高中数学2_2_1向量的加法导学案苏教版必修4

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高中数学2_2_1向量的加法导学案苏教版必修4

2.2.1 向量的加法 学习目标 重点难点 1.能说出向量加法在物理学中的背景知识. 2.能记住向量的运算法则,理解向量加法的 几何意义. 3.会推导向量加法的交换律与结合律. 重点:掌握向量加法的运算法则,理解向量 加法的几何意义. 难点:向量加法的交换律与结合律的推导. 1.向量加法的定义 已知向量 a 和 b,如图,在平面内任取一点 O,作OA→=a,AB→=b,则向量OB→叫做 a 与 b 的和,记作 a+b,即 a+b=OA→+AB→=OB→.求两个向量和的运算叫做向量的加法.对于零向量 与任一向量 a,有 a+0=0+a=a.对于相反向量,有 a+(-a)=(-a)+a=0. 预习交流 1 如何理解向量加法的定义? 提示:(1)两个向量的和仍是一个向量. (2)当两个非零向量 a 与 b 不共线时,则 a+b 的方向与 a,b 的方向都不相同,且|a+ b|<|a|+|b|,这是三角形两边之和大于第三边的向量表示. 2.向量求和法则及运算律 (1)向量加法的三角形法则与平行四边形法则:根据向量加法的定义得出的求向量和的 方法称为向量加法的三角形法则.如图,对于两个不共线的非零向量 a,b,分别作OA→=a, OC→=b,以 OA,OC 为邻边作 OABC,则以 O 为起点的对角线OB→就是向量 a 与 b 的和.这种 方法叫做向量加法的平行四边形法则.即OA→+OC→=a+b=OB→. (2)向量加法的运算律: ①交换律:a+b=b+a. ②结合律:a+b+c=a+(b+c)=(a+b)+c. 预习交流 2 两个向量相加就是把两个向量的模相加吗? 提示:不是.两个向量相加,和仍是一个向量,并不是两个向量的模相加.因此运算时 不仅要考虑其大小,而且要考虑其方向. 预习交流 3 (1)化简AB→+BC→+CA→=__________. (2)已知|a|=5,|b|=4,则|a+b|的取值范围是__________. (3)小船在静水中的速度是每分钟 30 m,水流速度是每分钟 15 m,如果船从岸边点 A 处出发,沿着垂直河岸的航线到达对岸,那么船的行进方向为__________. 提示:(1)0 (2)1≤|a+b|≤9 (3)与水流方向成 120°角 一、向量的加法运算 化简下列各式: (1)PB→+OP→+OB→; (2)(AB→+MB→)+BO→+OM→; (3)AB→+BC→+CD→+DE→. 思路分析:多个向量相加,可利用向量加法的三角形法则求解,也可直接运算. 解:(1)PB→+OP→+OB→=(OP→+PB→)+OB→=OB→+OB→=2OB→; (2)(AB→+MB→)+BO→+OM→ =(AB→+BO→)+(OM→+MB→)=AO→+OB→=AB→; (3)AB→+BC→+CD→+DE→=AC→+CD→+DE→=AD→+DE→=AE→. 1.下列各式中结果为 0 的个数是__________. ①AB→+BC→+CA→;②OA→+OC→+BO→+CO→;③AB→+CA→+BD→+DC→. 答案:2 解析:①原式=AC→+CA→=0; ②原式=(BO→+OA→)+(CO→+OC→)=BA→+0=BA→; ③原式=(AB→+BD→)+(DC→+CA→)=AD→+DA→=0. 故①③符合. 2.已知 O 为正六边形 ABCDEF 的中心,求下列向量: (1)OA→+OE→; (2)AO→+AB→; (3)AE→+AB→. 解:(1)由图知,OAFE 为平行四边形.∴OA→+OE→=OF→; (2)由图知,OABC 为平行四边形,∴AO→+AB→=AC→; (3)由图知,AEDB 为平行四边形,∴AE→+AB→=AD→. 求向量的和要考虑用向量加法的运算律和运算法则,求和的关键是利用 向量加法的三角形法则,在运用此法则时,要注意“首尾相接”,即求两个向量的和是以第 一个向量的终点为第二个向量的起点,和向量是从第一个向量的起点指向第二个向量的终 点.此类题要利用运算律将“首尾相接”的两个向量分在一组,多个向量求和也要注意首尾 相连. 二、向量加法法则的应用 如图所示,在正六边形 OABCDE 中,若OA→=a,OE→=b,试用向量 a,b 将OB→,OC→,OD→表示 出来. 思路分析:用向量 a,b 表示OB→,OC→,OD→,要利用正六边形的性质,用平行向量、相等向 量的知识和向量加法的运算法则求解,结合图形,适当地选取法则是解决此类问题的关键. 解:设正六边形的中心为 P, 则四边形 ABPO,AOEP 均为平行四边形. 