中考数学专题训练四边形含解析

中考数学专题训练四边形含解析

专题训练 ‎ (四　边　形)‎ ‎(120分钟　120分)‎ 一、选择题(本大题共20小题,在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确的选项选出来,每小题选对得3分,选错、不选或选出的答案超过一个,均记零分)‎ ‎1.(2019·益阳中考)将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形,那么这两个多边形的内角和之和不可能是　(　　)‎ A.360°　　　B.540°　　　C.720°　　　D.900°‎ ‎【解析】选D.①将矩形沿对角线剪开,得到两个三角形,两个多边形的内角和为:180°+180°=360°;‎ ‎②将矩形从一顶点剪向对边,得到一个三角形和一个四边形,两个多边形的内角和为:180°+360°=540°;‎ ‎③将矩形沿一组对边剪开,得到两个四边形,两个多边形的内角和为:360°+‎ ‎360°=720°.‎ ‎2.(2019·眉山中考)如图,EF过▱ABCD对角线的交点O,交AD于点E,交BC于点F,若▱ABCD的周长为18,OE=1.5,则四边形EFCD的周长为　(　　)‎ A.14 B‎.13 ‎ C.12 D.10‎ ‎【解析】选C.因为四边形ABCD是平行四边形,周长为18,‎ 所以AB=CD,BC=AD,OA=OC,AD∥BC,‎ 所以CD+AD=9,∠OAE=∠OCF,‎ 在△AEO和△CFO中,‎ 所以△AEO≌△CFO(ASA),‎ 所以OE=OF=1.5,AE=CF,‎ 则四边形EFCD的周长=ED+CD+CF+EF=(DE+CF)+CD+EF=AD+CD+EF=9+3=12.‎ ‎3.若一个多边形的每一个外角都等于40°,则这个多边形的边数是　(　　)‎ A.7 B‎.8 ‎C.9 D.10‎ ‎【解析】选C.∵360°÷40°=9,∴这个多边形的边数是9.‎ ‎4.如图,四边形ABCD,AEFG是正方形,点E,G分别在AB,AD上,连接FC,过点E作EH∥FC交BC于点H.若AB=4,AE=1,则BH的长为　(　　)‎ A.1 B‎.2 ‎C.3 D.3‎ ‎【解析】选C.在正方形ABCD与正方形AEFG中,EF∥AG∥BC,又EH∥FC,∴四边形EFCH是平行四边形,∴HC=EF=1,∴BH=3.‎ ‎5.(2019·菏泽东明模拟)如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到点E,使DE=AD,连接EB,EC,DB,添加一个条件,不能使四边形DBCE成为矩形的是　(　　)‎ A.AB=BE B.BE⊥DC C.∠ADB=90° D.CE⊥DE ‎【解析】选B.因为四边形ABCD为平行四边形,所以AD∥BC,AD=BC,又因为AD=DE,所以DE∥BC,且DE=BC,所以四边形BCED为平行四边形;A.因为AB=BE,DE=AD,所以BD⊥AE,所以▱DBCE为矩形,故本选项不符合题意;B.因为对角线互相垂直的平行四边形为菱形,不一定为矩形,故本选项符合题意;C.因为∠ADB=90°,‎ 所以∠EDB=90°,所以▱DBCE为矩形,故本选项不符合题意;D.因为CE⊥DE,‎ 所以∠CED=90°,所以▱DBCE为矩形,故本选项不符合题意.‎ ‎6.如图,已知P是正方形ABCD对角线BD上一点,且BP=BC,则∠ACP的度数是　‎ A.45° B.22.5° C.67.5° D.75°‎ ‎【解析】选B.∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴∠DBC=∠BCA=45°,‎ ‎∵BP=BC,‎ ‎∴∠BCP=∠BPC=67.5°,‎ ‎∴∠ACP=∠BCP-∠BCA=67.5°-45°=22.5°.