【数学】2019届高考一轮复习北师大版理8-5直线、平面垂直的判定与性质学案

【数学】2019届高考一轮复习北师大版理8-5直线、平面垂直的判定与性质学案

第5讲　直线、平面垂直的判定与性质 ‎1．直线与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b ‎2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 ⇒l⊥α ‎3.空间角 ‎(1)直线与平面所成的角 ‎①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角．‎ ‎②线面角θ的范围：θ∈．‎ ‎(2)二面角 ‎①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫做二面角的面．‎ 如图的二面角，可记作：二面角αlβ或二面角PABQ．‎ ‎②二面角的平面角 如图，过二面角αlβ的棱l上一点O在两个半平面内分别作BO⊥l，AO⊥l，则∠AOB就叫做二面角αlβ的平面角．‎ ‎③二面角的范围 设二面角的平面角为θ，则θ∈[0，π]．‎ ‎④当θ＝时，二面角叫做直二面角．‎ ‎ 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.(　　)‎ ‎(2)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　　)‎ ‎(3)设m，n是两条不同的直线，α是一个平面，若m∥n，m⊥α，则n⊥α.(　　)‎ ‎(4)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(　　)‎ ‎(5)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×‎ ‎ (教材习题改编)线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为(　　)‎ A．30°　　　　　　　　　 B．45°‎ C．60° D．120°‎ 解析：选C.如图，AC⊥α，AB∩α＝B，则BC是AB在平面α内的射影，则BC＝AB，所以∠ABC＝60°，它是AB与平面α所成的角．‎ ‎ 已知平面α，β，直线l，若α⊥β，α∩β＝l，则(　　)‎ A．垂直于平面β的平面一定平行于平面α B．垂直于直线l的直线一定垂直于平面α C．垂直于平面β的平面一定平行于直线l D．垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直 解析：选D.垂直于平面β的平面与平面α重合、平行或相交，故A不正确；垂直于直线l的直线若在平面β内，则一定垂直于平面α，否则不一定，故B不正确；垂直于平面β的平面可能垂直于直线l，故C不正确；由面面垂直的判定定理知，垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直，故D正确．‎ ‎ 设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的________条件．(填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”)‎ 解析：若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.‎ 答案：充分不必要 ‎ (教材习题改编)P为△ABC所在平面外一点，且PA、PB、PC两两垂直，则下列结论：‎ ‎①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC，其中正确的个数是________．‎ 解析：如图所示．因为PA⊥PC，PA⊥PB，PC∩PB＝P，所以PA⊥平面PBC.又因为BC⊂平面PBC，所以PA⊥BC.同理，PB⊥AC，PC⊥AB.但AB不垂直于BC.‎ 答案：3‎ ‎　　　　　　线面垂直的判定与性质 ‎ [典例引领]‎ ‎ 如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：‎ ‎(1)CD⊥AE；‎ ‎(2)PD⊥平面ABE.‎ ‎【证明】　(1)在四棱锥PABCD中，‎ 因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，‎ 所以PA⊥CD.‎ 因为AC⊥CD，PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.‎ 而AE⊂平面PAC，所以CD⊥AE.‎ ‎(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.‎ 因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.‎ 由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，‎ 所以AE⊥平面PCD.‎ 而PD⊂平面PCD，所以AE⊥PD.‎ 因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB.‎ 又因为AB⊥AD且PA∩AD＝A，‎ 所以AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，‎ 所以AB⊥PD.又因为AB∩AE＝A，‎ 所以PD⊥平面ABE.‎ ‎(1)判定线面垂直的四种方法 ‎(2)判定线线垂直的四种方法 ‎　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．(2017·高考全国卷Ⅲ)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则(　　)‎ A．