由向量加法的平行四边形法则,知 OP→=OA→+OE→=a+b.∵AB→=OP→,∴AB→=a+b. 在△AOB 中,根据向量的三角形法则,OB→=OA→+AB→=a+(a+b)=2a+b, ∴OC→=OB→+BC→=2a+b+b=2a+2b, OD→=OE→+ED→=OE→+AB→=b+a+b=a+2b. 已知向量 a,b,求作向量 a+b. 解:作法:方法一:(三角形法则)如图①所示,在平面内取一点 O,作OA→=a,AB→=b, 则OB→=a+b. 方法二:(平行四边形法则)如图②所示,先在平面内取一点 O,作OA→=a,OB→=b,然后 以 OA,OB 为邻边作平行四边形 OACB,则OC→即为所求向量 a,b 的和向量 a+b. 用三角形法则求两个向量和的步骤是: 第一步:将其中一个向量平移,使两个向量中的一个向量的起点与另一个向量的终点重 合; 第二步:将剩下的起点与终点相连,并指向终点,则该向量即为两向量的和. 三、向量加法的实际应用 一艘船从 A 点出发以 2 3km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时水的流速为 2 km/h,求船实际航行的速度的大小与方向. 思路分析:该问题属于实际应用题,其中船速和水的流速及两者间的方向关系明确—— 垂直,因此解答本题可借助向量知识及平面直角三角形的边角关系求解. 解:如图,设AD→表示船垂直于对岸的速度,AB→表示水流的速度,以 AD,AB 为邻边作平 行四边形 ABCD,则AC→就是船实际航行的速度. 在 Rt△ABC 中,|AB→|=2,|BC→|=2 3, 所以|AC→|= |AB→|2+|BC→|2=4. 因为 tan∠CAB=2 3 2 = 3, 所以∠CAB=60°. 所以船实际航行的速度大小为 4 km/h,方向为垂直于对岸偏水流方向 30°. 一自行车以 6 m/s 的速度向北行驶,这时骑车人感觉风自正西方向吹来,但站在地面上 测得风自南偏西π 3 方向吹来,试求:(1)风相对于车的速度;(2)风相对于地的速度. 解:如图,设 v 风车,v 车地,v 风地分别是风对车、车对地、风对地的相对速度,则 v 风车+v 车地=v 风地. 其中|v 车地|=6 m/s,方向正北,v 风车,v 风地的夹角为π 6 . (1)风相对车的速度大小为|v 风车|= |v 车地| tan π 6 =6 3(m/s),方向为正东; (2)风相对地面的速度大小为|v 风地|= |v 车地| sin π 6 =12(m/s),方向为东偏北π 6 . 平面向量在中学数学里扮演着极为重要的角色,而且与物理学中的力的 合成与分解、速度的合成与分解、电流的合成等内容相互呼应.用向量方法解决此类问题, 先要根据题意把物理向量用有向线段来表示,利用向量加法的平行四边形法则,转化为数学 中向量的加法,然后由已知条件进行计算(常用到三角函数知识).另外,学科交叉题往往要 求较高,除了要懂得将各科知识融会贯通外,认真掌握各科的知识也是非常重要的. 1.在四边形 ABCD 中,CB→+AD→+BA→等于__________. 答案:CD→ 解析:CB→+AD→+BA→=CB→+BA→+AD→=CA→+AD→=CD→. 2.化简OB→+AO→+BA→=__________. 答案:0 解析:OB→+AO→+BA→=OB→+BA→+AO→=OA→+AO→=0. 3.小明在游泳池中先向东游了 30 米,然后又向北游了 30 米,那么小明相对于起点实 际游泳的结果是向__________方向游了__________米. 答案:东北 30 2 解析:小明两次游泳的路径,既有大小,又有方向,故可用向量来表示,小明两次游泳 相当于两个向量的和.如图所示,游泳的距离为 30 2米,方向北偏东 45°. 4.如图,在平行四边形 ABCD 中,BC→+DC→+BA→等于__________. 答案:BC→ 解析:由图易知DC→=-CD→=BA→, ∴DC→+BA→=0. ∴BC→+DC→+BA→=BC→+0=BC→. 5.已知四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,且AO→=OC→,OB→=DO→,求证:四边形 ABCD 是平行四边形. 证明:如图,AB→=AO→+OB→,DC→=DO→+OC→, 又∵AO→=OC→,OB→=DO→, ∴AB→=DC→,即 AB∥CD 且|AB→|=|DC→|. ∴四边形 ABCD 是平行四边形.
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