‎ ‎7.如图,四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点.若四边形EFGH为菱形,则对角线AC,BD应满足的条件是　(　　)‎ A.AC⊥BD B.AC=BD C.AC⊥BD且AC=BD D.不确定 ‎【解析】选B.满足的条件应为:AC=BD.‎ 理由如下:∵E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,‎ ‎∴在△ADC中,HG为△ADC的中位线,所以HG∥AC且HG=AC;同理EF∥AC且EF=AC,同理可得EH=BD,‎ 则HG∥EF且HG=EF,‎ ‎∴四边形EFGH为平行四边形,又AC=BD,所以EF=EH,‎ ‎∴四边形EFGH为菱形.‎ ‎8.(2019·胶州市一模)如图,在▱ABCD中,AB=4,BC=5,∠ABC=60°,对角线AC,BD交于点O,过点O作OE⊥AD交AD于点E,则OE等于　(　　)‎ A. B‎.2‎ C.2 D.2.5‎ ‎【解析】选A.作CF⊥AD交AD于点F,如图所示:因为四边形ABCD是平行四边形,‎ 所以∠ADC=∠ABC=60°,CD=AB=4,OA=OC,所以∠DCF=30°,所以DF=CD=2,所以CF=DF=2,‎ 因为CF⊥AD,OE⊥AD,所以CF∥OE,因为OA=OC,‎ 所以OE是△ACF的中位线,所以OE=CF=.‎ ‎9.(2019·兰州中考)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,CE∥BD,‎ DE∥AC,AD=2,DE=2,则四边形OCED的面积为　(　　)‎ A.2 B‎.4 ‎C.4 D.8‎ ‎【解析】选A.∵CE∥BD,DE∥AC,‎ ‎∴四边形OCED为平行四边形,‎ ‎∵ABCD为矩形,∴OC=OD,‎ ‎∴四边形OCED为菱形,‎ ‎∴OD=DE=2,∴BD=2OD=4,∴CD=2,‎ 三角形OCD为等边三角形,高为,‎ 所以四边形OCED的面积为2.‎ ‎10.(2019·淄博临淄模拟)将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠,恰好得到菱形AECF.若AB=3,则菱形AECF的面积为　(　　)‎ A.1 B‎.2‎ C.2 D.4‎ ‎【解析】选C.因为四边形AECF是菱形,AB=3,所以假设BE=x,则AE=3-x,CE=3-x,因为四边形AECF是菱形,所以∠FCO=∠ECO,因为∠ECO=∠ECB,所以∠ECO=‎ ‎∠ECB=∠FCO=30°‎ ‎,2BE=CE,所以CE=2x,所以2x=3-x,解得x=1,所以CE=2,利用勾股定理得出:BC2+BE2=EC2,BC===,‎ 又因为AE=AB-BE=3-1=2,‎ 则菱形的面积是AE·BC=2.‎ ‎11.如图,已知正五边形ABCDE,AF∥CD,交DB的延长线于点F,则∠DFA等于 A.30° B.36° C.45° D.32°‎ ‎【解析】选B.在正五边形ABCDE中,∠C=×(5-2)×180°=108°,‎ ‎∵正五边形ABCDE的边BC=CD,‎ ‎∴∠CBD=∠CDB,‎ ‎∴∠CDB=(180°-108°)=36°,‎ ‎∵AF∥CD,‎ ‎∴∠DFA=∠CDB=36°.‎ ‎12.(2019·岱岳区模拟)如图,将正方形纸片ABCD沿FH折叠,使点D与AB的中点E重合,则△FAE与△EBG的面积之比为　(　　)‎ A.4∶9 B.2∶‎3 ‎C.3∶4 D.9∶16‎ ‎【解析】选D.因为四边形ABCD是正方形,所以设AB=BC=CD=AD=16,因为AE=EB=8,EF=FD,所以设EF=DF=x.