河南省开封市2019届高三第三次模拟数学（文）试题 Word版含解析

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www.ks5u.com 开封市2019届高三第三次模拟考试 数学（文科）试题 一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则集合中元素的个数为（ ）‎ A. 5 B. 4 C. 3 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接求出两集合的交集，找出交集的元素的个数即可．‎ ‎【详解】，，，8，10，12，，‎ ‎，，‎ 则集合中的元素的个数为3，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎2.设复数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用共轭复数和复数的除法计算得解.‎ ‎【详解】.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查共轭复数和复数的除法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ - 23 -‎ ‎3.空气质量指数是检测空气质量的重要参数，其数值越大说明空气污染状况越严重，空气质量越差.某地环保部门统计了该地区某月1日至24日连续24天的空气质量指数，根据得到的数据绘制出如图所示的折线图，则下列说法错误的是（ ）‎ A. 该地区在该月2日空气质量最好 B. 该地区在该月24日空气质量最差 C. 该地区从该月7日到12日持续增大 D. 该地区的空气质量指数与这段日期成负相关 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用折线图对每一个选项逐一判断得解.‎ ‎【详解】对于选项A, 由于2日的空气质量指数最低，所以该地区在该月2日空气质量最好，所以该选项正确；‎ 对于选项B, 由于24日的空气质量指数最高，所以该地区在该月24日空气质量最差，所以该选项正确；‎ 对于选项C,从折线图上看，该地区从该月7日到12日持续增大，所以该选项正确；‎ 对于选项D,从折线图上看，该地区的空气质量指数与这段日期成正相关，所以该选项错误.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查折线图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ - 23 -‎ ‎4.“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先考虑充分性，再考虑必要性得解.‎ ‎【详解】先考虑充分性. ‎ ‎,‎ ‎=，‎ 因为，所以，‎ 所以“”是“”的充分条件.‎ 再考虑必要性.‎ ‎,‎ ‎=，‎ 不能推出. 如：a=-3,b=-1.‎ 所以“”是“”的非必要条件.‎ 所以“”是“”充分不必要条件.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎5.已知函数（）为奇函数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ - 23 -‎ ‎【分析】‎ 先根据奇函数求出a的值，再求f(1)得解.‎ ‎【详解】由题得 经检验，当a=1时，函数f(x)是奇函数.‎ 所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查奇函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎6.设为等差数列的前项和，若，，则（ ）‎ A. -3 B. -2 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得到关于的方程组，解方程组即得解.‎ ‎【详解】由题得.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查等差数列前n项和和通项公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎7.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）‎ - 23 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，为球的直径，求出，可得球的半径，即可求出球的表面积．‎ ‎【详解】如图所示，该几何体为四棱锥．底面为矩形，‎ 其中底面．‎ ‎，，．‎ 则该阳马的外接球的直径为．‎ 该阳马的外接球的表面积为：．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了四棱锥的三视图、长方体的性质、球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算 能力，属于中档题．‎ ‎8.如图所示的程序框图是为了求出满足的最大正整数的值，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）‎ - 23 -‎ A. “”和“输出”‎ B. “”和“输出”‎ C. “”和“输出”‎ D. “”和“输出”‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过要求时输出，由于满足后，又执行了一次，故输出 的应为的值．‎ ‎【详解】由于程序框图是为了求出满足 的最大正整数的值，‎ 故退出循环的条件应为，‎ 由于满足后，（此时值比程序要求的值多1），又执行了一次，‎ 故输出的应为的值．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎9.若实数，满足，则的最大值是（ ）‎ A. -4 B. -2 C. 2 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 23 -‎ 利用基本不等式求x+y的最大值得解.‎ ‎【详解】由题得(当且仅当x=y=-1时取等)‎ 所以，‎ 所以x+y≤-2.‎ 所以x+y的最大值为-2.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎10.如图，在正方形中分别以，为圆心、正方形的边长为半径画，，在正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出阴影部分的面积，再利用几何概型的概率公式求解.