辽宁省沈阳市东北育才学校2020届高三上学期10月月考数学（理）试题

辽宁省沈阳市东北育才学校2020届高三上学期10月月考数学（理）试题

高中部2020届高三第一次模拟考试试题(理科数学）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. ‎ ‎1.若集合，且，则集合可能是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由知，故选 考点：集合的交集．‎ ‎2.复数（为虚数单位），则复数的共轭复数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：,所以复数的共轭复数为,故选B.‎ 考点：复数的运算与相关概念.‎ ‎3.下列函数中，最小值为4的是（ ）‎ A. B. ‎ C. （） D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于A可以直接利用基本不等式求解即可；对于B根据基本不等式成立的条件满足时，运用基本不等式即可求出最小值; 对于C最小值取4时sinx=2，这不可能；对于D，取特殊值x=﹣1时，y=﹣5显然最小值不是4.‎ ‎【详解】A y=log3x+4logx3，当log3x＞0，logx3＞0，∴y=log3x+4logx3≥4，此时x=9，当log3x＜0，logx3＜0故不正确；‎ B y=ex+4e﹣x≥4，当且仅当x=ln2时等号成立．正确.‎ ‎（），y=≥4，此时sinx=2，这不可能，故不正确；‎ ‎④，当x=﹣1时，y=﹣5显然最小值不是4，故不正确；‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求函数的值域，解题的关键是最值能否取到，属于中档题．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ ‎4.“”是“”的( )‎ A. 必要非充分条件 B. 充分非必要条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，可得，利用充分条件与必要条件的定义可得结果.‎ ‎【详解】因为，所以,‎ 即不能推出，‎ 反之，由可推出，‎ 故“”是“”的必要不充分条件，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查充要条件的概念，二倍角公式，属于简答题.充要条件的判断问题，是高考不可少的内容，特别是充要条件可以和任何知识点相结合,充要条件的判断一般有三种思路：定义法、等价关系转化法、集合关系法.‎ ‎5.设，则的展开式中的常数项为 A. 20 B. -20 C. 120 D. -120‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用微积分基本定理求出的值，然后利用二项式定理展开式通项，令的指数为零，解出相应的参数值，代入通项可得出常数项的值。‎ ‎【详解】，‎ 二项式的展开式通项为，‎ 令，得，因此，二项式的展开式中的常数项为，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查定积分的计算和二项式指定项的系数，解题的关键就是微积分定理的应用以及二项式展开式通项的应用，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎6.下列命题中错误的是 A. 若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“pV(¬q)”为真命题 B. 命题“若a+b≠7，则a≠2或b≠5”为真命题 C. 命题“若x2-x=0，则x=0或x=1”的否命题为“若x2-x=0，则x≠0且x≠1”‎ D. 命题p：x>0，sinx>2x-1，则p为x>0，sinx≤2x-1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：对该题逐项分析即可.A项根据复合命题的真值易得；B项转化为判断其逆否命题容易判断；C项否命题也要否定条件；D项由含有一个量词的命题的否定易得.‎ 详解：因为命题“若x2-x=0,则x=0或x=1”的否命题为 ‎“若 ,则x≠0且x≠1”，所以C是错误的，‎ 根据有关命题的知识能判断出A、B、D三项都是正确的，‎ 故选C.‎ 点睛：该题考查的是有关逻辑的问题，在解题的过程中，需要对各项逐个分析，需要对复合命题的真值表清楚，还有就是对原命题和你否命题等价这个结论的熟练应用，再者就是对含有一个量词的命题的否定要明确其形式.‎ ‎7.已知的最大值为，最小值为，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用配方法求出求的最值，可得与的值，从而可得结果.‎ ‎【详解】由函数表达式知定义域为，且恒成立，‎ 要求的最值，可先求的最值,‎ ‎，‎ 当或时取到最小值4，‎ 当时，取到最大值8，‎ 故，，，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数最值的计算，考查了配方法的应用，属于中档题.‎ ‎8.函数的图象大致是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由该函数是奇函数排除A、D项,再由，排除B选项，从而可得结果.‎ ‎【详解】令,易知,‎ 所以该函数是奇函数,排除选项A、D；‎ 由，排除B选项，故选C.‎ ‎【点睛】函数图象问题就是考查函数性质的问题.除了分析定义域、值域、单调性、奇偶性、极值与最值等性质外,还要注意对特殊点,零点等性质的分析,注意采用排除法等间接法解题.‎ ‎9.函数为偶函数，且上单调递减，则的一个单调递增区间为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令,上单调递减,上单调递增,最后根据复合函数单调性的关系,同增异减可判断答案.‎ ‎【详解】由为偶函数,可判断 也为偶函数, 令,上单调递减,上单调递增 因为上为减函数,‎ 时，，‎ 所以在上递减，此时，递减， 所以在上为增函数, 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了偶函数,和复合函数单调性,属于综合试题. 对于函数，可设内层函数为，外层函数为，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函数在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D上的单调性相反，则函数在区间D上单调递减．‎ ‎10.函数，若，，，则有（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：首先分离常数得出，可判断出在上单调递减，且时，，时，，从而判断出 ，再根据在上减函数，判断出的大小关系，从而最后得出大小关系.‎ 详解：，在上为减函数，‎ 且时，时，，‎ 且，，‎ 且，‎ 且，，‎ 在上单调递减，‎ ‎，‎ 即，故选D.