人教A数学必修一函数模型的应用实例精讲
3．2.2 函数模型的应用实例
[读教材·填要点]
函数模型的应用
(1)用已知的函数模型刻画实际问题；
(2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测，其基本过程如图所示：
[小问题·大思维]
1．在实际问题中常用的函数模型如下表所示，你能写出它们对应的解析式吗？
提示：
函数模型
解析式
正比例函数模型
f(x)＝(k为常数，k≠0)
一次函数模型
二次函数模型
f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)
对数函数模型
幂函数模型
提示：f(x)＝kx(k为常数，k≠0) 反比例函数模型
f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)
2．在利用上述函数模型解决问题时，函数的定义域除了使函数解析式有意义之外，还需注意什么？
提示：实际问题有意义．例如：“非负”，“取整”，“上、下限”等．
已知函数模型的应用题
[例1] 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线段表示．
(1)写出图1表示的市场售价与上市时间的函数关系式P＝f(t)，写出图2表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q＝g(t)；
(2)规定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？
(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天)
[自主解答] (1)由图1可得，市场售价与时间的函数关系为f(t)＝
由图2可得，种植成本与时间的函数关系为
g(t)＝(t－150)2＋100,0≤t≤300.
(2)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意，得h(t)＝
f(t)－g(t)，即
h(t)＝
当0≤t≤200时，配方整理，得
h(t)＝－(t－50)2＋100，
所以，当t＝50时，h(t)取得区间[0,200]上的最大值100；
当200
87.5可知，h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t＝50, 即从二月一日开始的第50天，上市的西红柿纯收益最大．
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求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：
图表中的第一步：，这一步应从审题开始，通过分析和抽象找出题设与结论的数学关系，进一步转化为函数问题来求解，即建立合理的数学模型，因此，这一步称之为数学转化；第二步：，这一步就是采用数学的方法，解决函数模型所表述的数学问题．因此，这一步称之为数学解决；第三步：，这一步就是将数学结论转化为实际问题的结论．
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1．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：
高峰时间段用电价格表
高峰月用电量(单位：千瓦时)
高峰电价(单位：元/千瓦时)
50及以下的部分
0.568
超过50至200的部分
0.598
超过200的部分
0.668
低谷时间段用电价格表
低谷月用电量(单位：千瓦时)
低谷电价(单位：元/千瓦时)
50及以下的部分
0.288
超过50至200的部分
0.318
超过200的部分
0.388
若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答)．
解析：高峰时间段200千瓦时的用电电费为：
50×0.568＋(200－50)×0.598＝118.1(元)；
低谷时间段100千瓦时的用电电费为：
50×0.288＋(100－50)×0.318＝30.3(元)．
合计：148.4(元)．
答案：148.4
指数函数、对数函数及幂函数模型
[例2] 某公司拟投资100万元，有两种获利的方式可选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年收回本金和利息；另一种是年利率9%，按复利计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？并求比另一种投资5年可多得利息多少元？
[解] 本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150万元．
本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈153.86万元．
由此可见，按年利率9%每年复利一次计算的要比年利率10%单利计算的更有利，5年后多得利息3.86万元．
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指数函数、对数函数的应用常与增长率相结合进行考查.在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N·(1＋p)x(其中N为原来的基础数，p为增长率，x为时间)的形式.另外，指数方程常利用对数进行计算，指数、对数在很多问题中可转化应用.
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2．20世纪70年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：M＝lgA－lgA0.其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅．
(1)假设在一次地震中，一个距离震中1 000千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.002，计算这次地震的震级．
(2)5级地震给人的震感已比较明显，我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？
解：(1)M＝lg A－lg A0＝lg＝lg＝4.
即这次地震的震级为4级．
(2)，
lg＝3，＝1 000.
即所求是1 000倍．
拟合函数模型的建立及应用
[例3] 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x cm与当年灌溉面积y hm2.现有连续10年的实测资料，如下表所示.
年序
最大积雪深度x/cm
灌溉面积y/hm2
1
15.2
28.6
2
10.4
21.1
3
21.2
40.5
4
18.6
36.6
5
26.4
49.8
6
23.4
45.0
7
13.5
29.2
8
16.7
34.1
9
24.0
45.8
10
19.1
36.9
(1)描点画出灌溉面积y hm2随积雪深度x cm变化的图象；
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y＝f(x)，并画出图象；
(3)根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？
[自主解答] (1)描点作图如图甲：
(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y
和最大积雪深度x满足线性函数模型y＝ax＋b.
取其中的两组数据(10.4,21.1)(24.0,45.8)，
代入y＝ax＋b，得
用计算器可算得a≈1.8，b≈2.4.
这样，我们得到一个函数模型y＝1.8x＋2.4.作出函数图象如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系．
(3)由y＝1.8×25＋2.4，求得y＝47.4，即当最大积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地47.4 hm2.
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对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题.函数拟合与预测的一般步骤是：
(1)根据原始数据，绘出散点图.
(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线.
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测，为决策和管理提供依据.
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3．某汽车公司曾在2013年初公告：2013年销量目标定为39.3万辆；且该公司董事长极力表示有信心完成这个销量目标．
2010年，某汽车年销量8万辆；
2011年，某汽车年销量18万辆；
2012年，某汽车年销量30万辆．
如果我们分别将2010,2011,2012,2013年定义为第一，二，三，四年，现在有两个函数模型：二次函数型f(x)＝
ax2＋bx＋c(a≠0)，指数函数型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b≠1，b>0)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与第x年的关系？
解：建立年销量y(万辆)与第x年的函数，可知函数图象必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)．
(1)构造二次函数型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
将点的坐标代入，可得解得
则f(x)＝x2＋7x，故f(4)＝44，与计划误差为4.7.
