广东省韶关市第一中学2019届高三上学期第一次月考数学（文）试题（pdf版）

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第页 1 2019 届高三上学期第一次月考 数学（文）试题 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．己知集合 02 xA x x      ，  1,0,1,2,3B   ，则 A B I （ ） A． 1,0,3 B． 0,1 C． 0,1,2 D． 0,2,3, 2．己知i 为虚数单位，若复数 z 满足  1 i i iz    ，则 z  （ ） A．i B． i C．1 D．-1 3．已知函数      0,2 0,12)( 2 xxx xxf x ，则函数的图象是（ ） 4．党的十八大以来，脱贫攻坚取得显著成绩.2013 年至 2016 年 4 年间，累计脱贫 5564 万人，2017 年各地 根据实际进行创新，精准、高效地完成了脱贫任务.某地区对当地 3000 户家庭的 2017 年所的年收入情况调 查统计，年收入的频率分布直方图如图所示，数据（单位：千元）的分组依次为 ]100,80[),80,60[),60,40[),40,20[ ，则年收入不超过 6 万的家庭大约为（ ） 第页 2 A．900 户 B．600 户 C．300 户 D．150 户 5．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”， 称底是“广”，称高是“正从”，“步”是丈量土地的单位.现有一邪田，广分别为十步和二十步，正从为十 步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田.若在邪田内随机种植一株茶树，求该株茶树恰好种在圭田内 的概率为（ ） A． 15 2 B． 5 2 C． 15 4 D． 5 1 6.执行如图所示的算法流程图，则输出的结果 S 的值为（ ） A．-1 B．0 C．1 D．1009 7．如果函数 xaxy 2cos2sin  的图象关于直线 12 x 对称，那么该函数的最大值为（ ） A． 2 B．2 C． 3 D．3 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A. 83  B. 82  C. 2442  D. 2443  9．已知定义在 R 上的偶函数 )(xf 对于 ),0[  上任意两个不相等实数 1x 和 2x ， )(xf 都满足 0)()( 12 12   xx xfxf ，若 )5(log),3(log),0( 22.0 fcfbfa  ，则 cba ,, 的大小关系为（ ） 第页 3 A． abc  B． bac  C． bca  D． cba  10．如图，在棱长为10的正方体内放入两个半径不相等的球 21,OO ，这两个球相外切，且球 1O 与正方体共 顶点 A 的三个面相切，球 2O 与正方体共顶点 1B 的三个面相切，则球 2O 的半径最大时，球 2O 的体积是 （ ） A． 100 B．  3 500 C． 300 D． 3500 11．设 1 2,F F 分别为椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     的左右焦点，椭圆C 上存在一点 P 使得 1 2PF PF b  ， 1 2 15 8PF PF ab  ，则该椭圆的离心率为（ ） A． 1 2 B． 2 2 C． 3 2 D． 1 3 12．设函数 Rtttxexxf x  ,5)3()( .若存在唯一的整数 0x ，使得 0)( 0 xf ，则实数t 的取值范围 为（ ） A． ]2,3( 2 ee  B． )2,3( 2 ee  C． ]2,3( 2 ee D． )2,3( 2 ee 二、填空题（每题 4 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13．己知向量  1,3a   r ，  2, 1b m  r ，若 a b∥ r r ，则实数 m  ． 14．设实数 ,x y 满足 3 0, 3 0, 0, x y x x y          ，则 2z x y  的最大值为 ． 15．已知实数 yx, 满足       4 02 0632 x yx yx ，则 23  yxz 的最大值为 . 16．在锐角三角形 ABC 中， BA  2 ， CA  , 的对边长分别是 ca, ，则 a c 的取值范围为 . 第页 4 三、解答题 （本大题共 6 题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知正项等比数列 }{ na 的前 n 项和为 nS ，且 )(12 *NnaS nn  . （1）求数列 }{ na 的通项公式； （2）若 nn ab lg ，求数列 }{ nn ba  的前 n 项和 nT . 