则AF=16-x,在Rt△AEF中,因为AE2+AF2=EF2,所以82+(16-x)2=x2,所以x=10,所以AF=16-10=6,因为将正方形纸片ABCD沿FH折叠,使点D与AB的中点E重合,∠A=∠B=∠D=90°,所以∠FEG=90°,所以∠AEF+∠BEG=∠AEF+∠AFE=90°,‎ 所以∠AFE=∠BEG,所以△AFE∽△BEG,所以==.‎ ‎13.如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,AC的中点.若四边形ADEF是菱形,则 ‎△ABC必须满足的条件是　(　　)‎ A.AB⊥AC B.AB=AC C.AB=BC D.AC=BC ‎【解析】选B.AB=AC,‎ 理由是:∵AB=AC,E为BC的中点,‎ ‎∴AE⊥BC,‎ ‎∵D,F分别为AB和AC的中点,‎ ‎∴DF∥BC,‎ ‎∴AE⊥DF,‎ ‎∵D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,AC的中点,‎ ‎∴EF∥AD,DE∥AF,‎ ‎∴四边形ADEF是平行四边形,‎ ‎∵AE⊥DF,‎ ‎∴四边形ADEF是菱形,‎ 即只有选项B的条件能推出四边形ADEF是菱形,选项A,C,D的条件都不能推出四边形ADEF是菱形.‎ ‎14.如图所示,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC.若BD=6,则四边形CODE的周长是　(　　)‎ A.10 B‎.12 ‎C.18 D.24‎ ‎【解析】选B.∵CE∥BD,DE∥AC,‎ ‎∴四边形CODE是平行四边形,‎ ‎∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴OC=AC,OD=BD,AC=BD=6,‎ ‎∴OC=OD=3,∴四边形CODE是菱形,‎ ‎∴DE=OC=OD=CE=3,‎ ‎∴四边形CODE的周长=4×3=12.‎ ‎15.如图所示,在平行四边形ABCD中,AE是∠DAB的平分线,EF∥AD交AB于点F,若AB=9,CE=4,AE=8,则DF等于　(　　)‎ A.4 B‎.8 ‎C.6 D.9‎ ‎【解析】选C.∵AB∥CD,∴∠EAF=∠AED.‎ 又AE是∠DAB的平分线,‎ ‎∴∠DAE=∠EAF,∴∠DAE=∠AED,‎ ‎∴AD=ED.‎ ‎∵AB∥CD,EF∥AD∥BC,‎ ‎∴四边形ADEF和四边形BCEF是平行四边形.‎ ‎∴四边形ADEF是菱形.‎ ‎∴AD=AF=9-4=5,AO=AE=4,AE⊥DF.‎ ‎∴DO==3,‎ ‎∴DF=2DO=2×3=6.‎ ‎16.如图,正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∠ACB的角平分线分别交AB,BD于M,N两点,若AM=2,则正方形的边长为　(　　)‎ A.4 B‎.3 ‎C.2+ D.+1‎ ‎【解析】选C.过点M作MF⊥AC于点F,如图所示.‎ ‎∵MC平分∠ACB,四边形ABCD为正方形,‎ ‎∴∠CAB=45°,FM=BM.‎ 在Rt△AFM中,‎ ‎∠AFM=90°,∠FAM=45°,AM=2,‎ ‎∴FM=AM·sin∠FAM=.‎ ‎∴BM=,∴AB=AM+MB=2+.‎ ‎17.(2019·绍兴模拟)如图,在周长为12的菱形ABCD中,AE=1,AF=2,若P为对角线BD上一动点,则EP+FP的最小值为　(　　)‎ A.1 B‎.2 ‎C.3 D.4‎ ‎【解析】选C.作F点关于BD的对称点F′,则PF=PF′,连接EF′交BD于点P.由两点之间线段最短可知:当E,P,F′在一条直线上时,EP+FP的值最小,此时EP+FP=EP+F′P=EF′.