【数学】2018届一轮复习北师大版排列与组合学案

【数学】2018届一轮复习北师大版排列与组合学案

第2讲　排列与组合 ‎)‎ ‎1．排列与组合的概念 名称 定义 排列 从 n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列 组合 合成一组 ‎2.排列数与组合数的概念 名称 定义 排列数 从 n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同 排列的个数 组合数 组合的个数 ‎3.排列数与组合数公式 ‎(1)排列数公式 ‎①A＝n(n－1)·…·(n－m＋1)＝；‎ ‎②A＝n！．‎ ‎(2)组合数公式 C＝＝＝．‎ ‎4．组合数的性质 ‎(1)C＝C；‎ ‎(2)C＋C＝C．‎ ‎1．辨明两个易误点 ‎(1)易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．‎ ‎(2)计算A时易错算为n(n－1)(n－2)…(n－m)．‎ ‎2．排列与组合问题的识别方法 识别方法 排列 若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，即排列问题与选取元素顺序有关 续　表 识别方法 组合 若交换某两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取元素顺序无关 ‎1. 从3，5，7，11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是(　　)‎ A．6　　　　　　　　　　 B．8‎ C．12 D．16‎ ‎　C　 由于lg a－lg b＝lg，从3，5，7，11中取出两个不同的数分别赋值给a和b共有A＝12种，所以得到不同的值有12个．‎ ‎2．将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到 甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有(　　)‎ A．24种　　 B．12种 C．10种 D．9种 ‎　B　 第一步，为甲校选1名女老师，有C＝2种选法；第二步，为甲校选2名男教师，有C＝6种选法；第三步，为乙校选1名女教师和2名男教师，有1种选法，故不同的安排方案共有2×6×1＝12种，选B．‎ ‎3．高三(1)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目、2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是(　　)‎ A．1 800　　 B．3 600‎ C．4 320 D．5 040‎ ‎　B　 两个舞蹈节目不连排，可先安排4个音乐节目和1个曲艺节目，有A种排法；再将2个舞蹈节目插到6个空中的2个中去，有A种排法，故由分步乘法计数原理，有A eq oal(5,5)·A＝3 600(种)．故选B．‎ ‎4．有5名男生和3名女生，从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的课代表，若某女生必须担任语文课代表，则不同的选法共有________种(用数字作答)．‎ ‎ 由题意知，从剩余7人中选出4人担任其余4个学科的课代表，共有A＝840种．‎ ‎ 840‎ ‎5．四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案有________种．‎ ‎ 分两步：先将四名优等生分成2，1，1三组，共有C种；而后，对三组学生全排三所学校，即进行全排列，有A种．依分步乘法计数原理，共有N＝CA＝36(种)．‎ ‎ 36‎ ‎　排列应用题 ‎　3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．‎ ‎(1)选其中5人排成一排；‎ ‎(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；‎ ‎(3)全体站成一排，男、女各站在一起；‎ ‎(4)全体站成一排，男生不能站在一起．‎ ‎【解】　(1)问题即为从7个元素中选出5个全排列，有A＝2 520种排法．‎ ‎(2)前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有A＝5 040种排法．‎ ‎(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有A种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有A种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A种排法，由分步乘法计数原理知，共有N＝A·A·A＝288(种)．‎ ‎(4)不相邻问题(插空法)：先安排女生共有A种排法，男生在4个女生隔成的五个空中安排共有A种排法，故N＝A·A＝1 440(种)．‎ ‎ 在本例条件下，求不同的排队方案的方法种数：‎ ‎(1)甲不在中间也不在两端；‎ ‎(2)甲、乙两人必须排在两端．‎ ‎ (1)先排甲有4种，其余有A种，‎ 故共有4·A＝2 880种排法．‎ ‎(2)先排甲、乙，再排其余5人，‎ 共有A·A＝240种排法．