【数学】2019届高考一轮复习北师大版理5-3平面向量的数量积及应用举例学案

【数学】2019届高考一轮复习北师大版理5-3平面向量的数量积及应用举例学案

第3讲　平面向量的数量积及应用举例 ‎1．平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos__θ叫做a与b的数量积，记作a·b 投影 ‎|a|cos__θ叫做向量a在b方向上的投影，‎ ‎|b|cos__θ叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos__θ的乘积 ‎2.向量的夹角 定义 图示 范围 共线与垂直 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是a与b的夹角 设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是 0°≤θ≤180°‎ 若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直 ‎3.向量数量积的运算律 ‎(1)a·b＝b·a；‎ ‎(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；‎ ‎(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.‎ ‎4．平面向量数量积的坐标运算及有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，a·b＝x1x2＋y1y2.‎ 结论 几何表示 坐标表示 模 ‎|a|＝ ‎|a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0‎ x1x2＋y1y2＝0‎ ‎ 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(　　)‎ ‎(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　　)‎ ‎(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　　)‎ ‎(4)(a·b)c＝a(b·c)．(　　)‎ ‎(5)两个向量的夹角的范围是.(　　)‎ ‎(6)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．(　　)‎ 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×　(6)×‎ ‎ (2016·高考全国卷Ⅲ)已知向量＝，＝，则∠ABC＝(　　)‎ A．30° B．45°‎ C．60° D．120°‎ 解析：选A.由两向量的夹角公式，可得cos ∠ABC＝＝＝，则∠ABC＝30°.‎ ‎ 已知a，b是平面向量．如果|a|＝3，|b|＝4，|a＋b|＝2，那么|a－b|＝(　　)‎ A. B．7‎ C．5 D. 解析：选A.由|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝9＋2a·b＋16＝4，得2a·b＝－21，所以|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝9＋21＋16＝46，所以|a－b|＝.‎ ‎ (2017·高考全国卷Ⅰ)已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________．‎ 解析：因为a＋b＝(m－1，3)，a＋b与a垂直，所以(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7.‎ 答案：7‎ ‎ 已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________．‎ 解析：b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)‎ ‎＝3e－2e1·e2－8e ‎＝3－2×1×1×cos －8＝－6.‎ 答案：－6‎ ‎　　　　　　平面向量数量积的运算 ‎ [典例引领]‎ ‎ (1)(2018·豫南九校联考)已知向量a＝(m，2)，b＝(2，－1)，且a⊥b，则等于(　　)‎ A．－ B．1‎ C．2 D. ‎(2)(2017·高考全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　)‎ A．－2 B．－ C．－ D．－1‎ ‎【解析】　(1)因为a⊥b，所以2m－2＝0，所以m＝1，则2a－b＝(0，5)，a＋b＝(3，1)，所以a·(a＋b)＝1×3＋2×1＝5，|2a－b|＝5，所以＝＝1.‎ ‎(2)如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，‎ 则A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)，设P(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2(y－)2－，当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值，为－，选择B.‎ ‎【答案】　(1)B　(2)B 在本例(2)的条件下，若D，E是边BC的两个三等分点(D靠近点B)，则·等于________．‎ 解析：法一：(通性通法)‎ 因为D，E是边BC的两个三等分点，所以BD＝DE＝CE＝，在△ABD中，AD2＝BD2＋AB2‎ ‎－2BD·AB·cos 60°＝＋22－2××2×＝，即AD＝，同理可得AE＝，在△ADE中，由余弦定理得cos∠DAE＝＝＝，所以·＝||·||cos∠DAE＝××＝.‎ 法二：(光速解法)‎ 如图，建立平面直角坐标系，由正三角形的性质易得 A，D，E，‎ 所以＝，＝，‎ 所以·＝·＝.‎ 答案： ‎(1)向量数量积的两种运算方法 ‎①当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．‎ ‎②当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.