因为 AD=1,CD=3, 所以△ACD 的面积 S=1 2 AD·CD·sin∠D=1 2 ×1×3×2 2 3 = 2. (2)在△ACD 中, AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos∠D=12, 所以 AC=2 3. 因为 BC=2 3, AC sin∠B = AB sin∠ACB , - 7 - 所以 2 3 sin∠B = AB sinπ-2∠B= AB sin 2∠B = AB 2sin∠Bcos∠B = AB 2 3 3 sin∠B , 所以 AB=4. 16.解:(1)曲线C 的普通方程是 2 2 14 3 x y ,直线l 的直角坐标方程为 2 2 3 0x y . (2)直线l 经过点 11, 2P ,且倾斜角是 45 ∴直线l 的参数方程是 21 2 1 2 2 2 x t y t (t 是参数) , 设 A , B 对应的参数分别为 1t , 2t ,将直线 l 的参数方程代入 2 2 14 3 x y , 整理得 27 2 2 16 0t t ,∴ 1 2 1 2 2 2 7 16 7 t t t t ∴由参数t 的几何意义可知: 1 2 16 7PA PB t t . 17. 解:(1) ( )f x 的定义域为 (0, ) , 1 ( 1)( 1)( ) ( 1) x axf x ax ax x (i)若 0 1a ,则 1 1a .由 ( ) 0f x 得 0 1x 或 1x a ;由 ( ) 0f x 得 11 x a ∴ ( )f x 在 (0,1) , 1 ,a 上单调递增,在 11, a 上单调递减; (ii)若 1a ,则 ( ) 0f x ,∴ ( )f x 在 (0, ) 上单调递增; (iii)若 1a ,则 10 1a ,由 ( ) 0f x 得 10 x a 或 1x ;由 ( ) 0f x 得 1 1xa ∴ ( )f x 在 10, a , (1, ) 上单调递增,在 1 ,1a 上单调递减. (2)∵ 21( ) ln ( 1)2g x x x a x , 21 ( 1) 1( ) ( 1) x a xg x x ax x , 由 ( ) 0g x 得 2 ( 1) 1 0x a x ,∴ 1 2 1x x a , 1 2 1x x ,∴ 2 1 1x x - 8 - ∵ 3 2a ∴ 1 1 1 1 1 5 2 10 x x x x 解得 1 10 2x ≤ ∴ 2 2 21 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1ln ( 1) 2ln2 2 xg x g x x x a x x x xx x 设 2 2 1 1( ) 2ln 2h x x x x 10 2x ,则 22 3 3 12 1( ) 0 x h x xx x x ∴ ( )h x 在 10, 2 上单调递减;当 1 1 2x 时, min 1 15( ) 2ln 22 8h x h 查看更多