中考数学压轴题三及解答

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中考数学压轴题三及解答

‎2010年中考数学压轴题(三)及解答 ‎55、(2010年河北省)25.(本小题满分12分)‎ M A D C B P Q E 图16‎ A D C B ‎(备用图)‎ M 如图16,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,,AD = 6,BC = 8,,点M是BC的中点.点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动,到达点B后立刻以原速度沿BM返回;点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动.在点P,Q的运动过程中,以PQ为边作等边三角形EPQ,使它与梯形ABCD在射线BC的同侧.点P,Q同时出发,当点P返回到点M时停止运动,点Q也随之停止.‎ 设点P,Q运动的时间是t秒(t>0).‎ ‎(1)设PQ的长为y,在点P从点M向点B运动的过程中,写出y与t之间的函数关系式(不必写t的取值范围).‎ ‎(2)当BP = 1时,求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积.‎ ‎(3)随着时间t的变化,线段AD会有一部分被△EPQ覆盖,被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值,请回答:该最大值能否持续一个时段?若能,直接写出t的取值范围;若不能,请说明理由.‎ ‎【解答】‎ ‎25.解:(1)y = 2t;(2)当BP = 1时,有两种情形:‎ ‎①如图6,若点P从点M向点B运动,有 MB = = 4,MP = MQ = 3,‎ A D C B P M Q E 图6‎ ‎∴PQ = 6.连接EM,‎ ‎∵△EPQ是等边三角形,∴EM⊥PQ.∴.‎ ‎∵AB = ,∴点E在AD上.‎ ‎∴△EPQ与梯形ABCD重叠部分就是△EPQ,其面 积为. ‎ ‎②若点P从点B向点M运动,由题意得 .‎ PQ = BM + MQBP = 8,PC = 7.设PE与AD交于点F,QE与AD或AD的 A D C B P M Q E F H G 图7‎ 延长线交于点G,过点P作PH⊥AD于点H,则 HP = ,AH = 1.在Rt△HPF中,∠HPF = 30°, ‎ ‎∴HF = 3,PF = 6.∴FG = FE = 2.又∵FD = 2,‎ ‎∴点G与点D重合,如图7.此时△EPQ与梯形ABCD ‎   的重叠部分就是梯形FPCG,其面积为.‎ ‎(3)能.4≤t≤5.‎ ‎56、(2010年河北省)26.(本小题满分12分)‎ 某公司销售一种新型节能产品,现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售.‎ 若只在国内销售,销售价格y(元/件)与月销量x(件)的函数关系式为y =x+150,‎ 成本为20元/件,无论销售多少,每月还需支出广告费62500元,设月利润为w内(元)(利润 = 销售额-成本-广告费).‎ 若只在国外销售,销售价格为150元/件,受各种不确定因素影响,成本为a元/件(a为 常数,10≤a≤40),当月销量为x(件)时,每月还需缴纳x2 元的附加费,设月利润为w外(元)(利润 = 销售额-成本-附加费).‎ ‎(1)当x = 1000时,y = 元/件,w内 = 元;‎ ‎(2)分别求出w内,w外与x间的函数关系式(不必写x的取值范围);‎ ‎(3)当x为何值时,在国内销售的月利润最大?若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同,求a的值;‎ ‎(4)如果某月要将5000件产品全部销售完,请你通过分析帮公司决策,选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大?‎ 参考公式:抛物线的顶点坐标是.‎ ‎【解答】‎ ‎26.解:(1)140 57500;‎ ‎(2)w内 = x(y -20)- 62500 = x2+130 x,‎ w外 = x2+(150)x.‎ ‎(3)当x = = 6500时,w内最大;分 由题意得 , ‎ 解得a1 = 30,a2 = 270(不合题意,舍去).所以 a = 30. ‎ ‎(4)当x  = 5000时,w内 = 337500, w外 =.‎ 若w内 < w外,则a<32.5;‎ 若w内 = w外,则a = 32.5;‎ 若w内 > w外,则a>32.5.‎ 所以,当10≤ a <32.5时,选择在国外销售;‎ 当a = 32.5时,在国外和国内销售都一样;‎ 当32.5< a ≤40时,选择在国内销售.‎ ‎57、(2010年河南省)22.(10分)‎ ‎(1)操作发现 如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE沿BE折叠后得到△GBE,且点G在举行ABCD内部.