2020年高中数学新教材同步必修第一册 第4章 4.5.2 用二分法求方程的近似解

2020年高中数学新教材同步必修第一册 第4章 4.5.2 用二分法求方程的近似解

4.5.2 用二分法求方程的近似解 学习目标 1.了解二分法的原理及其适用条件.2.掌握二分法的实施步骤.3.体会二分法中蕴 含的逐步逼近与程序化思想． 知识点一 二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且 f(a)·f(b)<0 的函数 y＝f(x)，通过不断地把函数 f(x)的零点 所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二 分法． 由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解． 思考 已知函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，采用什么方法能进一步有效缩小零点所在的 区间？ 答案 可采用“取中点”的方法逐步缩小零点所在的区间． 知识点二 用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤 1．确定零点 x0 的初始区间[a，b]，验证 f(a)·f(b)<0. 2．求区间(a，b)的中点 c. 3．计算 f(c)，并进一步确定零点所在的区间： (1)若 f(c)＝0(此时 x0＝c)，则 c 就是函数的零点； (2)若 f(a)·f(c)<0(此时 x0∈(a，c))，则令 b＝c； (3)若 f(c)·f(b)<0(此时 x0∈(c，b))，则令 a＝c. 4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值 a(或 b)；否则重复步骤(2)～(4)． 以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间； 周而复始怎么办？精确度上来判断． 1．如果函数零点两侧函数值同号，不适合用二分法求此零点近似值．( √ ) 2．要用二分法，必须先确定零点所在区间．( √ ) 3．用二分法最后一定能求出函数零点．( × ) 4．达到精确度后，所得区间内任一数均可视为零点的近似值．( √ ) 一、二分法概念的理解 例 1 以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是( ) 考点 二分法的概念 题点 判断是否能用二分法求解零点 答案 C 解析 使用二分法必先找到零点所在区间[a，b]，且 f(a)·f(b)<0，但 C 中找不到这样的区间． 反思感悟 运用二分法求函数的零点应具备的条件 (1)函数图象在零点附近连续不断． (2)在该零点左右函数值异号． 只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点． 跟踪训练 1 已知函数 f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为 ( ) A．4,4 B．3,4 C．5,4 D．4,3 答案 D 解析 图象与 x 轴有 4 个交点，所以零点的个数为 4；左右函数值异号的零点有 3 个，所以 可以用二分法求解的个数为 3，故选 D. 二、用二分法求方程的近似解 例 2 (1)在用二分法求函数 f(x)零点近似值时，第一次取的区间是(－2,4)，则第三次所取的区 间可能是( ) A．(1,4) B．(－2,1) C．(－2,2.5) D．(－0.5,1) 答案 D 解析 因为第一次所取的区间是(－2,4)，所以第二次所取的区间可能是(－2,1)，(1,4)，第三 次所取的区间可能为(－2，－0.5)，(－0.5,1)，(1,2.5)，(2.5,4)，故选 D. (2)用二分法求方程 2x3＋3x－3＝0 的一个正实数近似解．(精确度 0.1) 解 令 f(x)＝2x3＋3x－3， 经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0， 所以函数 f(x)在(0,1)内存在零点， 即方程 2x3＋3x－3＝0 在(0,1)内有解． 取(0,1)的中点 0.5，经计算 f(0.5)<0， 又 f(1)>0， 所以方程 2x3＋3x－3＝0 在(0.5,1)内有解． 如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表： (a，b) 中点 c f(a) f(b) f a＋b 2 (0,1) 0.5 f(0)<0 f(1)>0 f(0.5)<0 (0.5,1) 0.75 f(0.5)<0 f(1)>0 f(0.75)>0 (0.5,0.75) 0.625 f(0.5)<0 f(0.75)>0 f(0.625)<0 (0.625,0.75) 0.687 5 f(0.625)<0 f(0.75)>0 f(0.687 5)<0 (0.687 5,0.75) |0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1 由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1， 所以 0.75 可作为方程的一个正实数近似解． 