‎ 点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用 ‎11.若矩阵满足下列条件：①每行中的四个数均为集合{1，2，3，4}中不同元素；②四列中有且只有两列的上下两数是相同的，则满足①②条件的矩阵的个数为( )‎ A. 48 B. 72 C. 144 D. 264‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先排列第一行，有种排列方法；再根据有且只有两列的上下两数是相同的，第二行有种排法，利用分步计数原理可得结果..‎ ‎【详解】第一步，排列第一行，有种排列方法；‎ 第二步，由题意知有且只有两列的上下两数是相同的，选择中的两个数作为与上列相同的数字，有种取法，而对于剩余两数，为使不与上列数字相同，有且只有一种排法，因此，满足题中条件的矩阵的个数共有个. 故选C.‎ ‎【点睛】有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.‎ ‎12.已知函数若存在实数，，，且，使，则的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数的图象，设，且，‎ 由，得，进而得，利用二次函数的性质，即可求解.‎ ‎【详解】由函数，可得函数的图象如图所示，‎ 又由存在实数，，，且，‎ 设，且，‎ 则，即，解得，‎ 所以，‎ 当时，取得最小值，当时，取得最大值，‎ 所以的取值范围是，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的性质的综合应用，以及一元二次函数的图象与性质的应用，其中解答中作出函数的图象，化简得出，利用二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.求值：_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用根式与分数指数幂的运算法则求解即可,化简过程注意避免出现符号错误 ‎【详解】‎ ‎，‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】指数幂运算的四个原则：（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数；（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答（化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时函数的定义域）‎ ‎14.甲、乙、丙、丁四名同学组成一个4100米接力队，老师要安排他们四人的出场顺序，以下是他们四人的要求:甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒.老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定在老师安排的出场顺序中跑第三棒的人是_________.‎ ‎【答案】丙 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知乙、丙均不跑第一棒和第四棒，则跑第三棒的人只能是乙、丙中的一个，讨论两种情况，验证是否符合要求即可.‎ ‎【详解】由题意知乙、丙均不跑第一棒和第四棒，则跑第三棒的人只能是乙、丙中的一个，‎ 当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁是第一棒，甲是第四捧，符合题意，‎ 当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，丁只能跑第四棒，甲跑第一捧，不符合题意，‎ 故跑第三棒的人是丙，故答案为丙.‎ ‎【点睛】本题主要考查推理案例，属于难题.推理案例题型是高考命题的热点，由于条件较多，做题时往往感到不知从哪里找到突破点，解答这类问题，一定要仔细阅读题文，逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得以解决.‎ ‎15.已知函数满足，且,当时，，若曲线与直线有5个交点，则实数的取值范围是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，可得知是周期为2的函数，且图象关于对称，利用与的图象，列出不等式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，可得，‎ 可得，是周期为2的函数，‎ 又由，‎ 则函数的图象关于对称，‎ 由当时，,可画出函数的图象，‎ 作出直线的图象，如图所示，‎ 要使得与有5个交点，‎ 则当时， ,解得，当时，，解得，所以实数的取值范围是，‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考査了函数与方程的综合应用，着重考査了数形结合思想，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．‎ ‎16.已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是 _________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎,令，利用导数求出的最大值，从而可得结果.‎ ‎【详解】,令，‎ 则，‎ 当时，；当时，，‎ 在上单调递增，在单调递减，‎ 的最大值为，‎ 则，即实数的取值范围是 ，‎ 故答案为,‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于中档题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分;解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.设：实数满足不等式，函数无极值点.‎ ‎（1）若为假命题，为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若为真命题，并记为，且：或，若是的必要不充分条件，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或 ；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求得命题可得，化简命题可得，由为假命题，为真命题，则与一真一假，分两种情况讨论,分别解不等式组，然后求并集即可求得结果；（2）求得命题的范围，求得的范围，结合命题的范围，利用包含关系列不等式求解即可.‎ ‎【详解】若为真，则， ‎ 又，若为真，令，则；‎ ‎（1）由为假命题，为真命题，则与一真一假 若为真，为假，则，‎ 若为假，为真，则，‎ 综上，实数的取值范围为或 ；‎ ‎（2）若为真，则，或 或 又是的必要不充分条件， ，.‎ ‎【点睛】解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.‎ ‎18.已知函数且，它的反函数图象过点.