2019年珠海市高中数学青年教师解题大赛试题

2019年珠海市高中数学青年教师解题大赛试题

‎2019年珠海市高中数学青年教师解题大赛试题 一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，则下列说法不正确的是 A. B.所有质数都在集合中 ‎ C.所有奇数都在集合中 D.所有4的倍数都在集合中 ‎2.在下列结论中，正确的是 ‎①为真是为真的充分不必要条件；‎ ‎②为假是为真的充分不必要条件；‎ ‎③为真是为假的必要不充分条件；‎ ‎④为真是为假的必要不充分条件； ‎ A．①② B．①③ C．②④ D．③④ ‎ ‎3.已知，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式 系数的最大值为，若，则复数 (其中为虚数单位) ‎ 在复平面内对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎4.已知函数，设函数的最大值是，最小值是， 则 A. B. C. D. ‎ ‎5.“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门,该款软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习板块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题板块.某人在学习过程中，“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有 A. 192 种 B. 240 种 C. 432 种 D. 528 种 ‎6.已知的内角满足，且都是整数，‎ 则以下选项错误的是 A. B. C. D.‎ ‎7.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，不得分的概率 为，已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），‎ 则的最小值为 ‎ 8‎ A. B. C. D.‎ ‎8.已知点是不等式组表示的平面区域内一点，直线与圆交于两点，则的取最小值为 A.4 B. C. D.7‎ ‎9.在菱形中，，将这个菱形沿对角线折起，使得平面平面，若此时三棱锥的外接球的表面积为，则的长为 A. B. C. D. 3‎ ‎10.过双曲线的左焦点作圆的切线，切 点为，延长交抛物线于点，若，为坐标原点，则双曲线的离心率为 A． B． C． D．‎ 二、 填空题：本题共5小题，每小题6分，共30分.‎ ‎11. 已知向量，若，则 . ‎ ‎12.如图所示为函数的 部分图像，其中两点之间的距离为5，‎ 那么 .‎ ‎13. 在正方体中，点为线段的中点，‎ 设点为在线段上，直线与平面所成的角为，‎ 则的取值范围是 . ‎ ‎14. 若函数（为自然对数的底）在上单调递增，则能取到的最大整数是 .‎ ‎15. 将数列中的项排成下表：‎ 已知各行的第一个数构成数列，且的前项和满足 8‎ ‎,从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等差数列，且公差为同一个常数.若 ，则第5行的所有项的和为 .‎ 三、 解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16. (10分)‎ 在中，角所对的边分别是 ，且 ‎(1)求角的大小；‎ ‎(2)若内接于单位圆，求边上的中线的最大值.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎17. (14分)‎ 如图，正方形所在平面与圆所在平面相交于，线段为圆的弦，垂直于圆所在平面，垂足是圆上异于的点，，圆的直径为9，‎ ‎（1）求直线与所成的角的余弦值；‎ ‎（2）求二面角的平面角的正切值.‎ ‎18. (15 分)‎ 已知椭圆的方程为，圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于两点，且，如图1.‎ ‎(1)求圆的标准方程；‎ ‎(2)如图1，过点的直线与椭圆相交于两点，求证：射线平分；‎ ‎(3)如图2所示，点是的两个顶点，且第三象限的动点在椭圆上，若直线与轴交于点，若直线与轴交于点，试问：四边形的面积是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由.‎ 8‎ ‎ ‎ 如图1 如图2‎ ‎19. （15 分）‎ ‎2019年7月1日至3日，世界新能源汽车大会在海南博鳌召开，大会着眼于全球汽车产业 的转型升级和生态环境的持续改善。某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试。现对测试数据进行分析，得到如下的频率分布直方图：‎ ‎（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.‎ ‎（2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布），经计算第（1）问中样本标准差的近似值为50。用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率.‎ 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，， ‎ ‎⑶某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动, 客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券。已知硬币出现正、反面的概率都是，方格图上标有第0格、第1格、第2格、……、第50格。遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从到），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束。设遥控车移到第格的概率为，试说明是否为等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车.‎ ‎20. (16 分)‎ 已知函数,.‎ ‎(1)为何值时，轴为曲线的切线；‎ 8‎ ‎(2)用表示中的最小值，设函数，‎ 讨论的零点的个数.‎ ‎2019年珠海市高中数学青年教师解题大赛试题参考答案 说明：本答案解答题仅提供了一种解法的赋分，其他解法类比赋分.‎ 一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ 一、选择题（分）‎ ‎1~10． BBDCC BDDBB．‎ 二、填空题（分）‎ ‎11．． 12．2． 13．． 14．1． 15. 384‎ 三、16.解:（1）由题设知：‎ 得即 ‎………………5分 ‎（2）由（1）题设知：，‎ ‎ ，又即，‎ ‎ .………………10分 另解：设的外接圆的圆心为,则 ‎17．（1）证明：∵垂直于圆所在平面，在圆所在平面上，‎ ‎∴． ‎ 在正方形中，，;‎ ‎∵，∴平面．‎ ‎∴．‎ ‎∴为圆的直径，即.………………4分 ‎∴为直线与所成的角；‎ 设正方形的边长为，‎ 在△中，，‎ 8‎ 在△中，，‎ 由，解得，‎ ‎∴. ………………7分 ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ‎（2）由（1）知：． ‎ 过点作于点，作交于点，连结，‎ G F 由于平面，平面，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴平面．‎ ‎∵平面，‎ ‎∴．‎ ‎∵，，‎ ‎∴平面．‎ ‎∵平面，‎ ‎∴．‎ ‎∴是二面角的平面角．………………11分 在△中，，，，‎ ‎∵，‎ ‎∴． ‎ 在△中，， ‎ ‎∴．故二面角的平面角的正切值为．…………14分 ‎18. 解：（1）设圆的半径为，由题设知:，则有 ‎ ‎ 得圆的标准方程: ………………3分 ‎（2）由（1）及题设知：，‎ 则可设直线的方程为，；‎ 由知: ，得；‎ ‎∴射线平分………………9分 8‎ ‎（3）由（1）及题设知：，设，‎ 则直线的方程为，直线的方程为，‎ 由知:得知 将点代入的方程得，‎ 所以 .………………15分 ‎19. 解：（1）由题设知：‎ ‎…………3分 ‎（2）由（1）题设知：‎ ‎………………6分 ‎（3）由题设知：………8分 ‎∴‎ ‎∴是等比数列，且……………10分 ‎∴‎ 即……………12分 ‎∴……………14分 8‎ ‎∴，故此方案能成功吸引顾客购买该款新能源汽车.……………15分 ‎20. 解：（1）设切点为,由题设知: 即则…4分 ‎（2）由题设知：‎ ‎(I)当时，；………5分 ‎ (II)当时，由知：；………7分 ‎(III)当时，‎ ‎(i)若,函数在此区间单增，有,则；……8分 ‎(ii)若,,‎ ①由知时函数在(0,1)单减，且,则在此区间有1个零点，即在此区间有1个零点；……10分 ②由知函数在上单减，在上单增，‎ 又知时，时，‎ 则:时，有,则；‎ 时，即在(0,1)有1个零点；‎ 时，则在与上各有1个零点，即在(0,1)有2个零点；‎ 时，则仅在上有1个零点，即在(0,1)有1个零点；………………14分 综上所述：时，有1个零点；时，有2个零点； 时，有3个零点. ………………16分 8‎