‎ ‎(1)求解有限制条件排列问题的主要方法 直接法 分类法 选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数 分步法 选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数 捆绑法 相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中 除法 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以已定元素的全排列 ‎ 间接法 对于分类过多的问题，按正难则反，等价转化的方法 ‎ (2)解决有限制条件排列问题的策略 ‎①根据特殊元素(位置)优先安排进行分步，即先安排特殊元素或特殊位置．‎ ‎②根据特殊元素当选数量或特殊位置由谁来占进行分类．‎ ‎　由0，1，2，3，4，5这六个数字组成的无重复数字的自然数，‎ 求：(1)有多少个含有2，3，但它们不相邻的五位数？‎ ‎(2)有多少个数字1，2，3必须由大到小顺序排列的六位数？‎ ‎ (1)不考虑0在首位，0，1，4，5先排三个位置，则有A个，2，3去排四个空当，有A个，即有AA个；‎ 而0在首位时，有AA个，即有AA－AA＝252个含有2，3，但它们不相邻的五位数．‎ ‎(2)在六个位置先排0，4，5，不考虑0在首位，‎ 则有A个，去掉0在首位，‎ 即有A－A个，0，4，5三个元素排在六个位置上留下了三个空位，1，2，3必须由大到小进入相应位置，并不能自由排列，‎ 所以有A－A＝100个六位数．‎ ‎　组合应用题 ‎　 要从5名女生，7名男生中选出5名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选法？‎ ‎(1)至少有1名女生入选；‎ ‎(2)男生甲和女生乙入选；‎ ‎(3)男生甲、女生乙至少有一个人入选．‎ ‎【解】　(1)法一：至少有1名女生入选包括以下几种情况：‎ ‎1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，5女．‎ 由分类加法计数原理知总选法数为 CC＋CC＋CC＋CC＋C＝771(种)．‎ 法二：“至少有1名女生入选”的反面是“全是男代表”，可用间接法求解．从12人中任选5人有C种选法，其中全是男代表的选法有C种．所以“至少有1名女生入选”的选法有C－C＝771(种)．‎ ‎(2)男生甲和女生乙入选，即只要再从除男生甲和女生乙外的10人中任选3名即可，共有CC＝120种选法．‎ ‎(3)间接法：“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的反面是“两人都不入选”，即从其余10人中任选5人有C种选法，所以“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的选法数为C－C＝540(种)．‎ ‎ 在本例条件下，求至多有2名女生入选的选法种数．‎ ‎ 至多有2名女生入选包括以下几种情况：‎ ‎0女5男，1女4男，2女3男，‎ 由分类加法计数原理知总选法数为 C＋CC＋CC＝546(种)．‎ 含有附加条件的组合问题的解法 ‎(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．‎ ‎(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间接法求解．　 ‎ ‎　甲、乙两人从4门课程中各选修2门，‎ 求：(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？‎ ‎(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？‎ ‎ (1)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，且甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法种数共有CCC＝24(种)．‎ ‎(2)甲、乙两人从4门课程中各选两门不同的选法种数为CC，又甲、乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为C种，因此满足条件的不同选法种数为CC－C＝30(种)．‎ ‎　排列、组合的综合应用(高频考点)‎ 排列与组合是高考命题的一个热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题多为中档题．‎ 高考对此问题的考查主要有以下三个命题角度：‎ ‎(1)相邻、相间问题；‎ ‎(2)分组、分配问题；‎ ‎(3)特殊元素(位置)问题．‎ ‎　(1)(2016·高考四川卷)用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为(　　)‎ A．24　　　　　　　　　　　 B．48 ‎ C．60 D．72‎ ‎(2)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，‎ 则不同的摆法有________种．‎ ‎【解析】　(1)由题意，可知个位可以从1，3，5中任选一个，有A种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列，有A种方法，所以奇数的个数为AA＝3×4×3×2×1＝72，故选D．