反思感悟 利用二分法求方程的近似解的步骤 (1)构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间(n，n＋1)，n∈Z. (2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间 M. (3)区间 M 内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间 M 的一个端点． 跟踪训练 2 (1)用二分法求方程 2x＋3x－7＝0 在区间[1,3]内的根，取区间的中点为 x0＝2， 那么下一个有根的区间是________． 答案 (1,2) 解析 设 f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝2＋3－7＝－2<0，f(3)＝10>0，f(2)＝3>0，f(x)零点所在的区 间为(1,2)，所以方程 2x＋3x－7＝0 下一个有根的区间是(1,2)． (2)用二分法求函数 f(x)＝x3－3 的正零点．(精确度 0.02) 考点 用二分法求函数零点的近似值 题点 用二分法求方程的近似解 解 由于 f(0)＝－3<0， f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0， 故可取区间(1,2)作为计算的初始区间． 用二分法逐次计算，列表如下： 区间 中点的值 中点函数值(或近似值) (1,2) 1.5 0.375 (1,1.5) 1.25 －1.047 (1.25,1.5) 1.375 －0.400 (1.375,1.5) 1.437 5 －0.030 (1.437 5,1.5) 1.468 75 0.168 (1.437 5,1.468 75) 1.453 125 0.068 (1.437 5,1.453 125) 因为|1.453 125－1.437 5|＝0.015 625<0.02， 所以函数 f(x)＝x3－3 的零点的近似值可取为 1.437 5. 1．下列函数中，必须用二分法求其零点的是( ) A．y＝x＋7 B．y＝5x－1 C．y＝log3x D．y＝ 1 2 x－x 答案 D 解析 A，B，C 项均可用解方程求其根，D 项不能用解方程求其根，只能用二分法求零点． 2．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是( ) 考点 二分法的概念 题点 判断是否能用二分法求解零点 答案 A 3．用二分法求函数 f(x)＝x3＋5 的零点可以取的初始区间是( ) A．[－2，－1] B．[－1,0] C．[0,1] D．[1,2] 答案 A 4．在用二分法求函数 f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则 函数的一个精确度为 0.1 的正实数零点的近似值为( ) A．0.6 B．0.75 C．0.7 D．0.8 答案 C 解析 已知 f(0.64)<0，f(0.72)>0， 则函数 f(x)的零点的初始区间为[0.64,0.72]． 又 0.68＝0.64＋0.72 2 ，且 f(0.68)<0， 所以零点在区间(0.68,0.72)上， 因为|0.68－0.72|＝0.04<0.1， 因此所求函数的一个正实数零点的近似值可为 0.7， 故选 C. 5．用二分法求函数 y＝f(x)在区间(2,4)上的唯一零点的近似值时，验证 f(2)·f(4)<0，取区间(2,4) 的中点 x1＝2＋4 2 ＝3，计算得 f(2)·f(x1)<0，则此时零点 x0 所在的区间是________． 考点 用二分法求函数零点的近似值 题点 用二分法判断函数零点所在的区间 答案 (2,3) 1．知识清单： (1)二分法的定义． (2)利用二分法求函数的零点、方程的近似解． 2．方法归纳： (1)化归思想：把求方程 f(x)＝0 的近似解转化为求函数 y＝f(x)的近似零点． (2)逼近思想：二分法是求函数零点的一种常用方法，是“逐步逼近”的数学思想的应用． 3．常见误区：利用二分法并不适用于所有零点，只能求函数的变号零点． 1．用二分法求如图所示的函数 f(x)的零点时，不可能求出的零点是( ) A．x1 B．x2 C．x3 D．x4 答案 C 解析 能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续不断，且 f(a)f(b)<0.而 x3 两边 的函数值都小于零，不满足区间端点处函数值符号相异的条件，故选 C. 2．