18．2017年5月，“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国“新四大发明”：高铁、支付宝、共享单车和 网购.2017年末，“支付宝大行动”用发红包的方法刺激支付宝的使用.某商家统计前5名顾客扫描红包所得 金额分别为5.5元，2.1元，3.3元，5.9元，4.7元，商家从这5名顾客中随机抽取3人赠送台历. （1）求获得台历是三人中至少有一人的红包超过5元的概率； （2）统计一周内每天使用支付宝付款的人数 x 与商家每天的净利润 y 元，得到7组数据，如表所示，并作 出了散点图. （i）直接根据散点图判断， bxay  与 dxcey  哪一个适合作为每天的净利润的回归方程类型. （ dcba ,,, 的值取整数） （ii）根据（i）的判断，建立 y 关于 x 的回归方程，并估计使用支付宝付款的人数增加到35时，商家当天 的净利润. 参考数据： 第页 5 x y    7 1 2)( i i xx    7 1 ))(( i ii yyxx 22.8 6 194.2 9 268.86 3484.29 附：对于一组数据 ),(,),,(),,( 2211 nn vuvuvu ，其回归直线   uv 的斜率和截距的最小二乘估计分别 为 uva uu vvuu n i i n i ii  ˆˆ, )( ))(( ˆ 1 2 1         . 19．如图， PA 平面 ABD ， PC 平面 BCD ， FE, 分别为 CDBC, 上的点，且 ACEF  . （1）求证： //EF 平面 ABD ； （2）若 ABD 是边长为2的正三角形， DCBCPA  ,3 ，平面 ABD 平面CBD ，求四面体 ABCD 的 体积. 第页 6 20．已知椭圆C ： )0(12 2 2 2  bab y a x 的离心率为 2 3 ，点 )2 3,1(  在椭圆上.不过原点的直线l 与椭 圆交于 BA, 两点，且 0OBOA （O 为坐标原点）. （1）求椭圆 C 的方程； （2）试判断 22 || 1 || 1 OBOA  是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由. 21．已知函数 Rmxx mxxf  ,ln2)( 2 . （1）求函数 )(xf 的单调增区间； （2）若函数 )(xf 有两个极值点 21, xx ，且 21 xx  ，证明： 1)( 22  xxf . 第页 7 请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 1C 的方程为 2 2 12 x y  ，曲线 2C 的参数方程为 cos 1 sin x y       （ 为参数），曲线 3C 的方程为 tany x  ， （ 0 , 02 x   ），曲线 3C 与曲线 1 2C C、 分别交于 ,P Q 两点． （Ⅰ）求曲线 1 2C C、 的极坐标方程； （Ⅱ）求 2 2OP OQ 的取值范围． 23．选修 4-5：不等式选讲 已知函数   3 2f x x a x    ，  0a  ． （Ⅰ）当 1a  时，解不等式   1f x x  ； （Ⅱ）若关于 x 的不等式   4f x  有解，求 a 的取值范围. 第页 8 数学（文科）参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 B A D A A B B D D B C A 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．-7 14．6 15． 4 16． 2 2 3( , )2 3 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）由 2 1n nS a n N  （ ），可得 1 12 1S a  ， ∴ 1 12 1a a  ，∴ 1 1a  . 又 2 22 1S a  ，∴ 1 2 22 1a a a   ，∴ 2 2a  . ∵数列{ }na 是等比数列，∴公比 2 1 2aq a   ， ∴数列{ }na 的通项公式为 12n na  . （Ⅱ）由（Ⅰ）知， lg ( 1)lg2n nb a n   ， ∴数列{ }n nb a 的前 n 项和 1 1 2 2( ) ( ) ( )n n nT b a b a b a       n-1=(0+1)+(lg2+2)+ +[(n-1)lg2+2 ] 1[lg2 2lg2 ( 1)lg2] (1 2 2 )nn          ＝ ( 1) lg2 2 12 nn n    18．