‎ ‎(2)将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有AA种方法，将产品A，B，C捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有AA种方法．于是符合题意的排法共有AA－AA＝36(种)．‎ ‎【答案】　(1)D　(2)36‎ 解排列、组合问题要遵循的两个原则 ‎(1)按元素(或位置)的性质进行分类；‎ ‎(2)按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列、组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素( 或位置)．　 ‎ ‎ 角度一、三　相邻、相间及特殊元素(位置)问题 ‎1．(2017·湖北黄冈3月质检)在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为________．‎ ‎ 不相邻问题插空法.2位男生不能连续出场的排法共有N1＝A×A＝72种，女生甲排第一个且2位男生不连续出场的排法共有N2＝A×A＝12种，所以出场顺序的排法种数为N＝N1－N2＝60.‎ ‎　60‎ ‎ 角度二　分组、分配问题 ‎2．(2017·福建厦门海沧实验中学等联考)将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法有(　　)‎ A．240种　　 B．180种 C．150种 D．540种 ‎　C　 5名学生可分成2，2，1和3，1，1两种形式，‎ 当5名学生分成2，2，1时，共有CCA＝90种方法，‎ 当5名学生分成3，1，1时，共有CA＝60种方法，‎ 根据分类加法计数原理知共有90＋60＝150种保送方法．‎ ‎——分类讨论思想求解排列、组合问题 ‎　在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．‎ ‎【解析】　把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C种分法，再分给4人有CA种分法，所以不同获奖情况种数为A＋CA＝24＋36＝60.‎ ‎【答案】　60‎ ‎　对于有附加条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质分类，二是按事件发生的过程分类．本题是按元素的性质分成两类．‎ ‎　1.(2017·云南昆明两区七校模拟)某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教(每地1名教师)，其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有(　　)‎ A．900种　　 B．600种 C．300种 D．150种 ‎　B　 依题意，就甲是否去支教进行分类计数：第一类，甲去支教，则乙不去支教，且丙也去支教，则满足题意的选派方案有C·A＝240种；第二类，甲不去支教，且丙也不去支教，则满足题意的选派方案有A＝360种．因此，满足题意的选派方案共有240＋360＝600种，选B．‎ ‎2．(2017·郑州检测)从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有(　　)‎ A．51个　　 B．54个 C．12个 D．45个 ‎　A　 分三类：第一类，没有2，3，由其他三个数字组成三位数，有A＝6(个)；第二类，只有2或3，需从1，4，5中选两个数字，可组成2CA＝36(个)；第三类，2，3均有，再从1‎ ‎，4，5中选一个，因为2需排在3的前面，所以可组成CA＝9(个)．故这样的三位数共有51个，故选A.‎ ‎1．不等式A＜6×A的解集为(　　)‎ A．　　　　　　　　　 B．‎ C．(7，12) D．{8}‎ ‎　D　 由题意得＜6×，所以x2－19x＋84＜0，解得7＜x＜12.又x≤8，x－2≥0，所以7＜x≤8，x∈N*，即x＝8.‎ ‎2．从1，3，5中取两个数，从2，4中取一个数，可以组成没有重复数字的三位数，则在这些三位数中，奇数的个数为(　　)‎ A．12　　 B．18‎ C．24 D．36‎ ‎　C　 从1，3，5中取两个数有C种方法，从2，4中取一个数有C种方法，而奇数只能从1，3，5取出的两个数之一作为个位数，故奇数的个数为CCAA＝3×2×2×2×1＝24.‎ ‎3．(2017·武汉市调研测试)“2016中国杭州G20峰会”于2016年9月4日－9月5日在浙江省杭州市举行，组委会要从小郑、小赵、小李、小汤、小王五名工作人员中选派四人分别从事翻译、保卫、礼仪、司机四项不同的工作，若其中小郑和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有(　　)‎ A．48种　　 B．36种 C．18种 D．12种 ‎　B　 先安排后两项工作，共有A种方案，再安排前两项工作，共有A种方案，故不同的选派方案共有A×A＝36种方案，故选B．‎ ‎4．(2017·黑龙江哈尔滨第六中学期末)某中学高一学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现从中任选3人，要求这三人不能全是同一个班的学生，且在三班至多选1人，则不同选法的种数为(　　)‎ A．484　　 B．472‎ C．252 D．