小明将BG延长交DC于点F,认为GF=DF,你同意吗?说明理由.‎ ‎(2)问题解决 保持(1)中的条件不变,若DC=2DF,求的值;‎ ‎(3)类比探求 保持(1)中条件不变,若DC=nDF,求的值.‎ ‎【解答】‎ ‎58、(2010年河南省)23.(11分)在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A,B,C三点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值.‎ ‎(3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线上的动点,判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.‎ ‎【解答】‎ ‎59、(2010年黑龙江省哈尔滨市)27.(本题 10分)‎ ‎ 如图,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,四边形AOCB是梯形,AB∥OC,点A的坐标为(0,8),点C的坐标为(10,0),OB=OC.‎ ‎ (1)求点B的坐标;‎ ‎ (2)点P从C点出发,沿线段CO以5个单位/秒的速度向终点O匀速运动,过点P作PH⊥OB,垂足为H,设△HBP的面积为S(S≠0),点P的运动时间为t秒,求S与t之间的函数关系式(直接写出自变量t的取值范围);‎ ‎ (3)在(2)的条件下,过点P作PM∥CB交线段AB于点M,过点M作MR⊥OC,垂足为R,线段MR分别交直线PH、OB于点E、G,点F为线段PM的中点,连接EF,当t为何值时,?‎ ‎ ‎ ‎【解答】‎ ‎60、(2010年黑龙江省哈尔滨市)28.(本题10分)‎ ‎ 已知:在△ABC中AB=AC,点D为BC边的中点,点F是AB边上一点,点E在线段DF的延长线上,∠BAE=∠BDF,点M在线段DF上,∠ABE=∠DBM.‎ ‎ (1)如图1,当∠ABC=45°时,求证:AE=MD;‎ ‎ (2)如图2,当∠ABC=60°时,则线段AE、MD之间的数量关系为: 。‎ ‎(3)在(2)的条件下延长BM到P,使MP=BM,连接CP,若AB=7,AE=,‎ 求tan∠ACP的值.‎ ‎【解答】‎ ‎61、(2010年黑龙江省齐齐哈尔市)27.(本小题满分10分) .为了抓住世博会商机,某商店决定购进A、B两种世博会纪念品.若购进A种纪念品10件,B种纪念品5件,需要1000元;若购进A种纪念品5件,B种纪念品3件,需要550元.‎ ‎ (1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元?‎ ‎ (2)若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品,考虑市场需求,要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍,且不超过B种纪念品数量的8倍,那么该商店共有几种进货方案?‎ ‎ (3)若销售每件A种纪念品可获利润20元,每件B种纪念品可获利润30元,在第(2)问的各种进货方案中,哪一种方案获利最大?最大利润是多少元?‎ ‎【解答】‎ 解:(1)设该商店购进一件A种纪念品需要a元,购进一件B种纪念品需要b元 ‎ 则 ………………………………………1分 ‎∴解方程组得 ………1分 ‎∴购进一件A种纪念品需要50元,购进一件B种纪念品需要100元 …………1分 ‎(2)设该商店购进A种纪念品x个,购进B种纪念品y个 ‎∴………………………………2分 解得20≤y≤25 ………………………………………………1分 ‎∵y为正整数 ∴共有6种进货方案………………………1分 ‎(3)设总利润为W元 ‎ W =20x+30y=20(200-2 y)+30y ‎ =-10 y +4000 (20≤y≤25) ………………………2分 ‎∵-10<0∴W随y的增大而减小 ‎∴当y=20时,W有最大值 …………………………………1分 W最大=-10×20+4000=3800(元)‎ ‎∴当购进A种纪念品160件,B种纪念品20件时,可获最大利润,最大利润是3800元 ……………………………1分 ‎62、(2010年黑龙江省齐齐哈尔市)28.(本小题满分10分) .如图,在平面直角坐标系中,函数y=2x+12的图象分别交x轴、y轴于A、B两点.过点A的直线交y轴正半轴于点M,且点M为线段OB的中点.△ABP△AOB ‎(1)求直线AM的解析式;‎ ‎(2)试在直线AM上找一点P,使得S△ABP=S△AOB ,请直 接写出点P的坐标;‎ ‎(3)若点H为坐标平面内任意一点,在坐标平面内是否存在这样的点H,使以A、B、M、H为顶点的四边形是等腰梯形?