（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）记事件“获得台历的三人中至少有一人的红包超过 5 元”为事件 M，5 名顾客中红包超过 5 元的 两人分别记为 1 2,A A ，不足 5 元的三人分别记为 1 2 3, ,B B B ，从这 5 名顾客中随机抽取 3 人，共有抽取情况 如下： 1 2 1 1 2 2 1 2 3 1 1 2, , , ,A A B A A B A A B A B B 1 1 3 1 2 3 2 1 2 2 1 3 2 2 3 1 2 3, , , , ,A B B A B B A B B A B B A B B B B B ，共 10 种. 其中至少有一人的红包超过 5 元的是前 9 种情况， 所以 9( ) 10P M  . （Ⅱ）（ⅰ）根据散点图可判断，选择 y a bx  作为每天的净利润的回归方程类型比较适合. 第页 9 （ⅱ）由最小二乘法求得系数 7 1 7 2 1 ( )( ) 3484.29 13268.86( ) i i i i i x x y y b x x           ， 所以 194.29 13 22.86 103a y bx       所以 y 关于 x 的回归方程为 103 13y x   . 当 35x  时，商家当天的净利润 352y  元， 故使用支付宝付款的人数增加到 35 时，预计商家当天的净利润为 352 元. 19．（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）证明：∵ PA  平面 ABD ，∴ PA BD . 又 PC  平面 BCD ，∴ ,PC BD PC EF  ， 又 PA PC P ，∴ BD  平面 PAC .（3 分） 又 ,EF AC AC PC C  ，∴ EF  平面 PAC ， ∴ //EF BD ………………4 分 ∵ EF  平面 ABD ， BD  平面 ABD ， ∴ //EF 平面 ABD . （Ⅱ）取 BD 的中点Q ，连接 ,AQ CQ . ∵ ABD 为正三角形，∴ AQ BD ， ∵平面 ABD  平面CBD ，且平面 ABD ∩平面 CBD BD ， ∴ AQ  平面CBD . 又 PC  平面 BCD ，∴ //AQ PC . 又 BC DC ，∴CQ BD ， ∴CQ  平面 ABD ，即CQ AQ . ∵ PA  平面 ABD ，∴ //PA CQ ，且 PA AQ ， ∴四边形 APCQ 为矩形，∴ 3CQ PA  ， ∴ 1 1 1 2 3 3 33 3 2A BCD C ABD ABDV V S CQ          ， 故四面体 ABCD 的体积为 3 . 第页 10 20．（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）∵椭圆C 的离心率 3 2 ce a   ，又 2 2 2c a b  ， ∴ 2 2 23 4 a a b  ，∴ 2 24a b . 又点 3(1, )2P  在椭圆上，∴ 2 2 1 3 14a b   ， 即 2 2 1 3 14 4b b   ，∴ 2 1b  ，则 2 4a  ， ∴椭圆C 的方程为 2 2 14 x y  . （Ⅱ）当直线 OA 的斜率存在且不为 0 时， 设其方程为 y kx ， ∵ ,A B 分别为椭圆上的两点，且 0OA OB  ， 即OA OB ，∴直线OB 的方程为 1y xk   . 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ， 把 y kx 代入椭圆C ： 2 2 14 x y  ， 得 2 1 2 4 1 4x k   ，∴ 2 2 1 2 4 1 4 ky k   ， 同理 2 2 2 2 4 4 4 kx k   ，∴ 2 2 2 4 4y k   ， ∴ 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 | | | |OA OB x y x y     2 2 2 2 2 2 1 1 5 4 4 4 4 4 1 4 1 4 4 4 k k k k k k         当直线 ,OA OB 中的一条直线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率为 0， 此时 2 2 2 2 1 1 1 1 1 51| | | | 4 4OA OB a b       . 综上所述， 2 2 1 1 | | | |OA OB  为定值 5 4 . 21．