‎ ‎【详解】‎ 如图所示，设正方形的边长为1，‎ 因为AB=AE=BE=1,所以∠ABE=,‎ - 23 -‎ 所以弓形AFE的面积为.‎ 所以阴影部分ADFE的面积为，‎ 所以所有阴影部分的面积为.‎ 由几何概型的概率公式得此点取自阴影部分的概率是.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查面积计算和几何概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎11.已知，，，则，，的大小关系为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先比较的大小，再比较的大小，进而可得答案．‎ ‎【详解】由题得，‎ ‎∴．‎ 又，‎ 由于，‎ - 23 -‎ 如图在坐标系中画出函数和函数的图象，‎ 可得在区间内函数的图象总在函数图象的上方，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，因此，‎ ‎∴．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查实数大小的比较和考查函数的图象及性质，考查学生对知识的理解掌握水平和分析推理能力，解题的关键是通过函数的单调性和结合函数的图象解决问题，属于中档题．‎ ‎12.已知函数，为的零点，为 - 23 -‎ 图象的对称轴，且，，则的最大值为（ ）‎ A. 5 B. 4 C. 3 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据已知分析出，再分析出,检验即得解.‎ ‎【详解】因为为的零点，‎ 所以,‎ 因为为图象的对称轴，‎ 所以 ‎（1）+（2）得，‎ 因为.‎ ‎(2)-(1)得,‎ 当时，如果，‎ 令，‎ 当k=2时，x=,与已知不符.‎ 如果，‎ 令，‎ 当k=1时，x=,与已知不符.‎ 如果如果，‎ 令，‎ 当k=1时，x=,与已知不符.‎ - 23 -‎ 如果，‎ 令，与已知相符.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ 二、填空题.‎ ‎13.设向量，，且，则________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用向量平行的坐标表示求解.‎ ‎【详解】由题得2x-(x+1)=0,‎ 所以x=1.‎ 故答案为：1‎ ‎【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎14.若实数，满足约束条件，则的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．‎ ‎【详解】由，满足约束条件作出可行域如图，‎ - 23 -‎ 化目标函数为，‎ 由图可知，当直线过点时直线在轴上的截距最小，‎ 由，解得，，‎ 有最小值为2．‎ 故答案为：，‎ ‎【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ ‎15.已知中，，，，则该三角形的面积是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用余弦定理求出a的值，再利用三角形的面积公式求面积得解.‎ ‎【详解】由题得 所以三角形的面积为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ - 23 -‎ ‎16.已知双曲线的右顶点为，以为圆心， 为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点.若，则的离心率为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出点A到渐近线的距离为，再解方程即得解.‎ ‎【详解】由题得双曲线的渐近线方程为 由题得△AMN是等边三角形，边长为b.‎ 所以点A到渐近线的距离为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的计算和双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.记为等比数列的前项和，已知，.‎ ‎（I）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列，求的前项和.‎ ‎【答案】(I) (Ⅱ) ‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（I）根据已知求出，即可求出的通项公式；（Ⅱ）利用错位相减法求的前 - 23 -‎ 项和.‎ ‎【详解】解：（I）设的公比为，由题意，‎ 解得，，故. ‎ ‎（Ⅱ），‎ ‎，‎ ‎，‎ 两式相减得，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列通项的求法，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎18.如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，在平面上的射影为的中点是边长为的正三角形，直线与平面所成角为.‎ ‎（I）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若，且，求该五面体的体积.‎ ‎【答案】(I)见证明；(Ⅱ) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 23 -‎ ‎（I）记的中点为，连接，，先证明平面，再证；（Ⅱ）‎ 先证明棱柱为直棱柱. 再求,‎ 即得该五面体的体积.‎ ‎【详解】证明：（I）记的中点为，连接，，‎ 由在平面上的射影为中点，得平面，‎ ‎∴，，又，，‎ ‎∴，∴.‎ 由直线与平面所成角为，易得，‎ 又由，得，又，‎ 得.‎ 由，，，‎ 得平面，平面，‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ）由（I），平面，‎ ‎∵，平面，平面，‎ ‎∴平面，平面平面，‎ ‎∴，，由题意，‎ ‎∴棱柱为直棱柱. ‎ ‎∵，‎ ‎，‎ ‎∴该五面体的体积为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查空间几何元素垂直关系的证明，考查几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎19.