若存在,请直接写出点H的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【解答】‎ 解:(1)函数的解析式为y=2x+12 ∴A(-6,0),B(0,12) ………………1分 ‎∵点M为线段OB的中点 ∴M(0,6) ……………………………1分 设直线AM的解析式为:y=kx+b ‎ ‎∵ …………………………2分 ‎∴k=1 b=6 ………………………………………………………1分 ‎∴直线AM的解析式为:y=x+6 ………………………………………1分 ‎(2)P1(-18,-12),P2(6,12) ………………………………………………2分 ‎(3)H1(-6,18),H2(-12,0),H3(-,)………………………………3分 ‎63、(2010年湖北省恩施州)‎ ‎23.(10分)(1)计算:如图10①,直径为的三等圆⊙O、⊙O、⊙O两两外切,切点分别为A、B、C ,求OA的长(用含的代数式表示).‎ ‎(2) 探索:若干个直径为的圆圈分别按如图10②所示的方案一和如图10③所示的方案二的方式排放,探索并求出这两种方案中层圆圈的高度和(用含、的代数式表示).‎ ‎(3)应用:现有长方体集装箱,其内空长为‎5米,宽为‎3.1米,高为‎3.1米.用这样的集装箱装运长为‎5米,底面直径(横截面的外圆直径)为‎0.1米的圆柱形钢管,你认为采用(2)中的哪种方案在该集装箱中装运钢管数最多?并求出一个这样的集装箱最多能装运多少根钢管?(≈1.73)‎ ‎②‎ ‎ ③‎ ‎①‎ ‎ 图10‎ ‎【解答】‎ ‎23. 解(1)∵⊙O、⊙O、⊙O两两外切,‎ ‎ ∴OO=OO=OO=a ‎ 又∵OA= OA ‎ ∴OA⊥OO ………………………………………………1分 ‎ ∴OA= ‎ ‎= ……………………………………………3分 ‎(2) = ………………………4分 ‎ =, ………………………6分 (3) 方案二装运钢管最多。即:按图10③的方式排放钢管,放置根数最多.‎ 根据题意,第一层排放31根,第二层排放30根,……‎ 设钢管的放置层数为n,可得………………………8分 解得 ‎ ‎∵ 为正整数 ∴=35‎ 钢管放置的最多根数为:31×18+30×17=1068(根)…………………………10分 ‎64、(2010年湖北省恩施市)24.(12分) 如图11,在平面直角坐标系中,二次函数的图象与x轴交于A、B两点, A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,-3)点,点P是直线BC下方的抛物线上一动点.‎ ‎(1)求这个二次函数的表达式.‎ ‎(2)连结PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四边形POPC, 那么是否存在点P,使四边形POPC为菱形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎ 图11‎ ‎(3)当点P运动到什么位置时,四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.‎ ‎【解答】‎ ‎24、 解:(1)将B、C两点的坐标代入得 ……………………2分 解得: ‎ 所以二次函数的表达式为: ……………………………3分 ‎(2)存在点P,使四边形POPC为菱形.设P点坐标为(x,),‎ PP交CO于E 若四边形POPC是菱形,则有PC=PO.‎ 连结PP 则PE⊥CO于E,‎ ‎∴OE=EC=‎ ‎∴=.……………………………6分 ‎∴= ‎ 解得=,=(不合题意,舍去)‎ ‎∴P点的坐标为(,)…………………………8分 ‎(3)过点P作轴的平行线与BC交于点Q,与OB交于点F,设P(x,),‎ 易得,直线BC的解析式为 则Q点的坐标为(x,x-3).‎ ‎= ……………10分 当时,四边形ABPC的面积最大 此时P点的坐标为,四边形ABPC的 面积. ………………12分 ‎65、(2010年湖北省黄冈市)24.(11分)某同学从家里出发,骑自行车上学时,速度v(米/秒)与时间t(秒)的关系如图a,A(10,5),B(130,5),C(135,0).‎ ‎  (1)求该同学骑自行车上学途中的速度v与时间t的函数关系式;‎ ‎(2)计算该同学从家到学校的路程(提示:在OA和BC段的运动过程中的平均速度分别等于它们中点时刻的速度,路程=平均速度×时间);‎ ‎(3)如图b,直线x=t(0≤t≤135),与图a的图象相交于P、Q,用字母S表示图中阴影部分面积,试求S与t的函数关系式;‎ ‎(4)由(2)(3),直接猜出在t时刻,该同学离开家所超过的路程与此时S的数量关系.‎ ‎ 图a                    图b ‎【解答】‎ ‎24.(1) (2)2.5×10+5×120+2×5=635(米)‎ ‎(3)(4) 相等的关系 ‎66、(2010年湖北省黄冈市)25.(15分)已知抛物线顶点为C(1,1)且过原点O.过抛物线上一点P(x,y)向直线作垂线,垂足为M,连FM(如图).‎ ‎(1)求字母a,b,c的值;‎ ‎(2)在直线x=1上有一点,求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标,并证明此时△PFM为正三角形;‎ ‎(3)对抛物线上任意一点P,是否总存在一点N(1,t),使PM=PN恒成立,若存在请求出t值,若不存在请说明理由.‎ ‎【解答】‎ ‎25.(1)a=-1,b=2,c=0‎ ‎(2)过P作直线x=1的垂线,可求P的纵坐标为,横坐标为.