‎ ‎(2)数量积在平面几何中的应用 解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，常利用解析法，巧妙构造坐标系，利用坐标求解．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．设向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于(　　)‎ A．－　　　　　　　　 B．－ C. D. 解析：选D.a＋2b＝(－1＋2m，4)，2a－b＝(－2－m，3)，由题意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－，所以a·b＝－1×＋2×1＝.‎ ‎2．(2018·云南省第一次统一检测)在▱ABCD中，||＝8，||＝6，N为DC的中点，＝2，则·＝(　　)‎ A．48 B．36‎ C．24 D．12‎ 解析：选C.法一：·＝(＋)·(＋)＝·＝2－2＝×82－×62＝24.‎ 法二：(特例图形)，若▱ABCD为矩形，建立如图所示坐标系，‎ 则N(4，6)，M(8，4)．‎ 所以＝(8，4)，＝(4，－2)‎ 所以·＝(8，4)·(4，－2)＝32－8＝24.‎ ‎3．(2017·高考北京卷)已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2，0)，O为原点，则·的最大值为________．‎ 解析：法一：由题意知，＝(2，0)，令P(cos α，sin α)，则＝(cos α＋2，sin α)，·＝(2，0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，故·的最大值为6.‎ 法二：由题意知，＝(2，0)，令P(x，y)，－1≤x≤1，则·＝(2，0)·(x＋2，y)＝2x＋4≤6，故·的最大值为6.‎ 答案：6‎ ‎　　　　　　平面向量的夹角与模(高频考点) ‎ 平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，‎ 属中档题．高考对平面向量的夹角与模的考查主要有以下三个命题角度：‎ ‎(1)求两向量的夹角；‎ ‎(2)求向量的模；‎ ‎(3)两向量垂直问题．‎ ‎[典例引领]‎ 角度一　求两向量的夹角 ‎ (2018·成都市第二次诊断性检测)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝1，|b|＝，则a＋2b与b的夹角是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】　因为|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝1＋1＋4×1××cos ＝3，所以|a＋2b|＝，又(a＋2b)·b＝a·b＋2|b|2＝1××cos ＋2×＝＋＝，所以cos〈a＋2b，b〉＝＝＝，所以a＋2b与b的夹角为.‎ ‎【答案】　A 角度二　求向量的模 ‎ 在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________．‎ ‎【解析】　设AB的长为a(a>0)，又因为＝＋，＝＋＝－，于是·＝(＋)·＝·－2＋2＝－a2＋a＋1，由已知可得－a2＋a＋1＝1.又a>0，‎ 所以a＝，即AB的长为.‎ ‎【答案】　 角度三　两向量垂直问题 ‎ 已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．‎ ‎【解析】　因为⊥，所以·＝0.‎ 又＝λ＋，＝－，‎ 所以(λ＋)·(－)＝0，‎ 即(λ－1)·－λ2＋2＝0，‎ 所以(λ－1)||||cos 120°－9λ＋4＝0.‎ 所以(λ－1)×3×2×(－)－9λ＋4＝0.解得λ＝.‎ ‎【答案】　 ‎(1)求平面向量的夹角的方法 ‎①定义法：利用向量数量积的定义知，cos θ＝，其中两个向量的夹角θ的范围为[0，π]，求解时应求出三个量：a·b，|a|，|b|或者找出这三个量之间的关系；‎ ‎②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝；‎ ‎(2)求向量的模的方法 ‎①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的运算转化为数量积运算．‎ ‎②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．(2018·河南百校联盟联考)已知非零向量a，b满足：2a·(2a－b)＝b·(b－2a)，|a－b|＝3|a|，则a与b的夹角为________．‎ 解析：由2a·(2a－b)＝b·(b－2a)得4a2＝b2，由|a－b|＝3|a|得a2－2a·b＋2b2＝9a2，则a·b＝0，即a⊥b，所以a与b的夹角为90°.‎ 答案：90°‎ ‎2．(2017·高考山东卷)已知e1，e2是互相垂直的单位向量．若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________‎ 解析：因为＝，‎ 故＝，解得λ＝.‎ 答案： ‎3．(2018·东北四市高考模拟)已知向量＝(3，1)，＝(－1，3)，＝m－n(m>0，n>0)，若m＋n＝1，则||的最小值为________．‎ 解析：由＝(3，1)，＝(－1，3)得＝m－n＝(3m＋n，m－3n)，因为m＋n＝1(m>0，n>0)，所以n＝1－m且00，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a·b<0，反之也不成立．‎ ‎ 易错防范 ‎(1)a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b.‎ ‎(2)a·b＝a·c(a≠0)不能推出b＝c，即消去律不成立．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ‎ ‎1．(2018·洛阳市第一次统一考试)已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为，且(a＋λb)⊥(2a－b)，则实数λ的值为(　　)‎ A．－7　　　　　　　　 B．－3‎ C．2 D．3‎ 解析：选D.