【数学】2019届一轮复习北师大版不等式、推理与证明学案
1．已知a=21.2，b=（）–0.8，c=2log52，则a，b，c的大小关系为
A．c
2，b=（）–0.8=20.8<21=2，且b>1，c=log54b，则下列不等式一定成立的是
A．a2–b2>0 B．cosa–cosb>0
C． D．e–a–e–b<0
【答案】D
两个实数比较大小的方法
（1）作差法，其步骤为：
作差⇒变形⇒定号（确定正负号，即判断差与0的大小）⇒得出结论．
含根号的式子作差时一般先乘方再作差．
（2）作商法，其步骤为：作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论．
（3）构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小．
（4）赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论．
3．若a，b，c为实数，且aab>b2
【答案】D
4．若ab2
【答案】B
【解析】A，aa–b>a，则两边同除以a（a–b）可得，故B错误，C，根据幂函数的单调性可知，C正确，D，ab2，故D正确，故选B．学
不等式的性质
1．（1）a>b，ab>0⇒<；（2）a<0b>0，d>c>0⇒>．
2．若a>b>0，m>0，则
（1）<；>（b–m>0）；（2）>；<（b–m>0）．
5．求下列不等式的解集：
（1）–x2+8x–3>0；
（2）ax2–（a+1）x+1<0．
【答案】（1）{x|4–0，
所以方程–x2+8x–3=0有两个不相等的实根：x1=4–，x2=4+．
又二次函数y=–x2+8x–3的图象开口向下，
所以原不等式的解集为{x|4–b的解：
（1）当a>0时，x>．
（2）当a<0时，x<．
（3）当a=0时，若b≥0，则无解；若b<0，则x∈R．
2．一元二次不等式的解法
（1）对于常系数一元二次不等式，可以用分解因式法或判别式法求解．
（2）解含参数的一元二次不等式的步骤
①若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．
②判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．
③确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集．
（3）三个“二次”间的关系
Δ=b2–4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
y=ax2+bx+c
（a>0）的图象
ax2+bx+c=0
（a>0）的根
有两个相异的实数
根x1，x2（x10
（a>0）的解集
{x|xx2}
{x|x≠–}
R
ax2+bx+c<0
（a>0）的解集
{x|x10⇔f（x）g（x）>0；（2）<0⇔f（x）g（x）<0；
（3）≥0⇔ （4）≤0⇔
4．高次不等式的解法（穿针引线法）：
设，解不等式（或）时，将方程的根从小到大依次标到数轴上，作为针眼．用一根线，从数轴的右上方开始穿针引线，每见到一个针眼，便穿过数轴一次，直到穿过全部针眼．数轴上方的部分为正，即为不等式的解；数轴下方的部分为负，即为不等式的解．学
注意：
（1）要求的最高次项系数为正；（即：每一个的系数为正，且，若，则不等式两边同时乘以，并改变不等号的方向）
（2）二重根时，按两个针眼对待，即穿过数轴两次；（奇过偶不过）
（3），；
，；
（或）；
（4），当时，的符号是确定的；
（5）永远从数轴右上方开始；
（6）最后结果数轴上方的部分为不等式的解，数轴下方的部分为不等式的解；
（7）不等式右边须为0，否则先移项，使右边为0；
（8）穿针引线法可以用于解高次不等式，也可以用于解一次、二次不等式，或可以转化为高次不等式的分式不等式等．
6．已知x，y满足不等式组，则x–2y的最大值为
A．6 B．2 C．–1 D．–2
【答案】C
线性规划的目标函数主要有三种形式：
（1）截距式：，主要根据目标函数对应的直线的纵截距判断最值；
（2）斜率式：，主要根据可行域内的点与定点的连线的斜率判断最值；
（3）距离式：，主要根据可行域内的点与定点的距离的平方判断最值．
7．已知正实数x，y满足2x+y=1，则xy的最大值为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵正实数x，y满足2x+y=1，则1，化为：xy≤，当且仅当2x=y=时取等号．∴xy的最大值为．故选A．学 .