此时,MP=MF=PF=1,故△MPF为正三角形.‎ ‎(3)不存在.因为当t<,x<1时,PM与PN不可能相等,同理,当t>,x>1时,PM与PN不可能相等.‎ ‎67、(2010年湖北省黄石市)24.(本小题满分9分)在△ABC中,分别以AB、BC为直径⊙O、⊙O,交于另一点D.‎ ⑴ 证明:交点D必在AC上;‎ ⑵ 如图甲,当⊙O与⊙O半径之比为4︰3,且DO与⊙O相切时,判断△ABC的形状,‎ 并求tan∠ODB的值;‎ ⑶ 如图乙,当⊙O经过点O,AB、DO的延长线交于E,且BE=BD时,求∠A的度数.‎ ‎【解答】‎ ‎68、(2010年湖北省黄石市)25.(本小题满分10分)已知抛物线与直线有两个交点A、B.‎ ⑴ 当AB的中点落在y轴时,求c的取值范围;‎ ⑵ 当AB=2,求c的最小值,并写出c取最小值时抛物线的解析式;‎ ⑶ 设点P(t ,T )在AB之间的一段抛物线上运动,S(t )表示△PAB的面积.‎ ① 当AB=2,且抛物线与直线的一个交点在y轴时,求S(t )的最大值,以及此时点P的坐标;‎ ② 当AB=m(正常数)时,S(t )是否仍有最大值,若存在,求出S(t )的最大值以及此时点P的坐标(t ,T )满足的关系,若不存在说明理由.‎ ‎ ‎ ‎【解答】‎ 第23题图 ‎69、(2010年湖北省荆门市)23.(本题满分10分)如图,圆O的直径为5,在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P,已知BC∶CA=4∶3,点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合),过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点 ‎(1)求证:AC·CD=PC·BC;‎ ‎(2)当点P运动到AB弧中点时,求CD的长;‎ ‎(3)当点P运动到什么位置时,△PCD的面积最大?并求这个最大面积S.‎ ‎【解答】‎ 第23题图 ‎23.解:(1)∵AB为直径,∴∠ACB=90°.又∵PC⊥CD,∴∠PCD=90°.‎ 而∠CAB=∠CPD,∴△ABC∽△PCD.∴.‎ ‎∴AC·CD=PC·BC;……………………………………………3分 ‎(2)当点P运动到AB弧中点时,过点B作BE⊥PC于点E.‎ ‎∵P是AB中点,∴∠PCB=45°,CE=BE=BC=2.‎ 又∠CAB=∠CPB,∴tan∠CPB=tan∠CAB=.∴PE===.‎ 从而PC=PE+EC=.由(1)得CD=PC=…………………………………7分 ‎(3)当点P在AB上运动时,S△PCD=PC·CD.由(1)可知,CD=PC.‎ ‎∴S△PCD=PC2.故PC最大时,S△PCD取得最大值;‎ 而PC为直径时最大,∴S△PCD的最大值S=×52=.………………………………10分 第24题图 ‎70、(2010年湖北省荆门市)24.(本题满分12分)已知:如图一次函数y=x+1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B;二次函数y=x2+bx+c的图象与一次函数y=x+1的图象交于B、C两点,与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1,0)‎ ‎(1) 求二次函数的解析式;‎ ‎(2) 求四边形BDEC的面积S;‎ ‎(3) 在x轴上是否存在点P,使得△PBC是以P为直角顶点的直角 三角形?若存在,求出所有的点P,若不存在,请说明理由.‎ ‎【解答】‎ ‎24.解:(1)将B(0,1),D(1,0)的坐标代入y=x2+bx+c得 得解析式y=x2-x+1……………………………………………………3分 ‎(2)设C(x0,y0),则有 解得∴C(4,3).………………………6分 第24题图 由图可知:S=S△ACE-S△ABD.又由对称轴为x=可知E(2,0).‎ ‎∴S=AE·y0-AD×OB=×4×3-×3×1=…………8分 ‎(3)设符合条件的点P存在,令P(a,0):‎ 当P为直角顶点时,如图:过C作CF⊥x轴于F.‎ ‎∵Rt△BOP∽Rt△PFC,∴.即.‎ 整理得a2-‎4a+3=0.解得a=1或a=3‎ ‎∴所求的点P的坐标为(1,0)或(3,0)‎ 综上所述:满足条件的点P共有二个………………………………………………………12分 ‎71、(2010年湖北省荆州市)23.(10分)国家推行“节能减排,低碳经济”政策后,某环保节能设备生产企业的产品供不应求.若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围,每套产品的生产成本不高于50万元,每套产品的售价不低于90万元.已知这种设备的月产量x(套)与每套的售价(万元)之间满足关系式,月产量x(套)与生产总成本(万元)存在如图所示的函数关系.‎ ‎ (1)直接写出与x之间的函数关系式;‎ ‎ (2)求月产量x的范围;‎ ‎ (3)当月产量x(套)为多少时,‎ 这种设备的利润W(万元)最大?最大利润是多少?‎ ‎【解答】‎ ‎23.