因为四边形ABCD为菱形,周长为12,所以AB=BC=CD=DA=3,AB∥CD,因为AF=2,AE=1,所以DF′=DF=AE=1,所以四边形AEF′D是平行四边形,所以EF′=AD=3.所以EP+FP的最小值为3.‎ ‎18.如图,菱形ABCD中,点E,F分别是边AB,AD的中点,连接CE,CF,EF,若四边形ABCD的面积是‎40cm2,则△CEF的面积为　(　　)‎ A‎.5 cm2 B‎.10 cm2‎ C‎.15 cm2 D‎.20 cm2‎ ‎【解析】选C.如图,连接AC,分别交EF,BD于点M,O.‎ ‎∵四边形ABCD为菱形,‎ ‎∴AC⊥BD,AO=CO(设为λ).‎ ‎∵点E,F分别是边AB,AD的中点,‎ ‎∴EF为△ABD的中位线,‎ ‎∴EF∥BD,EF=BD,AO⊥EF.‎ ‎∴△ABD∽△AEF,‎ ‎∴==2,‎ ‎∴OM=OA=0.5λ,CM=1.5λ,‎ ‎∴==,‎ ‎∵S四边形ABCD=40,‎ ‎∴S△EFC=15(cm2).‎ ‎19.如图,在矩形ABCD中,E,F分别是边AB,CD上的点,AE=CF,连接EF,BF,EF与对角线AC交于点O,且BE=BF,∠BEF=2∠BAC,FC=2,则AB的长为　(　　)‎ A.8 B‎.8 ‎C.4 D.6‎ ‎【解析】选D.如图,连接OB,由题意易证△OFC≌△OEA,‎ ‎∴OF=OE,OC=OA,‎ ‎∵BE=BF,OE=OF,‎ ‎∴BO⊥EF,∠EBO=∠FBO,‎ ‎∴在Rt△BEO中,∠BEF+∠ABO=90°,‎ 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知:OA=OB=OC,‎ ‎∴∠BAC=∠ABO,‎ 又∵∠BEF=2∠BAC,‎ 即2∠BAC+∠BAC=90°,‎ 解得∠BAC=30°,‎ ‎∴∠EBO=∠FBO=30°,‎ ‎∴∠FBC=30°,‎ ‎∵FC=2,∴BC=2,‎ ‎∴AC=2BC=4,‎ ‎∴AB===6.‎ ‎20.(2019·昆明中考) 如图,在正方形ABCD中,AC为对角线,E为AB上一点,过点E作EF∥AD,与AC,DC分别交于点G,F,H为CG的中点,连接DE,EH,DH,FH,下列结论:‎ ‎①EG=DF;‎ ‎②∠AEH+∠ADH=180°;‎ ‎③△EHF≌△DHC;‎ ‎④若=,则3S△EDH=13S△DHC,‎ 其中结论正确的有　(　　)‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎【解析】选D.由题意得HF=HG,∠HFD=∠HGE,DF=AE=EG,∴△DHF≌△EHG,‎ ‎∴EG=DF,‎ ‎∴∠HEG=∠HDF,∴∠HEA+∠ADH=180°,若AE∶AB=2∶3可得④正确;∴正确的结论有4个.‎ 二、填空题(本大题共4小题,满分12分,只要求填写最后结果,每小题填对得3分)‎ ‎21.(2019·连云港中考)如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥‎ CD于点F,若∠EAF=56°,则∠B=________°.‎ ‎【解析】因为AE⊥BC,AF⊥CD,所以∠AEC=∠AFC=90°,‎ 在四边形AECF中,∠C=360°-∠EAF-∠AEC-∠AFC=360°-56°-90°-90°=‎ ‎124°,‎ 在▱ABCD中,∠B=180°-∠C=180°-124°=56°.‎ 答案:56‎ ‎22.(2019·临沂兰山模拟)如图,▱ABCD的周长为36,对角线AC,BD相交于点O.点E是CD的中点,BD=12,则△DOE的周长为________.‎ ‎【解析】因为▱ABCD的周长为36,所以2(BC+CD)=36,则BC+CD=18.因为四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,BD=12,所以OD=OB=BD=6.