A1E⊥DC1　　　　　　　 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC 解析：选C.由正方体的性质，得A1B1⊥BC1，B1C⊥BC1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E⊂平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1，故选C.‎ ‎2．S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．‎ ‎(1)求证：SD⊥平面ABC；‎ ‎(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.‎ 证明：(1)如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，‎ 在Rt△ABC中，D、E分别为AC、AB的中点，‎ 所以DE∥BC，所以DE⊥AB，‎ 因为SA＝SB，所以△SAB为等腰三角形，‎ 所以SE⊥AB.‎ 又SE∩DE＝E，‎ 所以AB⊥平面SDE.‎ 又SD⊂平面SDE，所以AB⊥SD.‎ 在△SAC中，SA＝SC，D为AC的中点，‎ 所以SD⊥AC.‎ 又AC∩AB＝A，所以SD⊥平面ABC.‎ ‎(2)由于AB＝BC，则BD⊥AC，‎ 由(1)可知，SD⊥平面ABC，‎ 又BD⊂平面ABC，所以SD⊥BD，‎ 又SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.‎ ‎　　　　　　面面垂直的判定与性质 ‎[典例引领]‎ ‎ (2017·高考山东卷)由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱锥C1B1CD1后得到的几何体如图所示．四边形ABCD为正方形，O为AC与BD 的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD.‎ ‎(1)证明：A1O∥平面B1CD1; ‎ ‎(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.‎ ‎【证明】　(1)取B1D1的中点O1，连接CO1，A1O1，‎ 由于ABCDA1B1C1D1是四棱柱，‎ 所以A1O1∥OC，A1O1＝OC，‎ 因此四边形A1OCO1为平行四边形，‎ 所以A1O∥O1C，‎ 又O1C⊂平面B1CD1，A1O⊄平面B1CD1，‎ 所以A1O∥平面B1CD1.‎ ‎(2)因为AC⊥BD，E，M分别为AD和OD的中点，‎ 所以EM⊥BD，‎ 又A1E⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，‎ 所以A1E⊥BD，‎ 因为B1D1∥BD，‎ 所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1，‎ 又A1E，EM⊂平面A1EM，A1E∩EM＝E，‎ 所以B1D1⊥平面A1EM，‎ 又B1D1⊂平面B1CD1，‎ 所以平面A1EM⊥平面B1CD1.‎ 证明面面垂直的两种常用方法 ‎(1)用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；‎ ‎(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题．如通关练习1.　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．如图，将边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE翻折，连接AC，FD，形成如图所示的多面体，且AC＝.‎ 证明：平面ABEF⊥平面BCDE.‎ 证明：在正六边形 ABCDEF中，连接AC，BE，交点为G，易知AC⊥BE，且AG＝CG＝，‎ 所以∠AGC为二面角ABEC的平面角，‎ 由AC＝，知AG2＋CG2＝AC2，故AG⊥GC，‎ 所以∠AGC＝90°，‎ 所以平面ABEF⊥平面BCDE.‎ ‎2．(2017·高考北京卷)如图，在三棱锥PABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．‎ ‎(1)求证：PA⊥BD；‎ ‎(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；‎ ‎(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积．‎ 解：(1)证明：因为PA⊥AB，PA⊥BC，‎ 所以PA⊥平面ABC.‎ 又因为BD⊂平面ABC，‎ 所以PA⊥BD.‎ ‎(2)证明：因为AB＝BC，D为AC的中点，‎ 所以BD⊥AC.‎ 由(1)知，PA⊥BD，‎ 所以BD⊥平面PAC.‎ 所以平面BDE⊥平面PAC.‎ ‎(3)因为PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝DE，‎ 所以PA∥DE.‎ 因为D为AC的中点，‎ 所以DE＝PA＝1，BD＝DC＝.‎ 由(1)知，PA⊥平面ABC，‎ 所以DE⊥平面ABC.‎ 所以三棱锥EBCD的体积V＝BD·DC·DE＝.‎ ‎　　　　　　空间位置关系的求解与证明 (高频考点)‎ 空间位置关系的求解与证明是每年高考的必考内容，题型多为解答题，属中档题．高考对空间位置关系的求解与证明的考查常有以下四个命题角度：‎ ‎(1)空间平行与垂直关系的证明；‎ ‎(2)空间中的证明与计算；‎ ‎(3)折叠问题中的平行、垂直关系；‎ ‎(4)探索性问题中的平行、垂直关系．(参阅上节考点三)．‎ ‎ [典例引领]‎ 角度一　空间平行与垂直关系的证明 ‎ 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝2AA1＝2AC＝2，∠ABC＝30°.