解:(1) (2分)‎ ‎(2)依题意得: (4分)‎ 解得:25≤x≤40 (6分)‎ ‎(3)∵‎ ‎∴ (8分)‎ 而25<35<40, ∴当x=35时,‎ 即,月产量为35件时,利润最大,最大利润是1950万元.         (10分)‎ ‎72、(2010年湖北省荆州市)24.(12分)如图,直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点,边OA,OC分别在x轴、y轴的正半轴上,OA∥BC,D是BC上一点,BD=OA=,AB=3,∠OAB=45°,E、F分别是线段OA、AB上的两动点,且始终保持∠DEF=45°.‎ ‎(1)直接写出D点的坐标;‎ ‎(2)设OE=x,AF=y,试确定y与x之间的函数关系;‎ ‎(3)当△AEF是等腰三角形时,将△AEF沿EF折叠,得到△,求△与五边形OEFBC重叠部分的面积.‎ ‎【解答】‎ ‎24.解:(1)D点的坐标是. (2分)‎ ‎(2)连结OD,如图(1),由结论(1)知:D在∠COA的平分线上,则 ‎∠DOE=∠COD=45°,又在梯形DOAB中,∠BAO=45°,∴OD=AB=3‎ 由三角形外角定理得:∠1=∠DEA-45°,又∠2=∠DEA-45°‎ ‎∴∠1=∠2, ∴△ODE∽△AEF (4分)‎ ‎∴,即:‎ ‎∴y与x的解析式为:‎ ‎ (6分)‎ ‎(3)当△AEF为等腰三角形时,存在EF=AF或EF=AE或AF=AE共3种情况.‎ ‎①当EF=AF时,如图(2).∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°,‎ ‎∴△AEF为等腰直角三角形.D在A’E上(A’E⊥OA),‎ B在A’F上(A’F⊥EF)‎ ‎∴△A’EF与五边形OEFBC重叠的面积为 四边形EFBD的面积.‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴(也可用) (8分)‎ ‎ ‎ ‎②当EF=AE时,如图(3),此时△A’EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A’EF面积.‎ ‎∠DEF=∠EFA=45°, DE∥AB , 又DB∥EA ‎∴四边形DEAB是平行四边形 ‎∴AE=DB=‎ ‎∴‎ ‎ (10分)‎ ‎③当AF=AE时,如图(4),四边形AEA’F为菱形且△A’EF在五边形OEFBC内.‎ ‎ ∴此时△A’EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A’EF面积.‎ ‎ 由(2)知△ODE∽△AEF,则OD=OE=3‎ ‎ ∴AE=AF=OA-OE=‎ ‎ 过F作FH⊥AE于H,则 ‎∴‎ 综上所述,△A’EF与五边形OEFBC重叠部分的面积为或1或 (12分)‎ O1‎ O2‎ A B C ‎ 73、(2010年湖北省十堰市) 24.(本小题满分9分)如图,已知⊙O1与⊙O2都过点A,AO1是⊙O2的切线,⊙O1交O1O2于点B,连结AB并延长交⊙O2于点C,连结O‎2C.‎ ‎(1)求证:O‎2C⊥O1O2;‎ ‎(2)证明:AB·BC=2O2B·BO1;‎ ‎(3)如果AB·BC=12,O‎2C=4,求AO1的长.‎ ‎【解答】‎ 解:(1)∵AO1是⊙O2的切线,∴O‎1A⊥AO2 ∴∠O2AB+∠BAO1=90°‎ 又O‎2A=O‎2C,O‎1A=O1B,∴∠O2CB=∠O2AB,∠O2BC=∠ABO1=∠BAO1‎ ‎∴∠O2CB+∠O2BC=∠O2AB+∠BAO1=90°,∴O‎2C⊥O2B,即O‎2C⊥O1O2‎ O1‎ O2‎ A B C D ‎(2)延长O2O1交⊙O1于点D,连结AD.‎ ‎∵BD是⊙O1直径,∴∠BAD=90°‎ 又由(1)可知∠BO‎2C=90°‎ ‎∴∠BAD=∠BO‎2C,又∠ABD=∠O2BC ‎∴△O2BC∽△ABD ‎∴ , ∴AB·BC=O2B·BD 又BD=2BO1 , ∴AB·BC=2O2B·BO1‎ ‎(3)由(2)证可知∠D=∠C=∠O2AB,即∠D=∠O2AB,又∠AO2B=∠DO‎2A ‎∴△AO2B∽△DO‎2A, ∴ , ∴AO22=O2B·O2D , ∵O‎2C=O‎2A ‎∴O‎2C2=O2B·O2D ① 又由(2)AB·BC=O2B·BD ②‎ 由①-②得,O‎2C2-AB·BC= O2B2 即42-12=O1B2‎ ‎∴O2B=2,又O2B·BD=AB·BC=12 , ∴BD=6,∴2AO1=BD=6 ∴AO1=3‎ ‎ 74、(2010年湖北省十堰市) 25.(本小题满分10分)已知关于x的方程mx2-(‎3m-1)x+‎2m-2=0‎ ‎(1)求证:无论m取任何实数时,方程恒有实数根.‎ ‎(2)若关于x的二次函数y= mx2-(‎3m-1)x+‎2m-2的图象与x轴两交点间的距离为2时,求抛物线的解析式.‎ ‎(3)在直角坐标系xoy中,画出(2)中的函数图象,结合图象回答问题:当直线y=x+b与(2)中的函数图象只有两个交点时,求b的取值范围.