用二分法求函数 f(x)＝2x－3 的零点时，初始区间可选为( ) A．[－1,0] B．[0,1] C．[1,2] D．[2,3] 答案 C 解析 因为 f(－1)＝1 2 －3<0，f(0)＝1－3<0，f(1)＝2－3<0，f(2)＝4－3＝1>0，所以初始区间 可选为[1,2]． 3．用二分法求函数 f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为 0.001，则结束计算的条件是( ) A．|a－b|<0.1 B．|a－b|<0.001 C．|a－b|>0.001 D．|a－b|＝0.001 答案 B 解析 据二分法的步骤知当区间长度|b－a|小于精确度ε时，便可结束计算． 4．设 f(x)＝lg x＋x－3，用二分法求方程 lg x＋x－3＝0 在(2,3)内近似解的过程中得 f(2.25)<0， f(2.75)>0，f(2.5)<0，f(3)>0，则方程的根落在区间( ) A．(2,2.25) B．(2.25,2.5) C．(2.5,2.75) D．(2.75,3) 答案 C 解析 因为 f(2.5)<0，f(2.75)>0，由零点存在性定理知，方程的根在区间(2.5,2.75)，故选 C. 5．若函数 f(x)＝x3＋x2－2x－2 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如 下表： f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625 f(1.25)＝－0.984 f(1.375)＝－0.260 f(1.438)＝0.165 f(1.406 5)＝－0.052 那么方程 x3＋x2－2x－2＝0 的一个近似根(精确度 0.05)为( ) A．1.5 B．1.375 C．1.438 D．1.25 考点 用二分法求方程的近似解 题点 用二分法求方程的近似解 答案 C 解析 ∵f(1.406 5)<0，f(1.438)>0， ∴f(1.406 5)·f(1.438)<0， ∴该方程的根在区间(1.406 5,1.438)内， 又∵|1.406 5－1.438|＝0.031 5<0.05， ∴方程的近似根可以是 1.438.故选 C. 6．用二分法求方程 x3－x2－1＝0 的一个近似解时，现在已经将一个实数根锁定在区间(1,2) 内，则下一步可断定该实数根所在的区间为________． 考点 用二分法求函数零点的近似值 题点 用二分法判断函数零点所在的区间 答案 1，3 2 解析 令 f(x)＝x3－x2－1，则 f(1)＝－1<0，f(2)＝3>0，f 3 2 ＝1 8>0，所以 f 3 2 f(1)<0， 故可断定该实数根所在的区间为 1，3 2 . 7．函数 f(x)＝x2＋ax＋b 有零点，但不能用二分法求出，则 a，b 的关系是________． 答案 a2＝4b 解析 ∵函数 f(x)＝x2＋ax＋b 有零点，但不能用二分法， ∴函数 f(x)＝x2＋ax＋b 图象与 x 轴相切． ∴Δ＝a2－4b＝0，∴a2＝4b. 8．用二分法求函数 f(x)＝3x－x－4 的一个零点，其参考数据如下： f(1.600 0)≈0.200 f(1.587 5)≈0.133 f(1.575 0)≈0.067 f(1.562 5)≈0.003 f(1.556 2)≈－0.029 f(1.550 0)≈－0.060 据此数据，可得方程 3x－x－4＝0 的一个近似解(精确度 0.01)为________． 答案 1.562 5 解析 由图表知，f(1.562 5)≈0.003>0，f(1.556 2)≈－0.029<0， ∴函数 f(x)＝3x－x－4 的一个零点在区间(1.556 2，1.562 5)上， 由于|1.556 2－1.562 5|＝0.006 3<0.01， 可得方程 3x－x－4＝0 的一个近似解可以是 1.562 5. 9．判断函数 f(x)＝2x3－1 的零点个数，并用二分法求零点的近似值．(精确度 0.1) 解 f(0)＝－1<0，f(1)＝1>0， 即 f(0)·f(1)<0，f(x)在(0,1)内有零点， 又 f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f(x)只有一个零点 x0∈(0,1)． 取区间(0,1)的中点 x1＝0.5， f(0.5)＝－0.75<0， ∴f(0.5)·f(1)<0，即 x0∈(0.5,1)． 取区间(0.5,1)的中点 x2＝0.75， f(0.75)＝－0.156 25<0， ∴f(0.75)·f(1)<0. 即 x0∈(0.75,1)． 取区间(0.75,1)的中点 x3＝0.875， f(0.875)≈0.34>0. ∴f(0.75)·f(0.875)<0， 即 x0∈(0.75,0.875)． 取区间(0.75,0.875)的中点 x4＝0.812 5， f(0.812 5)≈0.073>0. ∴f(0.75)·f(0.812 5)<0， 即 x0∈(0.75,0.812 5)， 而|0.812 5－0.75|<0.1. 