均值不等式：，（，），当且仅当时等号成立．
使用均值不等式，注意一正二定三相等的条件；求最值时，要注明等号成立条件．
8．根据给出的数塔猜测123456×9+7=
1×9+2=11
12×9+3=111
123×9+4=1111
1234×9+5=11111
12345×9+6=111111
…
A．1111110 B．1111111 C．1111112 D．1111113
【答案】B
9．下列表述正确的是
①归纳推理是由特殊到一般的推理；
②演绎推理是由一般到特殊的推理；
③类比推理是由特殊到一般的推理；
④分析法是一种间接证明法．
A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②
【答案】D
归纳推理
类比推理
定义
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象．也具有这些特征的推理．
特点
由部分到整体，由个别到一般的推理．
由特殊到特殊的推理
一般
步骤
（1）通过观察个别对象发现某些相同性质；
（2）从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题（猜想）．
（1）找出两类对象之间的相似性或一致性；
（2）用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，得出一个明确的命题（猜想）．
1．已知首项与公比相等的等比数列{an}中，若m，n∈N*，满足ama=a，则的最小值为
A．1 B．
C．2 D．
【答案】A
数列与不等式的交汇问题．解决此类问题要熟记数列的公式，结合均值不等式，要注意均值不等式成立的条件：一正二定三相等．
2．当时，8x1，0log2018b B．logba（a–c）ab D．（c–b）ac>（c–b）ab
2．已知a>0，b>0，且a+2b=8，那么ab的最大值等于
A．4 B．8 C．16 D．32
3．方程x2–2ax+1=0的两根分别在（0，1）与（1，2）内，则实数a的取值范围为
A．11 C．–11的解集为
A．（1，2） B． C． D．[2，+∞）
7．若a>0，b>0，lga+lgb=lg（a+b），则a+b的最小值为
A．8 B．6 C．4 D．2
8．已知变量x，y满足约束条件，则目标函数 =x+y的最大值为
A．12 B． C． D．2
9．已知点P（x，y）的坐标满足条件，且点P在直线3x+y–m=0上．则m的取值范围是
A．[–9，9] B．[–8，9] C．[–8，10] D．[9，10]
10．设，则
A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>b>a
11．设正实数a，b，c满足a2–3ab+4b2–c=0，则当取得最大值时，最大值为
A．0 B．1 C． D．3
12．设a>b>0，cbd B． C． D．ac2（）3（x–1）的解集为__________．
20．已知a，b，c为正实数，且，则的最小值为__________．
21．已知实数x,y满足约束条件,则的取值范围是__________．
1．【答案】C
【解析】根据对数函数的单调性可得log2018a>log2018b正确，logba1，00，∴（a–c）ac<（a–c）ab，故C不正确，∵c–b<0，∴（c–b）ac>（c–b）ab正确，故选C．
2．【答案】B
【解析】a>0，b>0，且a+2b=8，则ab=a•2b≤（）2=×16=8，当且仅当a=2b=4，取得等号．则ab的最大值为8．故选B．
4．【答案】D
【解析】∵关于x的不等式x2–（a+1）x+a<0，∴不等式可能为（x–1）（x–a）<0，当a>1时得11，即①，或②，解①求得11，即c>b>a，故选D．
11．【答案】B
【解析】正实数a，b，c满足a2–3ab+4b2–c=0，可得c=a2–3ab+4b2，，由+≥2=4，当且仅当a=2b取得等号，则a=2b时，取得最大值，且c=2b2，=–（–1）2+1，当b=1时，取得最大值，且为1．故选B．学*
12．【答案】B
【解析】a>b>0，c–d>0，即有–ac>–bd>0，即ac0，可得，则B对，C错；由–c>–d>0，–ac>–bd>0，可得ac2>bd2，则D错．故选B．
13．【答案】A
【解析】根据题意，由圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦，想到球心与截面圆（不经过球心的小截面圆）圆心的连线垂直于截面，用的推理方法是类比推理．故选A．
15．【答案】D
【解析】在由平面几何的性质类比推理空间立体几何性质时，我们常用的思路是：由平面几何中点的性质，类比推理空间几何中线的性质；由平面几何中线的性质，类比推理空间几何中面的性质；由平面几何中面的性质，类比推理空间几何中体的性质；或是将一个二维平面关系，类比推理为一个三维的立体关系，故类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，推断：①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．都是恰当的．故选D．
16．【答案】D
【解析】由①甲不在看书，也不在写信及④丙不在看书，也不在写信，知当甲在听音乐时，丙在玩游戏；因为②乙不在写信，也不在听音乐，所以乙在看书；从而丁在写信．
可列表如下：
当甲在听音乐时，则乙在看书，如表1；
看书
写信
听音乐
玩游戏
甲
×
×
△
乙
△
×
×
丙
×
×
△
丁
△
由①甲不在看书，也不在写信及④丙不在看书，也不在写信，知当甲在玩游戏时，丙在听音乐；因为②乙不在写信，也不在听音乐，所以乙在看书；从而丁在写信．学
可列表如下：
当甲玩游戏时，则乙在看书，如表2．
看书
写信
听音乐
玩游戏
甲
×
×
△
乙
△
×
×
丙
×
×
△
丁
△
故选D．
17．【答案】C
【解析】假设甲说的是真话，即丙被录用，则乙说的是假话，丙说的是假话，不成立；假设甲说的是假话，即丙没有被录用，则丙说的是真话，若乙说的是真话，即甲被录用，成立，故甲被录用；若乙被录用，则甲和乙的说法都错误，不成立．故选C．
19．【答案】（–∞，–2）∪（3，+∞）
【解析】不等式2>（）3（x–1）化为2>23–3x，即x2–4x–3>3–3x，∴x2–x–6>0，解得x<–2或x>3，∴原不等式的解集为（–∞，–2）∪（3，+∞）．故答案为：（–∞，–2）∪（3，+∞）．
20．【答案】2
【解析】因为a，b，c为正实数，且，所以，所以
（当且仅当取“=”），所以的最小值为2．
21．【答案】