‎ ‎(1)求证：平面A1BC⊥平面AA1C1C；‎ ‎(2)若点D是棱AC的中点，点F在线段AC1上，且AC1＝3FC1，求证：平面B1CF∥平面A1BD.‎ ‎【证明】　(1)在三棱柱ABCA1B1C1中，‎ 因为AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，‎ 所以AA1⊥BC.‎ 在△ABC中，因为AB＝2AC＝2，且∠ABC＝30°，‎ 根据正弦定理，得＝，‎ 所以sin∠ACB＝1，因为0°<∠ACB<180°，‎ 所以∠ACB＝90°，即AC⊥BC.‎ 又AC∩AA1＝A，‎ 所以BC⊥平面AA1C1C，‎ 因为BC⊂平面A1BC，‎ 所以平面A1BC⊥平面AA1C1C.‎ ‎(2)设A1D与AC1交于点E，连接AB1交A1B于点G，连接EG，‎ 如图所示，‎ 因为AD∥A1C1，所以∠ADE＝∠C1A1E，∠DAE＝∠A1C1E，‎ 所以△ADE∽△C1A1E，‎ 又点D是棱AC的中点，‎ 所以＝＝.‎ 因为AC1＝3FC1，所以AE＝EF＝FC1，所以CF∥DE.‎ 因为CF⊄平面A1BD，DE⊂平面A1BD，‎ 所以CF∥平面A1BD.‎ 因为点G为AB1的中点，所以B1F∥GE.‎ 又B1F⊄平面A1BD，GE⊂平面A1BD，‎ 所以B1F∥平面A1BD.‎ 因为B1F∩CF＝F，所以平面B1CF∥平面A1BD.‎ 角度二　空间中的证明与计算 ‎ (2016·高考全国卷Ⅲ)如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．‎ ‎(1)证明MN∥平面PAB；‎ ‎(2)求四面体NBCM的体积．‎ ‎【解】　(1)证明：由已知得AM＝AD＝2.‎ 取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知TN∥BC，‎ TN＝BC＝2.又AD∥BC，故TN綊AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.‎ 因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB.‎ ‎(2)因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为PA.‎ 取BC的中点E，连接AE，由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝＝.‎ 由AM∥BC得M到BC的距离为，故S△BCM＝×4×＝2.所以四面体NBCM的体积VNBCM＝×S△BCM×＝.‎ 角度三　折叠问题中的平行、垂直关系 ‎ (2018·福州市综合质量检测)如图1，在等腰梯形PDCB中，PB∥DC，PB＝3，DC＝1，∠DPB＝45°，DA⊥PB于点A，将△PAD沿AD折起，构成如图2所示的四棱锥 PABCD，点M在棱PB上，且PM＝MB.‎ ‎(1)求证：PD∥平面MAC；‎ ‎(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求点A到平面PBC的距离．‎ ‎【解】　(1)证明：在四棱锥PABCD中，连接BD交AC于点N，连接MN，‎ 依题意知AB∥CD，‎ 所以△ABN∽△CDN，‎ 所以＝＝2，‎ 因为PM＝MB，‎ 所以＝＝2，‎ 所以在△BPD中，MN∥PD，‎ 又PD⊄平面MAC，MN⊂平面MAC.‎ 所以PD∥平面MAC.‎ ‎(2)法一：因为平面PAD⊥平面ABCD，且两平面相交于AD，PA⊥AD，PA⊂平面PAD，‎ 所以PA⊥平面ABCD，‎ 所以VPABC＝S△ABC·PA＝××1＝.‎ 因为AB＝2，AC＝＝，‎ 所以PB＝＝，PC＝＝，BC＝＝，‎ 所以PB2＝PC2＋BC2，故∠PCB＝90°，‎ 记点A到平面PBC的距离为h，‎ 所以VAPBC＝S△PBC·h＝×h＝h.‎ 因为VPABC＝VAPBC，‎ 所以＝h，解得h＝.‎ 故点A到平面PBC的距离为.‎ 法二：因为平面PAD⊥平面ABCD，且两平面相交于AD，PA⊥AD，PA⊂平面PAD，‎ 所以PA⊥平面ABCD，‎ 因为BC⊂平面ABCD，‎ 所以PA⊥BC，‎ 因为AB＝2，AC＝＝，‎ BC＝＝，‎ 所以∠ACB＝90°，即BC⊥AC，‎ 又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，‎ 所以BC⊥平面PAC，‎ 过点A作AE⊥PC于点E，则BC⊥AE，‎ 因为PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC，‎ 所以AE⊥平面PBC，‎ 所以点A到平面PBC的距离为AE＝＝＝.‎ ‎(1)空间平行与垂直综合问题的求解策略 线线平行(垂直)、线面平行(垂直)和面面平行(垂直)是空间中三种基本平行(垂直)关系，它们之间可以相互转化，其转化关系如下：‎ ‎(2)求解空间翻折问题的关键 其关键是看翻折前后线面位置关系的变化情况，根据翻折的过程，把翻折前后一些线线位置关系中没有变化和发生变化的量准确找出来，这些不变和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征．另外，在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，常通过三角形的中位线找平行线．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．(2018·安徽省两校阶段性测试)‎ 如图所示，正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD，线段CD为圆O的弦，AE垂直于圆O所在平面，垂足E是圆O上异于C，D的点，AE＝3，圆O的直径CE为9.‎ ‎(1)求证：平面ABE⊥平面ADE；‎ ‎(2)求五面体ABCDE的体积．