辽宁省沈阳市2020届高三年级教学质量监测（三）数学（文科）试题 Word版含答案

辽宁省沈阳市2020届高三年级教学质量监测（三）数学（文科）试题 Word版含答案

‎2020年沈阳市高中三年级教学质量监测（三）‎ 数 学(文科)‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 注意事项：‎ 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域。‎ 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效。‎ 3. 考试结束后，考生将答题卡交回。‎ 第Ⅰ卷（选择题　共60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则 A． B． C． D．‎ ‎2．已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为 A． B． C． D．‎ ‎3．已知条件：，条件：，则是的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．已知函数（）的最小正周期为，则 A． B． C． D．‎ ‎5．已知抛物线上一点到其焦点的距离为，则 A． B． C． D．‎ ‎6．《九章算术》中介绍了一种“更相减损术”，用于求两个正整数的最大公约数，将该方法用算法流程图表示如下，若输入，，则输出的结果为 A．， B．， C．， D．，‎ ‎7．函数的图象大致为 ‎ ‎ A B C D ‎8．被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示为，则 A． B． C． D．‎ ‎9． 设为两个不重合的平面，能使成立的是 A．内有无数条直线与平行 B．内有两条相交直线与平行 C．内有无数个点到的距离相等 D．垂直于同一平面 ‎10．已知为的外接圆的圆心，且，则的值为 A． B． C． D．‎ ‎11．已知双曲线：（）的离心率为，为坐标原点，过右焦点的直线与的两条渐近线的交点分别为，且△为直角三角形，若，则的方程为 A． B． C． D． ‎ ‎12．已知函数，过点的直线与的图象有三个不同的交点，则直线斜率的取值范围为 A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题　共90分）‎ 本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23题为选考题，考生根据要求作答．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．某高校有10000名学生，其中女生3000名，男生7000名．为调查爱好体育运动是否与性别有关，用分层抽样的方法抽取120名学生，制成独立性检验的列表如下，则＿＿＿＿＿＿＿＿．（用数字作答）‎ ‎ ‎ 男 女 合计 爱好体育运动 ‎9‎ ‎####‎ 不爱好体育运动 ‎28‎ ‎####‎ 合计 ‎####‎ ‎####‎ ‎120‎ ‎14．已知某不规则几何体三视图如图，其中俯视图中的圆弧为圆周，则该几何体的侧面积为＿＿＿＿＿＿＿＿．‎ ‎15．过点作曲线（）的切线，则切点坐标为＿＿＿＿＿＿＿＿．‎ ‎16．在△中，角的对边分别为，设△的面积为，若，且，则＿＿＿＿＿＿＿＿．‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22-23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17．（本小题满分12分） 已知数列的前项和． （1）求数列的通项公式； （2）已知成等比数列，求值； （3）若，求数列的前项和． ‎ ‎18．（本小题满分12分） 某快餐连锁店，每天以每份5元的价格从总店购进早餐，然后以每份10元的价格出售，当天不能出售的早餐立即以1元的价格被总店回收进行环保处理．该快餐连锁店记录了100天早餐的销售量（单位：份），整理得下表：‎ 日销售量 ‎25‎ ‎30‎ ‎35‎ ‎40‎ ‎45‎ ‎50‎ 频数 ‎10‎ ‎16‎ ‎28‎ ‎24‎ ‎14‎ ‎8‎ 如果这个早餐店每天购入40份早餐，完成下列问题：‎ ‎（1）写出每天获得利润与销售早餐份数（）的函数关系式； （2）估计每天利润不低于150元的概率； （3）估计该快餐店每天的平均利润． ‎ ‎19．（本小题满分12分） 如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，． （1）证明：平面⊥平面； （2）若，，求三棱锥的体积． ‎ ‎20．（本小题满分12分） 已知椭圆，四点，，，中恰有三个点在椭圆上，左、右焦点分别为、． （1）求椭圆的方程； （2）过左焦点且不与坐标轴平行的直线交椭圆于、两点，若线段的垂直平分线交轴于点，求的最小值．‎ ‎21．（本小题满分12分） 已知函数． （1）讨论的单调区间与极值； （2）已知函数的图象与直线相交于，两点（），证明：．‎ ‎（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分．‎ ‎22．