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若，对于恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）2；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由函数的反函数图象过点，可得在的图象上，代入解析式，解方程可得结果；（2）原式化为，求得的最大值，解不等式可得结果.‎ ‎【详解】（1）由函数的反函数图象过点 在的图象上，即，‎ 或（舍）,又， ，‎ ‎（2）由 得 即 ‎ 当时，可得 ， ‎ 令，解得或.‎ ‎【点睛】本题主要考查反函数的性质，考查了指数函数的性质以及不等式恒成立问题，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.‎ ‎19.已知向量，，且函数．‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）在中，且，求面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据向量数量积的坐标运算可得，利用正角函数的二倍角公式即可求解（2）由，可得，再根据余弦定理及均值不等式得，即可求出三角形面积的最值.‎ ‎【详解】（1）因为，，，且，‎ 所以，即，‎ 所以，所以．‎ ‎（2）由题可得，‎ 因，所以，‎ 又，所以．‎ 在中，由余弦定理可得，即．‎ 所以，当且仅当时等号成立，‎ 故面积的最大值为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，三角恒等变换，余弦定理，均值不等式，属于中档题.‎ ‎20.已知函数．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）设，求在区间上的最小值．‎ ‎【答案】（1）在区间上单调递增，在区间上单调递减；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；(2)由，结合（1）可得在上递增，在上递减，可得的最小值为中的较小值，进而可得结果.‎ ‎【详解】（1）．‎ 当时，，，所以，故单调递增；‎ 当时，，，所以，故单调递减．‎ 所以 在区间上单调递增，在区间上单调递减． ‎ ‎（2）因为， ‎ 所以，在上递增，在上递减，‎ 可得为中的较小值，‎ 设 ，其中．则 ，‎ 故 在区间上单调递增． 所以 ， 即 ， ‎ 故 最小值．‎ ‎【点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用或求单调区间；第二步：解；第三步：比较方程的根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较区间端点的函数值与极值的大小．‎ ‎21.已知函数 ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若函数恰好有2个零点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）当时，在上单调递增；时，增区间是，减区间是；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）分4种情况讨论，分别利用导数判断函数的单调性，结合零点存在定理，可筛选出符合题意的实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1），当时，，在上单调递增；‎ 当时，由得，由得，‎ 所以， 增区间是，单调减区间是；‎ ‎（2）由（1），当a≤0时，f（x）在R递增，没有2个零点； ‎ 当a＝1时，f（x）f（0）＝0，故f（x）仅有1个零点， ‎ 当时，已知f（0）＝0，故f（﹣lna）>0，‎ 取f（﹣2lna）＝-（+2lna﹣a），再令函数g（a）＝+2lna﹣a，‎ 故g′（a）＝﹣＜0，故g（a）＞g（1）＝0，故f（﹣2lna）<0，‎ f（x）在（﹣lna，﹣2lna）上也有1个零点， 符合题意；‎ 当a＞1时，f（0）＝0，故f（﹣lna）>0，‎ 取，得f（x）在（﹣a，﹣lna）上也有1个零点，符合题意，‎ 综上，若f（x）恰有2个零点，则a∈（0，1）∪（1，+∞）．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的零点，考查了分类讨论思想的应用，属于难题. 分类讨论思想的常见类型 ‎ ‎⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； ‎ ‎⑵问题中的条件是分类给出的； ‎ ‎⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的； ‎ ‎⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.‎ 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分(每题满分10分)‎ ‎22.已知直线l的参数方程为，点在直线上．‎ ‎（1）求m的值；‎ ‎（2）以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线与直线l交于两点，求的值． ‎ ‎【答案】（1）（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由点在直线上，代入直线的参数方程，即可求解；‎ ‎（2）根据极坐标与直角坐标的互化公式，曲线的方程，把直线的参数方程代入圆的方程，根据参数的几何意义，即可求解．‎ ‎【详解】（1）由直线的参数方程为，因为点在直线上，‎ 故代入直线的参数方程得到：．‎ ‎（2）曲线，根据极坐标与直角坐标的互化，可得直角坐标方程为：，‎ 由于圆与直线交于两点，‎ 直线参数方程为，‎ 把直线的参数方程代入圆的方程得到：，‎ 所以（和为对应的参数）．‎ 故．‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．‎ ‎23.选修 4－5：不等式选讲：设函数，．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，根据不等式，分类讨论，即可求解不等式的解集。‎ ‎（2）分类讨论分别求得，当和时，恒成立时，列出不等式（组），求得实数的取值范围，即可求解。‎ ‎【详解】（1）由题意，函数，可得 当时，.‎ 当时，原不等式等价于，解得，∴；‎ ‎②当时，原不等式等价于，‎ 解之，得，∴；‎ ‎③当时，，而，∴不等式解集为空集.‎ 综上所述，不等式的解集为.‎ ‎（2）①当时，恒成立等价于，又，‎ ‎∴，故；‎ ‎②当时，恒成立等价于恒成立，即，‎ 只需即可，即，∴，‎ 综上，.‎ ‎【点睛】本题主要考查了本题主要考查绝对值不等式以及一元二次不等式的解法、分段函数等知识点，重点考查分类讨论思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养。‎