又因为点E是CD的中点,所以OE是△BCD的中位线,DE=CD,所以OE=BC,‎ 所以△DOE的周长=OD+OE+DE ‎=BD+(BC+CD)=6+9=15,‎ 即△DOE的周长为15.‎ 答案:15‎ ‎23.(2019·东平县一模)如图,在菱形ABCD中,点M,N在AC上,ME⊥AD,NF⊥AB,若NF=NM=2,ME=3,则AN的长度为________.‎ ‎【解题指南】由△MAE∽△NAF,推出=,列方程即可解决问题.‎ ‎【解析】设AN=x,因为四边形ABCD是菱形,‎ 所以∠MAE=∠NAF,因为∠AEM=∠AFN=90°,‎ 所以△MAE∽△NAF,‎ 所以=,所以=,所以x=4,所以AN=4.‎ 答案:4‎ ‎24. 如图,在正方形ABCD中,AB=,点P为边AB上一动点(不与A,B重合),过A,P在正方形内部作正方形APEF,交边AD于F点,连接DE,EC,当△CDE为等腰三角形时,AP=________.‎ ‎【解析】连接AE,‎ ‎∵四边形ABCD,APEF是正方形,‎ ‎∴A,E,C共线,‎ ‎①当CD=CE=时,AE=AC-EC=2-,‎ ‎∴AP=AE=-1;‎ ‎②当ED=EC时,∠DEC=90°,∠EDC=∠ECD=45°,EC=CD=1,‎ ‎∴AE=AC-EC=1,‎ ‎∴AP=AE=;‎ ‎③当DE=DC时,不符合题意,‎ ‎∴当△CDE为等腰三角形时,AP=-1或.‎ 答案:-1或 三、解答题(本大题共5个小题,满分48分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤)‎ ‎25.(8分)(2019·陕西中考)如图,在▱ABCD中,连接BD,在BD的延长线上取一点E,在DB的延长线上取一点F,使BF = DE,连接AF,CE.‎ 求证:AF∥CE.‎ ‎【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AD∥BC,AD=BC.‎ ‎∴∠1=∠2.‎ 又∵BF=DE,∴BF+BD=DE+BD.‎ ‎∴DF=BE.‎ ‎∴△ADF≌△CBE.‎ ‎∴∠AFD=∠CEB.‎ ‎∴AF∥CE.‎ ‎26.(8分)(2019·长春中考)如图,在▱ABCD中,点E在边BC上,点F在边AD的延长线上,且DF=BE,EF与CD交于点G.‎ ‎(1)求证:BD∥EF.‎ ‎(2)若=,BE=4,求EC的长.‎ ‎【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AD∥BC.‎ ‎∵DF=BE,∴四边形BEFD是平行四边形,‎ ‎∴BD∥EF.‎ ‎(2)∵四边形BEFD是平行四边形,∴DF=BE=4,‎ ‎∵DF∥EC,∴△DFG∽△CEG,‎ ‎∴=,∴CE==4×=6.‎ ‎27.(10分)(2019·济南章丘模拟)如图,四边形ABCD为菱形,点E为对角线AC上的一个动点,连接DE并延长交AB所在直线于点F,连接BE.‎ ‎(1)如图①:求证∠AFD=∠EBC.‎ ‎(2)如图②,若DE=EC且BE⊥AF,求∠DAB的度数.‎ ‎(3)若∠DAB=90°且当△BEF为等腰三角形时,求∠EFB的度数.(只写出条件与对应的结果)‎ ‎【解析】(1)因为四边形ABCD为菱形,‎ 所以DC=CB,‎ 在△DCE和△BCE中,‎ 所以△DCE≌△BCE(SAS),所以∠EDC=∠EBC,‎ 因为DC∥AB,所以∠EDC=∠AFD,所以∠AFD=∠EBC.‎ ‎(2)因为DE=EC,所以∠EDC=∠ECD,‎ 设∠EDC=∠ECD=∠CBE=x°,则∠CBF=2x°,‎ 由BE⊥AF得2x+x=90,解得x=30,‎ 所以∠DAB=∠CBF=60°.