‎ 解：(1)证明：因为AE⊥圆O所在平面，CD⊂圆O所在平面，所以AE⊥CD，‎ 又CD⊥DE，且AE∩DE＝E，AE⊂平面ADE，DE⊂平面ADE，所以CD⊥平面ADE.‎ 在正方形ABCD中，CD∥AB，‎ 所以AB⊥平面ADE.‎ 又AB⊂平面ABE，‎ 所以平面ABE⊥平面ADE.‎ ‎(2)连接AC，设正方形ABCD的边长为a，则AC＝a，‎ 又AC2＝CE2＋AE2＝90，‎ 所以a＝3，DE＝6，‎ 由(1)得AB⊥平面ADE，‎ 又AB∥CD，CD⊂平面CDE，‎ 所以点B到平面CDE的距离等于点A到平面CDE的距离，即AE，‎ 所以VBCDE＝AE·S△CDE＝×3×(×3×6)＝9，又由(1)知AB⊥平面ADE，所以VBADE＝AB·S△ADE＝×3×＝9，‎ 故VABCDE＝VBCDE＋VBADE＝18.‎ ‎2.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD的中点．‎ ‎(1)求证：BG⊥平面PAD；‎ ‎(2)求证：AD⊥PB；‎ ‎(3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．‎ 解：(1)证明：在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，所以BG⊥AD.‎ 又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BG⊥平面PAD.‎ ‎(2)证明：‎ 如图，连接PG.因为△PAD为正三角形，G为AD的中点，所以PG⊥AD.‎ 由(1)知，BG⊥AD，‎ 又PG ∩BG＝G，所以AD⊥平面PGB.‎ 因为PB⊂平面PGB，所以AD⊥PB.‎ ‎(3)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.‎ 证明如下：取PC的中点F，连接DE、EF、DF.‎ 在△PBC中，FE∥PB，在菱形ABCD中，GB∥DE.‎ 而FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，PB⊂平面PGB，GB⊂平面PGB，PB∩GB＝B，‎ 所以平面DEF∥平面PGB.‎ 因为BG⊥平面PAD，PG⊂平面PAD，所以BG⊥PG.‎ 又因为PG⊥AD，AD∩BG＝G，所以PG⊥平面ABCD.‎ 又PG⊂平面PGB，所以平面PGB⊥平面ABCD，‎ 所以平面DEF⊥平面ABCD.‎ ‎ 有关垂直的四个结论 ‎(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．‎ ‎(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．‎ ‎(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．‎ ‎(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．‎ ‎ 易错防范 ‎(1)注意在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行，还有可能异面、相交．‎ ‎(2)注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”．‎ ‎(3)注意对平面与平面垂直性质的理解．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ‎ ‎1．“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面M垂直”，反之可以，所以应该是必要不充分条件．‎ ‎2．PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是(　　)‎ A．PA⊥BC B．BC⊥平面PAC C．AC⊥PB D．PC⊥BC 解析：选C.由PA⊥平面ACB⇒PA⊥BC，A正确；由BC⊥PA，BC⊥AC，PA∩AC＝A，可得BC⊥平面PAC，BC⊥PC，即B，D正确．‎ ‎3．已知m，n表示两条不同的直线，α表示平面，下列说法正确的是(　　)‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α 解析：选B.如图：正方体ABCDA1B1C1D1中，直线AA1，AB1都与平面CC1D1D平行，但是直线AA1，AB1相交，故选项A错误；根据线面垂直的定义，一条直线垂直于一个平面，则该直线垂直于平面内的任一条直线，可见选项B正确；对于C项，可能有n⊂α；对于D项，n与α还可能平行或相交．‎ ‎4．(2018·九江模拟)如图，在三棱锥DABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论中正确的是(　　)‎ A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABD⊥平面BCD C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE 解析：选C.因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理，DE⊥AC，由于DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故选C.‎ ‎5．(2018·河北名师俱乐部模拟)在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，BA⊥AD，AD∥BC，AB＝BC＝2，PA＝3，PA⊥底面ABCD，E是棱PD上异于P，D的动点，设＝m，则“0

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