(2)构造指数函数型g(x)＝a·bx＋c，将点的坐标代入，
可得解得
则g(x)＝·()x－42，
故g(4)＝×()4－42＝44.4，与计划误差为5.1.
由上可得，f(x)＝x2＋7x模型能更好地反映该公司年销量y(万辆)与第x年的关系.
解题高手
妙解题
同样的结果，不一样的过程，节省解题时间，也是得分！
图(1)是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图(2)是凹槽的横截面(阴影部分)示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧Cm是半圆，曲边形ABCD的周长为4.已知凹槽的强度与横截面的面积成正比，比例系数为，设AB＝2x，BC＝y.
(1)写出y关于x的函数表达式，并指出x的取值范围；
(2)求当x取何值时，凹槽的强度最大．
[巧思] 凹槽的强度最大，即横截面的面积最大．只要将凹槽横截面的面积S表示成x的函数，然后求函数的最值即可解决．
[妙解] (1)易知半圆CmD的半径为x，故半圆CmD的弧长为πx，∴4＝2x＋2y＋πx，∴y＝.
依题意知：0.
∵＝＝≈10.4.
即x>10.4.
答案：B
3．令有一组实验数据如下表所示：
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
u
1.5
4.04
7.5
12
18.01
则能体现这些数据关系的函数模型是( )
A．u＝log2t B．u＝2t－2
C．u＝ D．u＝2t－2
解析：可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它．散点图如图所示．
由散点图可知，图象不是直线，排除选项D；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A；当t＝3时，2t－2＝23－2＝6，排除B，故选C.
答案：C
4．一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走，那么( )
A．人可在7秒内追上汽车
B．人可在10秒内追上汽车
C．人追不上汽车，其间距最少为5米
D．人追不上汽车，其间距最少为7米
解析：设汽车经过t秒行驶的路程为s米，则s＝t2，车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝t2－6t＋25＝(t－6)2＋7，当t＝6时，d取得最小值为7.
答案：D
二、填空题
5.对某种产品市场产销量情况如图所示，其中l1表示产品各年年产量的变化规律；l2表示产品各年的销量情况，下列叙述：
①产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原计划进行生产；
②产品出现了供大于求的情况，价格将趋跌；
③产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量．你认为较合理的叙述是________．
解析：由图可知，对相同的年份，年产量>销售量，即出现了供大于求的情况，库存积压越来越严重，因而②③正确，这种情况下不宜再按原计划生产，故①不正确．
答案：②③
6.如图，开始时桶1中有a
升水，如果桶1向桶2注水，桶1中剩余的水符合指数衰减曲线y1＝a·e－nt(n为常数，t为注水时间)，那么桶2中的水就是y2＝a－a·e－nt.如果由桶1向桶2中注水5分钟时，两桶中的水相等，那么经过________分钟桶1中的水只有.
解析：由于t＝5时两桶中的水相等，
所以a·e－n×5＝a－a·e－n×5，
所以(e－n)5＝，即e－n＝().
由条件可得a·e－nt＝，
即()＝()3，所以t＝15.
答案：15
7．某地2002年年底人口为500万，人均住房面积为6平方米，若该地区的人口年平均增长率为1%，要使2013年年底该地区人均住房面积至少为7平方米，平均每年新增住房面积至少为________万平方米(精确到1万平方米，参考数据：1.019≈1.093 7,1.0110≈1.104 6,1.0111≈1.115 7)．
解析：设平均每年新增住房面积为x万平方米，则
≥7，解得x≥82.27≈82.
答案：82
8.2011年1月29日广州日报：香港出现了第2宗甲型H1N1死亡病例．为了预防甲型H1N1流感，某学校教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比．药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝()t－a(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________；
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．
解析：(1)由图可设y＝kt(0≤t≤0.1)，把点(0.1,1)分别代入y＝kt和y＝()t－a，得k＝10，a＝0.1.
∴y＝
(2)由()t－0.1<0.25＝()得t>0.6.
答案：(1)y＝
(2)0.6
三、解答题
9．某学校准备购买一批电脑，在购买前进行的市场调查显示：在相同品牌、质量与售后服务的条件下，甲、乙两公司的报价都是每台6000元．甲公司的优惠条件是购买10台以上的，从第11台开始按报价的七折计算，乙公司的优惠条件是均按八五折计算．
(1)分别写出在两公司购买电脑的总费用y甲、y乙与购买台数x之间的函数关系式；
(2)根据购买的台数，你认为学校应选择哪家公司更合算？
解：(1)y甲＝
y乙＝5 100x(x∈N)，
(2)当x≤10时，显然y甲＞y乙；
当x＞10时，令y甲＞y乙，即4 200x＋18 000>5 100x，
解得：x＜20.
故当购买的台数不超过20台时，应选择乙公司，当购买台数超过20台时，应选择甲公司．
10．2013年，某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S与t之间的关系)．根据图象提供的信息解答下列问题：
(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润S(万元)与时间t(月)之间的函数关系式；
(2)求截止到第几月末公司累积利润可达到30万元；
(3)求第八个月公司所获利润是多少万元？
解：(1)由二次函数图象可知，设S与t的函数关系式为S＝at2＋bt＋c(a≠0)．
由题意，得或
或
无论哪个均可解得a＝，b＝－2，c＝0；
∴所求函数关系式为S＝t2－2t；
(2)把S＝30代入，得30＝t2－2t，
解得t1＝10，t2＝－6(舍去)，
∴截止到第10个月末公司累积利润可达到30万元；
(3)把t＝7代入，
得S＝×72－2×7＝＝10.5(万元)，
把t＝8代入，得S＝×82－2×8＝16(万元)．
则第八个月获得的利润为16－10.5＝5.5(万元)，
∴第8个月公司所获利润为5.5万元．