为评估设备生产某种零件的性能，从设备 - 23 -‎ 生产该零件的流水线上随机抽取100个零件为样本，测量其直径后，整理得到下表：‎ 直径/mm ‎58‎ ‎59‎ ‎61‎ ‎62‎ ‎63‎ ‎64‎ ‎65‎ 件数 ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎19‎ ‎33‎ 直径/mm ‎66‎ ‎67‎ ‎68‎ ‎69‎ ‎70‎ ‎71‎ ‎73‎ 合计 件数 ‎18‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎100‎ 经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.‎ ‎（I）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行判定（表示相应事件的概率）：①；②；③.判定规则为：若同时满足上述三个式子，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为丁.试判断设备的性能等级.‎ ‎（Ⅱ）将直径尺寸在之外的零件认定为是“次品”，将直径尺寸在之外的零件认定为“突变品”.从样本的“次品”中随意抽取两件，求至少有一件“突变品”的概率.‎ ‎【答案】(I)见解析(Ⅱ) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）计算出，，，比较即得解. （Ⅱ）利用古典概型概率公式求至少有一件“突变品”的概率.‎ ‎【详解】解：（I），，，，，由图表知，，‎ ‎，，‎ 所以该设备的级别为丙级. ‎ - 23 -‎ ‎（Ⅱ）样品中直径尺寸在之外的零件共6件，直径尺寸在之外的零件共2件，分别记为，，，，，，其中，为直径尺寸在之外的零件，从样本的“次品”中随意抽取两件，所有情况共15种：‎ ‎，，，，，，，，，‎ ‎，，，，，，‎ 至少有一件“突变品”的所有情况共9种：‎ ‎，，，，，，，，，‎ 记从样本的“次品”中随意抽取两件，至少有一件“突变品”为事件，‎ 则.‎ ‎【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎20.已知椭圆的上顶点与左、右焦点的连线构成面积为的等边三角形.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过的右焦点作斜率为的直线与交于，两点，直线与轴交于点，为线段的中点，过点作直线于点.证明：，，三点共线.‎ ‎【答案】(I) (Ⅱ)见证明 ‎【解析】‎ - 23 -‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据已知列出a,b,c的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线的方程为，证明，即证，，三点共线.‎ ‎【详解】解：（I）记椭圆的焦距为，则， ‎ 解得，.∴椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ），设直线的方程为， ‎ 代入椭圆方程，得，‎ 设，，则，，‎ 易知，，，，‎ ‎,‎ ‎∴，∴，，三点共线.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查三点共线的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平分析推理能力.‎ ‎21.已知函数，，（常数且）.‎ ‎（Ⅰ）当与的图象相切时，求的值；‎ ‎（Ⅱ）设，若存在极值，求的取值范围.‎ ‎【答案】(I) (Ⅱ) ‎ ‎【解析】‎ - 23 -‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）设切点为，再利用导数的几何意义求出a的值；（Ⅱ）由题得，再对a分类讨论，利用导数分析函数极值情况得到的取值范围.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）设切点为，，‎ 所以过点的切线方程为，即，‎ 所以，解得. ‎ ‎（Ⅱ）依题意，，，‎ 当a＞0时，令，则，‎ 令，，令，，‎ 所以，当时，单调递减；当时，单调递增 若存在极值，则，即，‎ 又时，，‎ 所以，时，‎ 在存在零点，且在左侧，在右侧，‎ 即存在变号零点.‎ 当a＜0时，当时，单调递增；当时，单调递减.‎ 若存在极值，则，即，‎ 又时，，‎ 所以，时，‎ 在存在零点，且在左侧，在右侧，‎ 即存在变号零点.‎ - 23 -‎ 所以，若存在极值，.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为（且）.‎ ‎（I）求直线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）已知是直线上的一点，是曲线上的一点， ，，若的最大值为2，求的值.‎ ‎【答案】(I) ；. (Ⅱ) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）利用参数方程、极坐标方程和普通方程互化的公式求直线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）先利用极坐标方程求出，，再求出，即得，解之即得a的值.‎ ‎【详解】解：（I）消去参数，得直线的普通方程为，‎ 由，，‎ - 23 -‎ 得直线的极坐标方程为，即.‎ 曲线的极坐标方程为（且），即，‎ 由，，得曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（Ⅱ）∵在直线上，在曲线上，‎ ‎∴，，‎ ‎∴‎ ‎∴，.‎ ‎【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（I）求函数的最大值；‎ ‎（Ⅱ）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(I) 最大值为1. (Ⅱ) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）利用绝对值三角不等式求函数的最大值；（Ⅱ）利用函数f(x)的单调性化简得，再解不等式得解.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）函数可化为，‎ - 23 -‎ 由，‎ 即时“=”成立，‎ 所以原函数取得最大值为1.‎ ‎（Ⅱ）函数在上单调递增，‎ ‎∵，，，‎ ‎∴，‎ 即，‎ 所以，‎ ‎∴.‎ 即实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式，考查函数单调性的应用和绝对值不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ - 23 -‎ ‎ ‎ - 23 -‎