依题意得a·b＝2×1×cos ＝－1，(a＋λb)·(2a－b)＝0，即2a2－λb2＋(2λ－1)a·b＝0，－3λ＋9＝0，λ＝3.‎ ‎2．(2018·山西四校联考)向量a，b满足|a＋b|＝2|a|，且(a－b)·a＝0，则a，b的夹角的余弦值为(　　)‎ A．0 B. C. D. 解析：选B.(a－b)·a＝0⇒a2＝b·a，|a＋b|＝2|a|⇒a2＋b2＋2a·b＝12a2⇒b2＝9a2，所以cos〈a，b〉＝＝＝.故选B.‎ ‎3．(2018·洛阳市第一次统一考试)已知向量a＝(1，0)，|b|＝，a与b的夹角为45°，若c＝a＋b，d＝a－b，则c在d方向上的投影为(　　)‎ A. B．－ C．1 D．－1‎ 解析：选D.依题意得|a|＝1，a·b＝1××cos 45°＝1，|d|＝＝＝1，c ‎·d＝a2－b2＝－1，因此c在d方向上的投影等于＝－1，选D.‎ ‎4．在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC的形状一定是(　　)‎ A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 解析：选C.由(＋)·＝||2，得·(＋－)＝0，即·(＋＋)＝0，‎ 所以2·＝0，所以⊥.‎ 所以∠A＝90°，又因为根据条件不能得到||＝||.故选C.‎ ‎5．(2018·福建漳州八校联考)在△ABC中，|＋|＝|－|，||＝||＝3，则·的值为(　　)‎ A．3 B．－3‎ C．－ D. 解析：选D.由|＋|＝|－|两边平方可得，2＋2＋2·＝3(2＋2－2·)，即2＋2＝4·，又||＝||＝3，所以·＝，又因为＝－，所以·＝(－)·(－)＝2－·＝9－＝，故选D.‎ ‎6．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2 b|＝ ________ .‎ 解析：易知|a＋2b|＝ ‎＝＝2.‎ 答案：2 ‎7．(2018·江西七校联考)已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，且b在a上的投影为－3，则向量a与b的夹角为________．‎ 解析：因为b在a上的投影为－3，‎ 所以|b|cos〈a，b〉＝－3，又|a|＝＝2，所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝－6，又a·b＝1×3＋m，所以3＋m＝－6，解得m＝－3，则b＝(3，－3)，所以|b|＝＝6，所以cos〈a，b〉＝＝＝－，因为0≤〈a，b〉≤π，所以a与b的夹角为π.‎ 答案：π ‎8．(2017·高考天津卷)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2.若＝2，＝λ－(λ∈R)，且·＝－4，则λ的值为________．‎ 解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.又·＝3×2×＝3，所以·＝·(－＋λ)‎ ‎＝－2＋·＋λ2‎ ‎＝－3＋3＋λ×4＝λ－5＝－4，则λ＝.‎ 答案： ‎9．已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，x)．‎ ‎(1)若a⊥(a＋b)，求|b|的值；‎ ‎(2)若a＋2b＝(4，－7)，求向量a与b夹角的大小．‎ 解：(1)由题意得a＋b＝(3，－1＋x)．‎ 由a⊥(a＋b)，可得6＋1－x＝0，‎ 解得x＝7，即b＝(1，7)，‎ 所以|b|＝＝5.‎ ‎(2)a＋2b＝(4，2x－1)＝(4，－7)，‎ 故x＝－3，‎ 所以b＝(1，－3)，‎ 所以cos〈a，b〉＝＝＝，‎ 因为〈a，b〉∈[0，π]，‎ 所以a与b夹角是.‎ ‎10．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.‎ ‎(1)求a与b的夹角θ；‎ ‎(2)求|a＋b|；‎ ‎(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．‎ 解：(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，‎ 所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.‎ 又|a|＝4，|b|＝3，所以64－4a·b－27＝61，‎ 所以a·b＝－6.所以cos θ＝＝＝－.‎ 又因为0≤θ≤π，所以θ＝.‎ ‎(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2‎ ‎＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a＋b|＝.‎ ‎(3)因为与的夹角θ＝，‎ 所以∠ABC＝π－＝.‎ 又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，‎ 所以S△ABC＝||||sin ∠ABC＝×4×3×＝3.‎ ‎1．已知点G为△ABC的重心，∠A＝120°，·＝－2，则||的最小值是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C.设BC的中点为M，则＝.‎ 又M为BC中点，‎ 所以＝(＋)，‎ 所以＝＝(＋)，‎ 所以||＝ .‎ 又因为·＝－2，∠A＝120°，‎ 所以||||＝4.‎ 所以||＝ ‎≥ ＝，‎ 当且仅当||＝||时取“＝”，‎ 所以||的最小值为，故选C.‎ ‎2．(2018·广东七校联考)在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N为AC边上的两个动点(M，N不与A，C重合)，且满足||＝，则·的取值范围为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C.不妨设点M靠近点A，点N靠近点C，以等腰直角三角形ABC的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，‎ 则B(0，0)，A(0，2)，C(2，0)，线段AC的方程为x＋y－2＝0(0≤x≤2)．设M(a，2－a)，N(a＋1，1－a)(由题意可知0

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