‎ ‎【解答】‎ 解:(1)分两种情况讨论:‎ ‎①当m=0 时,方程为x-2=0,∴x=2 方程有实数根 ‎②当m≠0时,则一元二次方程的根的判别式 ‎△=[-(‎3m-1)]2-‎4m(‎2m-2)=m2+‎2m+1=(m+1)2≥0‎ 不论m为何实数,△≥0成立,∴方程恒有实数根 综合①②,可知m取任何实数,方程mx2-(‎3m-1)x+‎2m-2=0恒有实数根.‎ ‎(2)设x1,x2为抛物线y= mx2-(‎3m-1)x+‎2m-2与x轴交点的横坐标.‎ 则有x1+x2=,x1·x2=‎ 由| x1-x2|====,‎ 由| x1-x2|=2得=2,∴=2或=-2‎ ‎∴m=1或m=‎ ‎∴所求抛物线的解析式为:y1=x2-2x或y2=x2+2x- 即y1= x(x-2)或y2=(x-2)(x-4)其图象如右图所示.‎ ‎(3)在(2)的条件下,直线y=x+b与抛物线y1,y2组成的图象只有两个交点,结合图象,求b的取值范围.‎ ‎,当y1=y时,得x2-3x-b=0,△=9+4b=0,解得b=-;‎ 同理,可得△=9-4(8+3b)=0,得b=-.‎ 观察函数图象可知当b<-或b>-时,直线y=x+b与(2)中的图象只有两个交点.‎ 由, 当y1=y2时,有x=2或x=1 ‎ 当x=1时,y=-1‎ 所以过两抛物线交点(1,-1),(2,0)的直线y=x-2,‎ 综上所述可知:当b<-或b>-或b=-2时,直线y=x+b与(2)中的图象只有两个交点.‎ ‎75、(2010年湖北省武汉市)24. (本题满分10分) 已知:线段OA^OB,点C为OB中点,D为线段OA上一点。连结AC,BD交于点P。‎ ‎ (1) 如图1,当OA=OB,且D为OA中点时,求的值;‎ ‎ (2) 如图2,当OA=OB,且=时,求tanÐBPC的值;‎ ‎ (3) 如图3,当AD:AO:OB=1:n:2时,直接写出tanÐBPC的值。‎ A B C D P O D C O P A B D C O P A B 圖1‎ 圖2‎ 圖3‎ ‎【解答】‎ A B C D P O E ‎24. 解:(1) 延长AC至点E,使CE=CA,连接BE,∵C为OB中点,‎ ‎ ∴△BCE@△OCA,∴BE=OA,ÐE=ÐOAC,∴BE//OA,‎ ‎ ∴△APD~△EPB,∴=。又∵D为OA中点,‎ ‎ OA=OB,∴==。∴==,∴=2。‎ D C O P H A B ‎ (2) 延长AC至点H,使CH=CA,连结BH,∵C为OB中点,‎ ‎ ∴△BCH@△OCA,∴ÐCBH=ÐO=90°,BH=OA。由=,‎ ‎ 设AD=t,OD=3t,则BH=OA=OB=4t。在Rt△BOD中,‎ ‎ BD==5t,∵OA//BH,∴△HBP~△ADP,‎ ‎ ∴===4。∴BP=4PD=BD=4t,∴BH=BP。‎ ‎ ∴tanÐBPC=tanÐH===。‎ ‎ (3) tanÐBPC=。‎ P M Q A B O y x ‎76、(湖北省武汉市)25. (本题满分12分) 如图,拋物线y1=ax2-2ax+b经过A(-1,0),‎ ‎ C(2,)两点,与x轴交于另一点B;‎ ‎ (1) 求此拋物线的解析式;‎ ‎ (2) 若拋物线的顶点为M,点P为线段OB上一动点(不与点 ‎ B重合),点Q在线段MB上移动,且ÐMPQ=45°,设线 ‎ 段OP=x,MQ=y2,求y2与x的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围;‎ ‎ (3) 在同一平面直角坐标系中,两条直线x=m,x=n分别与拋物线交于点E,G,与(2)中的 ‎ 函数图像交于点F,H。问四边形EFHG能否为平行四边形?若能,求m,n之间的数量 ‎ 关系;若不能,请说明理由。‎ ‎【解答】‎ ‎25. 解:(1) ∵拋物线y1=ax2-2ax+b经过A(-1,0),C(0,)两点,∴,∴a= -,‎ ‎ b=,∴拋物线的解析式为y1= -x2+x+。‎ P M Q A B O y x N ‎ (2) 作MN^AB,垂足为N。由y1= -x2+x+易得M(1,2),‎ ‎ N(1,0),A(-1,0),B(3,0),∴AB=4,MN=BN=2,MB=2,‎ ‎ ÐMBN=45°。根据勾股定理有BM 2-BN 2=PM 2-PN 2。‎ ‎ ∴(2)2-22=PM2= -(1-x)2…j,又ÐMPQ=45°=ÐMBP,‎ ‎ ∴△MPQ~△MBP,∴PM2=MQ´MB=y2´2…k。‎ ‎ 由j、k得y2=x2-x+。∵0£x<3,∴y2与x的函数关系式为y2=x2-x+(0£x<3)。‎ O E F G H x y ‎ (3) 四边形EFHG可以为平行四边形,m、n之间的数量关系是 ‎ m+n=2(‎0£m£2,且m¹1)。∵点E、G是抛物线y1= -x2+x+ ‎ 分别与直线x=m,x=n的交点,∴点E、G坐标为 ‎ E(m,-m‎2+m+),G(n,-n2+n+)。同理,点F、H坐标 ‎ 为F(m,m‎2-m+),H(n,n2-n+)。‎ ‎ ∴EF=m‎2-m+-(-m‎2+m+)=m2-‎2m+1,GH=n2-n+-(-n2+n+)=n2-2n+1。‎ ‎ ∵四边形EFHG是平行四边形,EF=GH。∴m2-‎2m+1=n2-2n+1,∴(m+n-2)(m-n)=0。