‎ ‎(3)分两种情况:‎ ‎①如图1,当F在AB延长线上时,‎ 因为∠EBF为钝角,所以只能是BE=BF,设∠BEF=∠BFE=x°,‎ 可通过三角形内角和为180°得90+x+x+x=180,‎ 解得x=30,所以∠EFB=30°;‎ ‎②如图2,当F在线段AB上时,‎ 因为∠EFB为钝角,所以只能是FE=FB,设∠BEF=∠EBF=x°,则有∠AFD=2x°,可证得∠AFD=∠FDC=∠CBE,‎ 得x+2x=90,解得x=30,所以∠EFB=120°,‎ 综上∠EFB=30°或120°.‎ ‎28.(10分)(2019·兰州中考)阅读下面材料:‎ 在数学课上,老师请同学们思考如下问题:如图1,我们把一个四边形ABCD的四边中点E,F,G,H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗?‎ 小敏在思考问题时,有如下思路:连接AC.‎ 结合小敏的思路作答:‎ ‎(1)若只改变图1中四边形ABCD的形状(如图2),则四边形EFGH还是平行四边形吗?说明理由;参考小敏思考问题的方法,解决问题.‎ ‎(2)如图2,在(1)的条件下,若连接AC,BD.‎ ‎①当AC与BD满足什么条件时,四边形EFGH是菱形,写出结论并证明;‎ ‎②当AC与BD满足什么条件时,四边形EFGH是矩形,直接写出结论.‎ ‎【解析】(1)四边形EFGH还是平行四边形,理由如下:连接AC.∵E,F分别是AB,BC的中点,‎ ‎∴EF∥AC,EF=AC,‎ ‎∵G,H分别是CD,AD的中点,‎ ‎∴GH∥AC,GH=AC,‎ ‎∴EF∥GH,EF=GH,‎ ‎∴四边形EFGH是平行四边形.‎ ‎(2)①当AC=BD时,四边形EFGH是菱形,理由如下:‎ 由(1)可知四边形EFGH是平行四边形,‎ 当AC=BD时,FG=BD,EF=AC,‎ ‎∴FG=EF,‎ ‎∴四边形EFGH是菱形.‎ ‎②当AC⊥BD时,四边形EFGH是矩形.‎ ‎29.(12分)如图1,在正方形ABCD内作∠EAF=45°,AE交BC于点E,AF交CD于点F,连接EF,过点A作AH⊥EF,垂足为H.‎ ‎(1)如图2,将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG.‎ ‎①求证:△AGE≌△AFE;‎ ‎②若BE=2,DF=3,求AH的长.‎ ‎(2)如图3,连接BD交AE于点M,交AF于点N.请探究并猜想:线段BM,MN,ND之间有什么数量关系?并说明理由.‎ ‎【解析】(1)①由旋转的性质可知:AF=AG,∠DAF=∠BAG.‎ ‎∵四边形ABCD为正方形,‎ ‎∴∠BAD=90°.‎ 又∵∠EAF=45°,‎ ‎∴∠BAE+∠DAF=45°.‎ ‎∴∠BAG+∠BAE=45°.‎ ‎∴∠GAE=∠FAE.‎ 在△GAE和△FAE中,‎ ‎∴△GAE≌△FAE.‎ ‎②∵△GAE≌△FAE,AB⊥GE,AH⊥EF,‎ ‎∴AB=AH,GE=EF=5.‎ 设正方形的边长为x,则EC=x-2,FC=x-3.‎ 在Rt△EFC中,由勾股定理得:EC2+FC2=EF2,即(x-2)2+(x-3)2=25.‎ 解得:x=6.‎ ‎∴AB=6.∴AH=6.‎ ‎(2)MN2=ND2+BM2.理由如下:如图所示:将△ABM逆时针旋转90°得△ADM′,连接NM′.‎ ‎∵四边形ABCD为正方形,‎ ‎∴∠ABD=∠ADB=45°.‎ 由旋转的性质可知:∠ABM=∠ADM′=45°,BM=DM′.‎ ‎∴∠NDM′=90°.‎ ‎∴NM′2=ND2+DM′2.‎ ‎∵∠EAM′=90°,∠EAF=45°,‎ ‎∴∠EAF=∠FAM′=45°.‎ 在△AMN和△ANM′中,‎ ‎∴△AMN≌△ANM′.‎ ‎∴MN=NM′.‎ ‎∴MN2=ND2+BM2.‎