【选修4-4坐标系与参数方程】（本小题满分10分） 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． （1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程； （2）曲线上两点与点，求面积的最大值．‎ ‎23．【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分） 已知均为正数，设函数，． （1）若，求不等式的解集； （2）若函数的最大值为，证明：．‎ ‎2020年沈阳市高中三年级教学质量监测（三）‎ 数 学（文科）【答案与评分标准】‎ 第Ⅰ卷（选择题　共60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 答案 B D A A A D 题号 ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D C B A C B 第Ⅱ卷（非选择题　共90分）‎ ‎　　本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23题为选考题，考生根据要求作答．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13． 14．‎ ‎15． 16． ‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22-23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17．（本小题满分12分） 解：（1）当时，， ……2分 当时，，也满足， 故． ……4分 （2）∵，，成等比数列，， ……6分 ∴，∴， ∴． ……8分 （2）由（1）可得， ……10分 ∴． ……12分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 解：（1），即． ……4分 （2）根据（1）中函数关系完成统计表如下：‎ 日销售量 ‎25‎ ‎30‎ ‎35‎ ‎40‎ ‎45‎ ‎50‎ 频数 ‎10‎ ‎16‎ ‎28‎ ‎24‎ ‎14‎ ‎8‎ 获得利润 ‎65‎ ‎110‎ ‎155‎ ‎200‎ ‎200‎ ‎200‎ 所以获利不低于150元的概率为． ……8分 【如果不写出各销售量所获得的利润不给分】 （3）， 所以快餐店每天平均利润为元． ……12分 ‎19．（本小题满分12分） 解：（1）在长方体中， 因为平面，平面， 所以，　　　　　　　　　　　　　……2分 又，， 且平面，平面， 所以平面； ……4分 又因为平面， 所以平面平面． ……6分 （2）设长方体侧棱长为，则， 由（1）可得；所以，即， 又，所以，解得． ……8分 取中点，连结，因为，则， 所以平面， ……9分 所以四棱锥的体积为 ． ……12分 ‎20．（本小题满分12分） 解：（1）易知，关于轴对称，一定都在椭圆上． 所以一定不在椭圆上．根据题意也在椭圆上． ……2分 ‎ 将，带入椭圆方程，解得椭圆方程为．……4分 （II）设直线方程为（），，，的中点为． 联立，可得． 则，， ……6分 所以，， 坐标为， ． ……8分 垂直平分线方程为：， 令，求得，则， ……10分 所以． 因此，当，即时，最小值为． ……12分 ‎21．（本小题满分12分） 解：（1）， ……1分 ①当时，，此时在上单调递增，无极值； ②当时，由，得． 所以时，，单调递减； ‎ 时，，单调递增． ……3分 此时函数有极小值为，无极大值． ……4分 （2）方法一： 由题设可得，所以， ……5分 且由（1）可知，，． 由，可知，所以． 设（），由，得， 所以， 即， 所以， ……6分 ． 设（）， ……8分 则， 设，则，所以． 所以在单调递减，． ……10分 所以在单调递减，． ……11分 所以． ……12分 方法二： 由题设可得，所以， ……5分 且由（1）可知，，． 由，可知，所以． ‎ 由，得， ……6分 作差得 设（），由，得， 所以，即， 所以， ……8分 ． 设（）， ……9分 则． 所以在单调递增，． ……11分 所以． ……12分 ‎（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分．‎ ‎22．【选修4-4坐标系与参数方程】（本小题满分10分） 解：（1）设的极坐标为（），的极坐标为（）． 　 ……1分 由题设知，． 由， ……3分 得， 所以的极坐标方程（）， 因此的直角坐标方程为（）． ……5分 （2）依题意：，． ……6分 于是△面积： ‎ ‎　　　　　　　　　　． ……８分 当时，取得最大值． ……9分 所以△面积的最大值为． ……10分 ‎23．【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分） 解：（1）当时，不等式化为，……1分 当时，原不等式化为，解集为； 当时，原不等式化为，解得； 当时，原不等式化为，解得． ……4分 ∴不等式的解集为． ……5分 （2）因为， 又因为，所以． ……6分 方法一： ， ……9分 当且仅当，即 即等号成立． ……10分 方法二： ， ……9分 ‎ 当且仅当，即等号成立． ……10分