‎ ‎ 由题意知m¹n,∴m+n=2 (‎0£m£2,且m¹1)。‎ ‎ 因此,四边形EFHG可以为平行四边形,m、n之间的数量关系是m+n=2 (‎0£m£2,且m¹1)。‎ ‎77、(2010年湖北省咸宁市)23.(本题满分10分)‎ O y/km ‎90‎ ‎30‎ a ‎0.5‎ ‎3‎ P ‎(第23题)‎ 甲 乙 x/h 在一条直线上依次有A、B、C三个港口,甲、乙两船同时分别从A、B港口出发,沿直线匀速驶向C港,最终达到C港.设甲、乙两船行驶x(h)后,与B港的距离分别为、(km),、与x的函数关系如图所示.‎ ‎(1)填空:A、C两港口间的距离为 km, ;‎ ‎(2)求图中点P的坐标,并解释该点坐标所表示的实际意义;‎ ‎(3)若两船的距离不超过‎10 km时能够相互望见,求甲、乙两船 可以相互望见时x的取值范围.‎ ‎【解答】‎ ‎23.解:(1)120,;……2分 ‎(2)由点(3,90)求得,.‎ 当>0.5时,由点(0.5,0),(2,90)求得,.……3分 当时,,解得,.‎ 此时.所以点P的坐标为(1,30).……5分 该点坐标的意义为:两船出发1 h后,甲船追上乙船,此时两船离B港的距离为‎30 km.…6分 求点P的坐标的另一种方法:‎ 由图可得,甲的速度为(km/h),乙的速度为(km/h).‎ 则甲追上乙所用的时间为(h).此时乙船行驶的路程为(km).‎ 所以点P的坐标为(1,30).‎ ‎(3)①当≤0.5时,由点(0,30),(0.5,0)求得,.‎ 依题意,≤10. 解得,≥.不合题意.……7分 ‎②当0.5<≤1时,依题意,≤10.‎ 解得,≥.所以≤≤1.……8分 ‎③当>1时,依题意,≤10.‎ 解得,≤.所以1<≤.……9分 综上所述,当≤≤时,甲、乙两船可以相互望见.……10分 ‎78、(2010年湖北省咸宁市)24.(本题满分12分)‎ 如图,直角梯形ABCD中,AB∥DC,,,.动点M以每秒1个单位长的速度,从点A沿线段AB向点B运动;同时点P以相同的速度,从点C沿折线C-D-A向点A运动.当点M到达点B时,两点同时停止运动.过点M作直线l∥AD,与线段CD的交点为E,与折线A-C-B的交点为Q.点M运动的时间为t(秒).‎ ‎(1)当时,求线段的长;‎ ‎(2)当0<t<2时,如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形,求t的值;‎ ‎(3)当t>2时,连接PQ交线段AC于点R.请探究是否为定值,若是,试求这个定值;若不是,请说明理由.‎ A B C D ‎(备用图1)‎ A B C D ‎(备用图2)‎ Q A B C D l M P ‎(第24题)‎ E ‎【解答】‎ ‎24.解:(1)过点C作于F,则四边形AFCD为矩形.‎ Q A B C D l M P ‎(第24题)‎ E F ‎∴,.‎ 此时,Rt△AQM∽Rt△ACF.……2分 ‎∴.‎ 即,∴.……3分 ‎(2)∵为锐角,故有两种情况:‎ ‎①当时,点P与点E重合.‎ 此时,即,∴.……5分 A B C D ‎(备用图1)‎ Q P E l M ‎②当时,如备用图1,‎ 此时Rt△PEQ∽Rt△QMA,∴.‎ 由(1)知,,‎ 而,‎ ‎∴. ∴.‎ 综上所述,或.……8分(说明:未综述,不扣分)‎ ‎(3)为定值.……9分 当>2时,如备用图2,‎ A B C D ‎(备用图2)‎ M Q R F P ‎.‎ 由(1)得,.‎ ‎∴. ∴.‎ ‎∴. ∴.‎ ‎∴四边形AMQP为矩形. ∴∥.……11分 ‎∴△CRQ∽△CAB.‎ ‎∴.……12分 ‎79、(2010年湖北省宜昌市)23.如图①,P是△ABC边AC上的动点,以P为顶点作矩形PDEF,顶点D,E在边BC上,顶点F在边AB上;△ABC的底边BC及BC上的高的长分别为a , h,且是关于x的一元二次方程的两个实数根,设过D,E,F三点的⊙O的面积为,矩形PDEF的面积为。‎ ‎(1)求证:以a+h为边长的正方形面积与以a、h为边长的矩形面积之比不小于4;‎ ‎(2)求的最小值;‎ ‎(3)当的值最小时,过点A作BC的平行线交直线BP与Q,这时线段AQ的长与m , n , k的取值是否有关?请说明理由。(11分)‎ A C B ‎(第23题)‎ ‎【解答】‎ ‎23.解:解法一:‎ ‎(1)据题意,∵a+h=.‎ ‎∴所求正方形与矩形的面积之比: ‎ ‎ 1分 由知同号, ‎ ‎ 2分 ‎(说明:此处未得出只扣1分, 不再影响下面评分)‎ ‎ 3分 即正方形与矩形的面积之比不小于4.‎ ‎(2)∵∠FED=90º,∴DF为⊙O的直径.‎ ‎⊙‎ ‎∴⊙O的面积为:. 4分 矩形PDEF的面积:.‎ ‎⊙‎ ‎∴面积之比: 设 ‎⊙‎ ‎……………………………………………………………6分 ‎, ‎ ‎⊙‎ ‎,即时(EF=DE), 的最小值为 7分 ‎⊙‎ ‎(3)当的值最小时,这时矩形PDEF的四边相等为正方形.‎ 过B点过BM⊥AQ,M为垂足,BM交直线PF于N点,设FP= e,‎ ‎∵BN∥FE,NF∥BE,∴BN=EF,∴BN =FP =e.‎ 由BC∥MQ,得:BM =AG =h.