高中数学选修选修 4-4坐标系与参数方程

高中数学选修选修 4-4坐标系与参数方程

选修 4-4 坐标系与参数方程 一、重要概念 1. 极坐标系： (1) 在平面内取一个定点 O ，叫做 _____ ，自极点 O 引一条射线 Ox ，叫做 _____ ；再选定一个长度单位、一个角度单位 ( 通常取 弧度 ) 及其正方向 ( 通常取逆时针方向 ) ，这样就建立了一个极 坐标系 . (2) 通常以平面直角坐标系的 _________ 为极点，以 ____ 的正半 轴为极轴，从而建立极坐标和直角坐标的关系 . 极点 极轴 坐标原点 x 轴 2. 点的极坐标： 对于极坐标系所在平面内的任一点 M ，若设 |OM|=ρ(ρ≥0) ， 以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角为 θ ，则点 M 可用有序数 对 ________ 表示 . (ρ,θ) 二、必记公式 1. 极坐标与直角坐标的互化公式： 设点 P 的直角坐标为 (x,y) ，极坐标为 (ρ,θ), 则 (ρ,θ)⇒(x,y) (x,y)⇒(ρ,θ) 2. 直线、圆与椭圆的参数方程 : 特征 普通方程 参数方程 直线过点 M 0 (x 0 ,y 0 ), 倾斜角为 α x=x 0 (α=90°) y-y 0 =tanα(x-x 0 ) (α≠90°) ______________ __________ 圆心 (a,b), 半径为 r (x-a) 2 +(y-b) 2 =r 2 ______________ ___________ 焦点在 x 轴上 , 长轴长为 2a, 短轴长为 2b ____________ ___________ (t 为参数 ) (θ 为参数 ) (θ 为参数 ) 1.(2013· 北京模拟 ) 在极坐标系中，曲线 ρ=4cos θ 围成的图形面积为 ( ) A.π B.4 C.4π D.16 【 解析 】 选 C. 由 ρ=4cosθ, 得 ρ 2 =4ρcosθ, x 2 +y 2 =4x, 即 (x-2) 2 +y 2 =4. 曲线 ρ=4cosθ 是半径为 2 的圆 , 其面积为 πr 2 =4π. 2.(2013· 合肥模拟 ) 已知直线 (t 为参数 ) 与圆 C ： (θ 为参数 ) ，则直线的倾斜角及圆心 C 的直角坐 标分别是 ( ) 【 解析 】 选 C. 直线消去参数得直线方程为 y=-x ，所以斜率 k=-1 ，即倾斜角为 圆的标准方程为 (x-1) 2 +y 2 =4 ，圆心坐 标为 (1 ， 0) ，所以选 C. 3.(2013· 天津模拟 ) 已知圆的直角坐标方程为 x 2 +y 2 -2x=0. 在以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为 ( ) A.ρ=2cos θ B.ρ=2sin θ C.ρ=-2cos θ D.ρ=-2sin θ 【 解析 】 选 A. 因为在极坐标系中 ,x=ρcos θ,y=ρsin θ, 代入方程 x 2 +y 2 -2x=0 得 ρ 2 =2ρcos θ, 即 ρ=2cos θ, 故选 A. 4.(2013· 湖南高考 ) 在平面直角坐标系 xOy 中，若 l : (t 为参数 ) 过椭圆 C: ( φ 为参数 ) 的右顶点，则常数 a 的值为 ________. 【 解析 】 直线 l 的普通方程是 x － y － a=0 ，椭圆 C 的普通方程是 其右顶点为 (3,0) ，代入直线方程得 a=3. 答案： 3 5.(2013· 广东高考 ) 已知曲线 C 的参数方程为 (t 为参数 ) ， C 在点 (1,1) 处的切线为 l ，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则 l 的极坐标方程为 _______. 【 解析 】 曲线 C 是圆 x 2 +y 2 =2 ，在点 (1,1) 处的切线 l 为 x+y=2 ，其 极坐标方程为 ρcosθ+ρsinθ=2 ，化简得 答案： 热点考向 1 极坐标与直角坐标的互化 【 典例 1】 (2013· 长春模拟 ) 以平面直角坐标系的原点 O 为极 点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 1 以原点为圆心， 1 为半径，圆 C 2 的极坐标方程为 (1) 写出圆 C 1 的直角坐标方程和极坐标方程 . (2) 圆 C 1 ,C 2 是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相 交，请说明理由 . 【 解题探究 】 在极坐标系下如何判断两圆的位置关系？ 提示： (1) 把极坐标方程化为直角坐标方程 . (2) 求两圆心之间的距离，并比较其与两圆半径之差、和的大小 . 【 解析 】 (1) 由题意，圆 C 1 的直角坐标方程为 x 2 +y 2 =1. 