海南高考真题 数学2016

海南高考真题 数学2016

‎2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷二）‎ 理科数学 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎（1）已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）已知集合，，则 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（3）已知向量，且，则m=‎ ‎（A） （B） （C）6 （D）8‎ ‎（4）圆的圆心到直线 的距离为1，则a=‎ ‎（A） （B） （C） （D）2‎ ‎（5）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 ‎（A）24 （B）18 （C）12 （D）9‎ ‎（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 ‎（A）20π （B）24π （C）28π （D）32π 13‎ ‎（7）若将函数y=2sin 2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的，，依次输入的a为2，2，5，则输出的 ‎（A）7 （B）12 （C）17 （D）34‎ ‎（9）若，则=‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（10）从区间随机抽取2n个数,，…，，，，…，，构成n个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（11）已知，是双曲线E：的左，右焦点，点M在E上，与轴垂直，sin ,则E的离心率为 ‎（A） （B） （C） （D）2‎ ‎（12）已知函数满足，若函数与图像的交点 为，，⋯，，则（ ）‎ ‎（A）0 （B）m （C）2m （D）4m 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22~24题为选考题，考生根据要求作答．‎ 13‎ 二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).‎ ‎（13）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，‎ 则 ．‎ ‎（14），是两个平面，m，n是两条线，有下列四个命题：‎ ‎（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ‎ ‎（16）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线， ．‎ 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本题满分12分）‎ 为等差数列的前n项和，且记，其中表示不超过x的最大整数，如.‎ ‎（I）求；‎ ‎（II）求数列的前1 000项和.‎ ‎18.（本题满分12分）‎ 某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：‎ 上年度出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 保费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：‎ 一年内出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 概率 ‎0.30‎ ‎0.15‎ ‎0.20‎ ‎0.20‎ ‎0.10‎ ‎0. 05‎ ‎（I）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；‎ ‎（II）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；‎ 13‎ ‎（III）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E,F分别在AD,CD上，AE=CF=，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△的位置，.‎ ‎（I）证明：平面ABCD；‎ ‎（II）求二面角的正弦值.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知椭圆E:的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点，点N在E上，MA⊥NA.‎ ‎（I）当t=4，时，求△AMN的面积；‎ ‎（II）当时，求k的取值范围.‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ ‎(I)讨论函数 的单调性，并证明当 >0时， ‎ ‎(II)证明：当 时，函数 有最小值.设g（x）的最小值为，求函数 的值域.‎ 请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,‎ 13‎ 做答时请写清题号 ‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4-1：集合证明选讲 如图，在正方形ABCD，E,G分别在边DA,DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F.‎ ‎(I) 证明：B,C,E,F四点共圆；‎ ‎(II)若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.        ‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直线坐标系xoy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25. ‎ ‎（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；‎ ‎（II）直线l的参数方程是（t为参数）,l与C交于A、B两点，∣AB∣=，求l的斜率。‎ ‎（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲 已知函数f(x)= ∣x-∣+∣x+∣，M为不等式f(x) ＜2的解集.‎ ‎（I）求M；‎ ‎（II）证明：当a,b∈M时，∣a+b∣＜∣1+ab∣。‎ 13‎ ‎2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学答案 ‎1.【解析】A ‎∴，，∴，故选A．‎ ‎2.【解析】C ‎，‎ ‎∴，∴，故选C．‎ ‎3.【解析】D ‎ ，‎ ‎∵，∴ 解得， 故选D．‎ ‎4.【解析】A 圆化为标准方程为：，‎ 故圆心为，，解得，‎ 故选A．‎ ‎5.【解析】B 有种走法，有种走法，由乘法原理知，共种走法 故选B．‎ ‎6.【解析】C 几何体是圆锥与圆柱的组合体，‎ 设圆柱底面圆半径为，周长为，圆锥母线长为，圆柱高为．‎ 由图得，，由勾股定理得：，‎ ‎，故选C．‎ ‎7.【解析】B 平移后图像表达式为，‎ 令，得对称轴方程：，故选B．‎ ‎8.【解析】C ‎ 第一次运算：，‎ 第二次运算：，‎ 第三次运算：，‎ 故选C．‎ 13‎ ‎9.【解析】D∵，，故选D．‎ ‎ 10.【解析】C 由题意得：在如图所示方格中，‎ 而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中 由几何概型概率计算公式知，∴，故选C．‎ ‎11.【解析】A 离心率，由正弦定理得．故选A．‎ ‎12.【解析】B 由得关于对称，而也关于对称，‎ ‎∴对于每一组对称点 ，∴，故选B．‎ ‎13.【解析】 ‎ ‎∵，，，，，‎ 由正弦定理得：解得．‎ ‎14.【解析】②③④‎ ‎15.【解析】 ‎ 由题意得：丙不拿（2，3），若丙（1，2），则乙（2，3），甲（1，3）满足，‎ 若丙（1，3），则乙（2，3），甲（1，2）不满足，故甲（1，3），‎ ‎16.【解析】 ‎ 的切线为：（设切点横坐标为）的切线为：∴解得 ‎ ‎∴．‎ 13‎ 三.解答题 ‎17.（本题满分12分）‎ ‎【答案】（Ⅰ），， ；（Ⅱ）1893.‎ 试题解析：（Ⅰ）设的公差为，据已知有，解得 所以的通项公式为 ‎（Ⅱ）因为 所以数列的前项和为 ‎18.（本题满分12分）‎ 试题解析：（Ⅰ）设表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于1，故 ‎（Ⅱ）设表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于3，故 又，故 因此所求概率为 ‎ （Ⅲ）记续保人本年度的保费为，则的分布列为 因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为 13‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 试题解析：（I）由已知得，，又由得，故.‎ 因此，从而.由,得.‎ 由得.所以，.‎ 于是，，‎ 故.‎ 又，而，‎ 所以.‎ ‎（II）如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，.设是平面的法向量，则，即，所以可以取.设是平面的法向量，则，即，所以可以取 13‎ ‎.于是， .因此二面角的正弦值是.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 试题解析：（I）设，则由题意知，当时，的方程为，.‎ 由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.因此直线的方程为.‎ 将代入得.解得或，所以.‎ 因此的面积.‎ ‎（II）由题意，，.‎ 将直线的方程代入得.‎ 由得，故.‎ 由题设，直线的方程为，故同理可得，‎ 由得，即.‎ 当时上式不成立，‎ 因此.等价于，‎ 即.由此得，或，解得.‎ 13‎ 因此的取值范围是.‎ ‎21.本小题满分12分）‎ 试题解析：（Ⅰ）的定义域为.‎ 且仅当时，，所以在单调递增，‎ 因此当时，‎ 所以 ‎（II）‎ 由（I）知，单调递增，对任意 因此，存在唯一使得即，‎ 当时，单调递减；‎ 当时，单调递增.‎ 因此在处取得最小值，最小值为 于是，由单调递增 所以，由得 因为单调递增，对任意存在唯一的 使得所以的值域是 13‎ 综上，当时，有，的值域是 ‎22.‎ 试题解析：（I）因为,所以 则有 所以由此可得 由此所以四点共圆.‎ ‎（II）由四点共圆，知，连结，‎ 由为斜边的中点，知,故 因此四边形的面积是面积的2倍，即 ‎23.‎ 试题解析：（I）由可得的极坐标方程 ‎（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为 由所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得 于是 13‎ 由得，‎ 所以的斜率为或.‎ ‎24.‎ 试题解析：（I）‎ 当时，由得解得；‎ 当时， ；‎ 当时，由得解得.‎ 所以的解集.‎ ‎（II）由（I）知，当时，，从而 ‎，‎ 因此 13‎