（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）由 ( ) 2ln ,mf x x x m Rx     ，得： 2 2 2 2 2( ) 1 , (0, )m x x mf x xx x x         第页 11 设函数 2( ) 2 , (0, )g x x x m x     当 1m   时，即 4+4 0m   时， ( ) 0g x  ， ( ) 0f x  ， 所以函数 ( )f x 在 ),0(  上单调递增. 当 1m   时，即 4+4 0m   时， 令 ( ) 0g x  得 1 1 1x m   ， 2 1 1x m   ， 1 2x x 当 1 0m   时，即 1 20 x x  时，在 1(0, )x  2( , )x  上， ( ) 0g x  ， ( ) 0f x  ; 在 1 2( , )x x 上， ( ) 0g x  ， ( ) 0f x  . 所以函数 ( )f x 在 1(0, )x ， 2( , )x  上单调递增，在 1 2( , )x x 上单调递减. 当 0m  时，即 1 20x x  时，在 2(0, )x 上， ( ) 0g x  ， ( ) 0f x  ; 在 2( , )x  上， ( ) 0g x  ， ( ) 0f x  . 所以函数 ( )f x 在 2(0, )x 上单调递减，在 2( , )x  上单调递增. 综上，当 1m   时，函数 ( )f x 在 ),0(  上单调递增； 当 1 0m   时，函数 ( )f x 在 (0,1 1 )m  ， (1+ 1 , )m  上单调递增， 在 (1 1 ,1+ 1 )m m   上单调递减； 当 0m  时，函数 ( )f x 在 (0,1+ 1 )m 上单调递减， 在 (1+ 1+ , )m  上单调递增. （Ⅱ）证明：∵函数 ( )f x 有两个极值点 1 2,x x ，且 1 2x x ， ∴ 2( ) 2 0g x x x m    有两个不同的正根 1 21 1 , 1 1x m x m      ， ∴ 1 2 0, 4 4 0, x x m m        ∴ 1 0m   . 欲证明 2 2 2 2 2 ( ) 2ln 1mf x x x xx      ，即证明 2 2 2ln 1mx x   ， ∵ 2 2 22m x x  ， ∴证明 2 2 2ln 1mx x   成立，等价于证明 2 22ln 1x x   成立. ∵ 2 2( 2) ( 1,0)m x x    ，∴ 2 1 1 (1,2)x m    . 设函数 ( ) 2ln , (1,2)h x x x x   ， 求导可得 2'( ) 1h x x   . 易知 '( ) 0h x  在 (1,2)x 上恒成立， 即 ( )h x 在 (1,2)x 上单调递增， 第页 12 ∴ ( ) (1) 1h x h   ，即 2 22ln 1x x   在 2 (1,2)x  上恒成立， ∴函数 ( )f x 有两个极值点 1 2,x x ，且 1 2x x 时， 2 2( ) 1f x x  . 22．解：（Ⅰ）因为 cosx   ， siny   ，所以曲线 1C 的极坐标方程为 2 2 2 2cos sin 12      ，即 2 2 2 1 sin    由 cos 1 sin x y       （ 为参数），消去 ， 即得曲线 2C 直角坐标方程为  22 1 1x y   将 cosx   ， siny   ，代入化简， 可得曲线 2C 的极坐标方程为 2sin  （Ⅱ）曲线 3C 的极坐标方程为  ， 0,0 2        由（1）得 2 2 2 1 sinOP   ， 2 24sinOQ  即 2 2 2 2 8sin 1 sinOP OQ    2 8 1 1sin    因为 0 2   ，所以 0 sin 1  ， 所以  2 2 0,4OP OQ  23．解：（Ⅰ）当 1a  时，即解不等式 1 3 2 1x x x     当 1x  时，不等式可化为 2 3 1x x    ，即 2 3x   ，与 1x  矛盾无解 当 2 13 x   时，不等式可化为 4 1 1x x    ， 即 0x  ，所以解得 2 03 x   当 2 3x   时，不等式可化为 2 3 1x x   ， 即 4x   ，所以解得 24 3x    综上所述，不等式的解集为  4,0 第页 13 （Ⅱ）   22 2, 3 24 2 , 3 2 2, x a x f x x a x a x a x a                   因为函数  f x 在 2, 3      上单调递增，在 2 ,3      上单调递减， 所以当 2 3x   时，  max 2 3f x a  不等式   4f x  有解等价于  max 2 43f x a   ， 故 a 的取值范围为 10 ,3    