其极坐 标方程为 ρ=1. (2) 方法一： 得 所以 即 圆 C 1 与圆 C 2 的圆心之间的距离 所以两圆相交，设两圆的交点为 A ， B ， 由 不妨令 A(1 ， 0) ， 所以 方法二：由 得 所以 由 设两圆的交点为 A ， B ，则①式即为直线 AB 的方程， 圆 C 1 的圆心为 C 1 (0,0) ，半径 r=1. C 1 (0 ， 0) 到直线 AB 的距离为 所以 【 方法总结 】 直线与圆、圆与圆的位置关系 (1) 直线与圆的位置关系 : 设圆的半径为 r, 圆心到直线的距离 为 d, 则直线和圆的位置关系有三种 ,①d>r⇔ 直线和圆相离 ; ②d=r⇔ 直线和圆相切 ;③dr 1 +r 2 ⇔ 两圆外离 ; ②d<|r 1 -r 2 |⇔ 两圆内含 ;③d=r 1 +r 2 ⇔ 两圆外切 ;④d=|r 1 -r 2 |⇔ 两圆内切 ;⑤|r 1 -r 2 |0, 焦点为 F ，准线为 l ，过抛物线 上一点 M 作 l 的垂线，垂足为 E. 若 |EF|=|MF| ，点 M 的横坐标是 3 ，试求抛物线的普通方程 . 【 解析 】 焦点 如图，由题意可知，△ MEF 是正三角形， 且边长为 由题意，设 M(3,y 0 ) ，则 y 0 2 =6p ， 所以 = 故 因为 p ＞ 0 ，解得 p=2 ， 所以抛物线的普通方程为 y 2 =4x. 热点考向 4 极坐标方程与参数方程的综合应用 【 典例 4】 已知曲线 C 1 的参数方程是 ( φ 为参数 ) ， 以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线 C 2 的坐标方程是 ρ=2 ，正方形 ABCD 的顶点都在 C 2 上，且 A ， B ， C ， D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为 (1) 求点 A ， B ， C ， D 的直角坐标 . (2) 设 P 为 C 1 上任意一点，求 |PA| 2 +|PB| 2 +|PC| 2 +|PD| 2 的取值 范围 . 【 解题探究 】 (1) 点 A ， B ， C ， D 的直角坐标求解思路 . ① 确定点 B ， C ， D 的极角，其主要依据是 ABCD 是 _______ ，且 A ， B ， C ， D 依逆时针次序排列 . ② 根据公式 化极坐标为直角坐标 . 正方形 (2) 求 |PA| 2 +|PB| 2 +|PC| 2 +|PD| 2 的取值范围的两个关键 . ① 设点：根据曲线 C 1 的方程设点 P 的坐标为 ___________________ . ② 转化：利用两点间的距离公式把 |PA| 2 +|PB| 2 +|PC| 2 +|PD| 2 转 化为 ___________. P(2cos φ ,3sin φ ) 20sin 2 φ +32 【 解析 】 (1) 曲线 C 2 是以极点为圆心， 2 为半径的圆，由题意， 得点 B ， C ， D 的极坐标分别为： 所以 A ， B ， C ， D 的直角坐标分别为 即 (2) 由曲线 C 1 的参数方程设 P(2cos φ ,3sin φ ), 则 |PA| 2 +|PB| 2 +|PC| 2 +|PD| 2 =16cos 2 φ +36sin 2 φ +16 =20sin 2 φ +32. 因为 0≤sin 2 φ ≤1. 所以 |PA| 2 +|PB| 2 +|PC| 2 +|PD| 2 的取值范围为［ 32 ， 52 ］ . 【 方法总结 】 参数方程的应用 利用圆或椭圆的参数方程可以把与圆或椭圆上的点有关的最值或范围问题转化为三角函数的最值问题 . 【 变式训练 】 (2013· 辽宁高考 ) 在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极 点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 . 圆 C 1 ，直线 C 2 的极坐标方 程分别为 (1) 求 C 1 与 C 2 的交点的极坐标 . (2) 设 P 为 C 1 的圆心， Q 为 C 1 与 C 2 的交点连线的中点 . 已知直线 PQ 的参数方程为 (t∈R 为参数 ), 求 a,b 的值 . 【 解析 】 (1) 由 ρcos θ=x,ρsin θ=y 得， 圆 C 1 的直角坐标方程为 x 2 +(y-2) 2 =4, 直线 C 2 的直角坐标方程为 x+y-4=0. 由 所以圆 C 1 ，直线 C 2 的交点直角坐标为 (0,4),(2,2). 再由 ρcos θ=x,ρsin θ=y ，将交点的直角坐 标化为极坐标 所以 C 1 与 C 2 的交点的极坐标为 ( 注：极坐标系下点的坐标不唯一 ) (2) 由 (1) 知，点 P ， Q 的直角坐标为 (0,2),(1,3), 故直线 PQ 的直角坐标方程为 x － y+2=0. ① 由于直线 PQ 的参数方程为 (t∈R 为参数 ). 消去参数得 ② 对照①②可得 解得 a= － 1,b=2.