所以 f(x)的零点的近似值可取为 0.75. 10．在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条 长 10 km 的线路，电线杆的间距为 100 m．如何迅速查出故障所在呢？ 解 如图所示， 首先从 AB 线路的中点 C 开始检查，当用随身带的话机向两端测试时，例如发现 AC 段正常， 判定故障在 BC 段；再到 BC 段中点 D 检查，这次发现 BD 段正常，可见故障出在 CD 段；再 到 CD 段中点 E 来检查……每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半．要把故障可能发生 的范围缩小到 100 m 之内，查 7 次就可以了． 11．已知函数 y＝f(x)在区间[a，b]上连续不断，并且在区间(a，b)内有唯一零点，当 a＝1.2， b＝1.4，精确度ε＝0.1 时，应将区间(a，b)等分的次数至少为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 考点 二分法的概念 题点 分析二分法计算的次数 答案 B 12．某方程有一无理根在区间 D＝(1,3)内，若用二分法，求此根的近似值，则将 D 至少等分 ________次后，所得近似值的精确度为 0.1. 答案 5 解析 由3－1 2n <0.1(n∈N*)，得 2n>20，n≥5，故至少等分 5 次． 13．某同学在借助计算器求“方程 lg x＝2－x 的近似解(精确度 0.1)”时，设 f(x)＝lg x＋x－2， 算得 f(1)<0，f(2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了 4 个 x 的值，计算了其函数值的 正负，并得出判断：方程的近似解是 x≈1.8.那么他再取的 x 的 4 个值依次是________． 答案 1.5,1.75,1.875,1.812 5 解析 第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，第三次得区间(1.75,1.875)， 第四次得区间(1.75,1.812 5)． 14．已知 f(x)＝1 x －ln x，在区间(n，n＋1)(n∈Z)上有一个零点 x0，则 n＝________.若用二分 法求 x0 的近似值(精确度 0.1)，则至少需要将区间等分________次． 答案 1 4 解析 f(x)＝1 x －ln x 在(0，＋∞)上为减函数， 又 f(1)＝1>0，f(2)＝1 2 －ln 2<0， ∴f(x)的零点 x0∈(1,2)，故 n＝1. 设至少需等分 n 次，则 1 2 n≤0.1 且 n∈N， 解得 n≥4，故至少需等分 4 次． 15．用二分法求方程 ln(2x＋6)＋2＝3x 的根的近似值时，令 f(x)＝ln(2x＋6)＋2－3x，并用计算 器得到下表： x 1.00 1.25 1.375 1.50 f(x) 1.079 4 0.191 8 －0.360 4 －0.998 9 则由表中的数据，可得方程 ln(2x＋6)＋2＝3x 的一个近似解(精确度为 0.1)为( ) A．1.125 B．1.312 5 C．1.437 5 D．1.468 75 答案 B 解析 因为 f(1.25)·f(1.375)<0，故根据二分法的思想，知函数 f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内， 但区间(1.25,1.375)的长度为 0.125>0.1，因此需要取(1.25,1.375)的中点 1.312 5，两个区间 (1.25,1.312 5)和(1.312 5，1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度 为 0.062 5<0.1，因此 1.312 5 是一个近似解，故选 B. 16．在 26 枚崭新的金币中，其中有一枚外表与它们完全相同的假币(质量不同，假币较轻)， 现在只有一台天平，请问：你最少称多少次能保证一定可以发现这枚假币？ 解 将 26 枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币在较轻的那 13 枚金币里面，将这 13 枚金币拿出 1 枚，将剩下的 12 枚平均分成两份，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚， 若不平衡，则假币一定在较轻的那 6 枚金币里面；将这 6 枚平均分成两份，则假币一定在较 轻的那 3 枚金币里面；将这 3 枚金币拿出 2 枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚即是假 币，若不平衡，则较轻的那一枚即是假币．综上可知，最少称 4 次能保证一定可以发现这枚 假币．