232‎ ‎　B　 若三班有1人入选，则另两人从三班以外的12人中选取，共有CC＝264种选法．若三班没有人入选，则要从三班以外的12人中选3人，又这3人不能全来自同一个班，故有C－3C＝208种选法．故总共有264＋208＝472种不同的选法．‎ ‎5．有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有(　　)‎ A．1 260种　　 B．2 025种 C．2 520种 D．5 040种 ‎　C　 第一步，从10人中选派2人承担任务甲，有C种选派方法；第二步，从余下的8人中选派1人承担任务乙，有C种选派方法；第三步，再从余下的7人中选派1人承担任务丙，有C种选派方法．根据分步乘法计数原理知，选法有C·C·C＝2 520种．‎ ‎6．(2017·福建漳州八校第二次联考)若无重复数字的三位数满足条件：①个位数字与十位数字之和为奇数，②所有数位上的数字和为偶数，则这样的三位数的个数是(　　)‎ A．540　　 B．480‎ C．360 D．200‎ ‎　D　 由个位数字与十位数字之和为奇数知个位数字、十位数字1奇1偶，有CCA＝50种排法；所有数位上的数字和为偶数，则百位数字是奇数，有C＝4种满足题意的选法，故满足题意的三位数共有C×CCA＝200(个)．‎ ‎7．在∠AOB的OA边上取m个点，在OB边上取n个点(均除O点外)，连同O点共m＋n＋1个点，现任取其中3个点为顶点作三角形，可作的三角形的个数为(　　)‎ A．CC＋CC　　 B．CC＋CC C．CC＋CC＋CC D．CC＋CC ‎　C　 作出的三角形可以分成两类，一类是含有O点的，另一类是不含O点的．(1)含有O点的，则在OA，OB上各取1个点，共有CC个；(2)不含有O点的，则在OA上取一点，OB上取两点，或者在OA上取两点，OB上取一点，共有CC＋CC个．所以可作的三角形个数为CC＋CC＋CC，故选C.‎ ‎8．(2017·北京朝阳期末)甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，且甲同学不与老师相邻，则不同的站法种数为________．‎ ‎ 特殊元素优先安排，先让老师站在正中间，甲同学从两端中任选一个位置，有N1＝C·C＝2种站法，其余三名学生任意排列有N2＝A＝6种排法，则不同站法共有N＝N1×N2＝2×6＝12(种)．‎ ‎ 12‎ ‎9．(2017·长春市质量检测(二))小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出3瓶或4瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有________种．‎ ‎ 由题可知，取出酒瓶的方式有3类，第一类：取6次，每次取出4瓶，只有1种方式；第二类：取8次，每次取出3瓶，只有1种方式；第三类：取7次，3次4瓶和4次3瓶，取法为C，为35种，共计37种取法．‎ ‎ 37‎ ‎10．用1，2，3，4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为________．‎ ‎ 首先排两个奇数1，3，有A种排法，再在2，4中取一个数放在1，3之间，有C种方法，然后把这3个数作为一个整体与剩下的另一个偶数全排列，有A种排法，即满足条件的四位数的个数为ACA＝8.‎ ‎ 8‎ ‎11．“雾霾治理”“延迟退休”“里约奥运”“量子卫星”“神舟十一号”成为现在社会关注的5个热点．小王想利用暑假时间调查一下社会公众对这些热点的关注度．若小王准备按照顺序分别调查其中的4个热点，则“量子卫星”作为其中的一个调查热点，但不作为第一个调查热点的种数为________．‎ ‎ 先从“雾霾治理”“延迟退休”“里约奥运”“神舟十一号”这4个热点中选出3个，有C种不同的选法，在调查时，“量子卫星”安排的顺序有A种可能情况，其余3个热点安排的顺序有A种可能情况，故有CAA＝72种．‎ ‎ 72‎ ‎12．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有________对．‎ ‎ 利用正方体中两个独立的正四面体解题，如图．它们的棱是原正方体的12条面对角线．‎ 一个正四面体中两条棱成60°角的有(C－3)对，两个正四面体有(C－3)×2对．又正方体的面对角线中平行成对，所以共有(C－3)×2×2＝48对．‎ ‎ 48‎ ‎13．现有男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？‎ ‎(1)男运动员3名，女运动员2名；‎ ‎(2)至少有1名女运动员；‎ ‎(3)既要有队长，又要有女运动员．‎ ‎ (1)任选3名男运动员，方法数为C，再选2名女运动员，方法数为C，共有C·C＝120种方法．‎ ‎(2)法一：至少有1名女运动员包括以下几种情况：‎ ‎1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，‎ 由分类加法计数原理可得总选法数为 CC＋CC＋CC＋CC＝246(种)．‎ 法二：“至少有1名女运动员”的反面是“全是男运动员”，因此用间接法求解，不同选法有C－C＝246(种)．‎ ‎(3)当有女队长时，其他人任意选，共有C种选法，不选女队长时，必选男队长，其他人任意选，共有C种选法，其中不含女运动员的选法有C种，所以不选女队长时共有(C－C)种选法．‎ 所以既有队长又有女运动员的选法共有C＋C－C＝191(种)．‎