‎ ‎∵AQ∥BC, PF∥BC, ∴AQ∥FP,‎ ‎∴△FBP∽△ABQ. 8分 M N ‎(说明:此处有多种相似关系可用,要同等分步骤评分)‎ ‎∴,……9分 ‎∴.∴……10分 ‎……11分 ‎∴线段AQ的长与m,n,k的取值有关. ‎ ‎(解题过程叙述基本清楚即可)‎ 解法二:‎ ‎(1)∵a,h为线段长,即a,h都大于0,‎ ‎ ∴ah>0…………1分(说明:此处未得出只扣1分,再不影响下面评分)‎ ‎ ∵(a-h)2≥0,当a=h时等号成立.‎ ‎     故,(a-h)2=(a+h)2-‎4a h≥0. 2分 ‎    ∴(a+h)2≥‎4a h,‎ ‎    ∴≥4.(﹡) 3分 ‎      这就证得≥4.(叙述基本明晰即可)‎ ‎(2)设矩形PDEF的边PD=x,DE=y,则⊙O的直径为 .‎ ‎ S⊙O=…………4分, S矩形PDEF=xy ‎⊙‎ ‎= ‎ ‎= 6分 由(1)(*), .‎ ‎.‎ ‎⊙‎ ‎∴的最小值是 7分 ‎⊙‎ ‎(3)当的值最小时,‎ 这时矩形PDEF的四边相等为正方形. ‎ ‎∴EF=PF.作AG⊥BC,G为垂足.‎ ‎∵△AGB∽△FEB,∴.……8分 ‎∵△AQB∽△FPB, ,……9分 ‎∴=.‎ 而 EF=PF,∴AG=AQ=h, ……………10分 ‎∴AG=h=,‎ 或者AG=h= 11分 ‎∴线段AQ的长与m,n,k的取值有关. ‎ ‎(解题过程叙述基本清楚即可)‎ ‎80、(2010年湖北省宜昌市)24.(12分)如图,直线y=hx+d与x轴和y轴分别相交于点A(-1,0),B(0,1),与双曲线y=在第一象限相交于点C;以AC为斜边、为内角的直角三角形,与以CO为对角线、一边在x轴上的矩形面积相等;点C,P在以B为顶点的抛物线y=上;直线y=hx+d、双曲线y=和抛物线同时经过两个不同的点C,D。‎ ‎(1)确定t的值 ‎(2)确定m , n , k的值 ‎(3)若无论a , b , c取何值,抛物线都不经过点P,请确定P的坐标 ‎ (第24题)‎ ‎【解答】‎ ‎24.解:(1)直线过点A,B,则0=-h+d和1=d,即y=x+1. 1分 双曲线y=经过点C(x1,y1),x1y1=t.‎ ‎ 以AC为斜边,∠CAO为内角的直角三角形的面积为×y1×(1+x1);‎ 以CO为对角线的矩形面积为x1y1,‎ ‎×y1×(1+x1)=x1y1,因为x1,y1都不等于0,故得x1=1,所以y1=2.‎ 故有,,即t=2. 2分 ‎(2)∵B是抛物线y=mx2+nx+k的顶点,∴有- ,‎ 得到n=0,k=1. 3分 ‎∵C是抛物线y=mx2+nx+k上的点,∴有2=m(1)2+1,得m=1. 4分 ‎(3)设点P的横坐标为p,则纵坐标为p2+1.‎ ‎∵抛物线y=ax2+bx+c经过两个不同的点C,D,‎ 其中求得D点坐标为(-2,-1). 5分.‎ 解法一:‎ 故 2=a+b+c,‎ ‎-1=‎4a-2b+c. ‎ 解之得,b=a+1, c=1-‎2a. 6分 ‎(说明:如用b表示a,c,或用c表示a,b,均可,后续参照得分)‎ ‎∴y=ax2+( a+1)x+(1-‎2a ) ‎ 于是: p2+1≠a p2+(a+1)p+(1-‎2a) 7分 ‎∴无论a取什么值都有p2-p≠(p2+p-2)a. 8分[来源:学+科+网Z+X+X+K]‎ ‎(或者,令p2-p=(p2+p-2)a 7分 ‎∵抛物线y=ax2+bx+c不经过P点,‎ ‎∴此方程无解,或有解但不合题意 8分) ‎ ‎.‎ 故∵a≠0,∴①‎ 解之p=0,p=1,并且p≠1,p≠-2.得p=0. 9分 ‎∴符合题意的P点为(0,1). …………10分 ‎②,解之p=1,p=-2,并且p≠0,p≠1.‎ 得p=-2. 11分 符合题意的P点为(-2,5). 12分 ‎∴符合题意的P点有两个(0,1)和(-2,5).‎ 解法二:‎ 则有(a-1)p2+(a+1) p-‎2a=0 7分 即〔(a-1)p+2a〕(p-1)=0‎ 有p-1=0时,得p=1,为(1,2)此即C点,在y=ax2+bx+c上. 8分 或(a-1)p+‎2a=0,即(p+2)a=p 当p=0时a=0与a≠0矛盾 9分 得点P(0,1) 10分 或者p=-2时,无解 11分[来源:学科网]‎ 得点P(-2,5) 12分 故对任意a,b,c,抛物线y=ax2+bx+c都不经过(0,1)和(-2,5)‎ 解法三:‎ 如图, 抛物线y=ax2+bx+c不经过直线CD上除C,D外的其他点.‎ ‎(只经过直线CD上的C,D点). 6分 由 7分 解得交点为C(1,2),B(0,1).‎ 故符合题意的点P为(0,1). 8分 抛物线y=ax2+bx+c不经过直线x=-2上除D外的其他点. 9分 y x 由 10分 解得交点P为(-2,5).……11分 抛物线y=ax2+bx+c不经过直线x=1上除C外的其他点,‎ 而解得交点为C(1,2). ……12分 故符合条件的点P为(0,1)或(-2,5).‎ O ‎(说明:1.仅由图形看出一个点的坐标给1分,二个看 出来给2分. 2.解题过程叙述基本清楚即可)‎
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