数学理·河南省洛阳一中2017届高三上学期第一次月考数学试卷(理科)+Word版含解析

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

数学理·河南省洛阳一中2017届高三上学期第一次月考数学试卷(理科)+Word版含解析

全*品*高*考*网, 用后离不了!2016-2017学年河南省洛阳一中高三(上)第一次月考数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题(每小题5分,共60分)‎ ‎1.若复数Z 的共轭复数是,且满足=i(其中i为虚数单位),则z等于(  )‎ A.1﹣i B.1+i C.﹣1﹣i D.﹣1+i ‎2.若(x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)2﹣(a1+a3)2的值为(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎3.若a<b<0,则下列不等式不成立的是(  )‎ A.> B.> C.> D.|a|>﹣b ‎4.已知动点P(x,y)满足=,则点P的轨迹是(  )‎ A.两条相交直线 B.抛物线 C.双曲线 D.椭圆 ‎5.函数y=loga(x+3)﹣1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+2=0上,其中m>0,n>0,则的最小值为(  )‎ A.2 B.4 C. D.‎ ‎6.设椭圆C: =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是C上的点PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.已知结论:“在正三角形ABC中,若D是边BC的中点,G是三角形ABC的重心,则”,若把该结论推广到空间,则有结论:“在棱长都相等的四面体ABCD中,若△BCD的中心为M,四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等,则=(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎8.已知直线mx﹣y+1=0交抛物线y=x2于A、B两点,则△AOB(  )‎ A.为直角三角形 B.为锐角三角形 C.为钝角三角形 D.前三种形状都有可能 ‎9.已知实数x,y满足:,则z=2x+y的最小值(  )‎ A.2 B.1 C. D.‎ ‎10.已知f(x)=|x+2|+|x﹣4|的最小值为n,则(x﹣)n的展开式中常数项为(  )‎ A.﹣160 B.﹣20 C.20 D.160‎ ‎11.已知f(x)为R上的可导函数,且对∀x∈R,均有f(x)>f′(x),则有(  )‎ A.e2016f(﹣2016)<f(0),f B.e2016f(﹣2016)>f(0),f C.e2016f(﹣2016)<f(0),f D.e2016f(﹣2016)>f(0),f ‎12.定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x),如果对于任意给定的等比数列{an},{f(an)}仍是等比数列,则称f(x)为“保等比数列函数”,现有定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的如下函数:1、f(x)=x2;2、f(x)=2x;3、f(x)=;4、f(x)=ln|x|.其中是“保等比函数”的f(x)的序号是(  )‎ A.1,2 B.1,3 C.3,4 D.2,4‎ ‎ ‎ 二、填空题(每小题5分,共20分)‎ ‎13.等差数列{an}的前n项和Sn,若a1=2,S3=12,则a6=  .‎ ‎14.计算定积分(+x)dx=  .‎ ‎15.在直角坐标平面内,以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知点M的极坐标为,曲线C的参数方程为(α为参数).求点M到曲线C上的点的距离的最小值  .‎ ‎16.设f″(x)是函数y=f(x)的导函数f′(x)的导数,定义:若f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),且方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的对称中心.有同学发现“任何一个三次函数都有对称中心”,请你运用这一发现处理下列问题:‎ 设,则=  .‎ ‎ ‎ 三、解答题(共70分)‎ ‎17.在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的方程为(θ为参数),曲线C2的极坐标方程为C2:ρcosθ+ρsinθ=1,若曲线C1与C2相交于A、B两点.‎ ‎(1)求|AB|的值;‎ ‎(2)求点M(﹣1,2)到A、B两点的距离之积.‎ ‎18.选修4﹣5:不等式选讲 设函数f(x)=|x+1|+|x﹣a|(a>0)‎ ‎(Ⅰ)若a=2时,解不等式f(x)≤4;‎ ‎(Ⅱ)若不等式f(x)≤4对一切x∈[a,2]恒成立,求实数a的取值范围.‎ ‎19.近年空气质量逐步恶化,雾霾天气现象出现增多,大气污染危害加重,大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病,为了解某市心肺疾病是否与性别有关,在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查,得到如下的列联表.‎ 患心肺疾病 不患心肺疾病 合计 男 ‎5‎ 女 ‎10‎ 合计 ‎50‎ 已知在全部50人中随机抽取1人,抽到患心肺疾病的人的概率为,‎ ‎(1)请将上面的列联表补充完整;‎ ‎(2)是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关?说明你的理由;‎ ‎(3)已知在患心肺疾病的10位女性中,有3位又患有胃病,现在从患心肺疾病的10位女性中,选出3名进行其它方面的排查,记选出患胃病的女性人数为ξ,求ξ的分布列、数学期望以及方差.‎ 下面的临界值表仅供参考:‎ P(K2≥k)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ K ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎20.如图,ABCD是边长为3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE与平面ABCD所成角为60°.‎ ‎(Ⅰ)求证:AC⊥平面BDE;‎ ‎(Ⅱ)求二面角F﹣BE﹣D的余弦值.‎ ‎21.已知椭圆C的两个焦点是(0,﹣)和(0,),并且经过点,抛物线的顶点E在坐标原点,焦点恰好是椭圆C的右顶点F.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C和抛物线E的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)过点F作两条斜率都存在且互相垂直的直线l1、l2,l1交抛物线E于点A、B,l2交抛物线E于点G、H,求的最小值.‎ ‎22.已知函数f(x)=ax2﹣(a+2)x+lnx ‎(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;‎ ‎(2)当a>0时,若f(x)在区间[1,e]上的最小值为﹣2,求a的取值范围;‎ ‎(3)若对任意x1,x2∈(0,+∞),x1<x2,且f(x1)+2x1<f(x2)+2x2恒成立,求a的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年河南省洛阳一中高三(上)第一次月考数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(每小题5分,共60分)‎ ‎1.若复数Z 的共轭复数是,且满足=i(其中i为虚数单位),则z等于(  )‎ A.1﹣i B.1+i C.﹣1﹣i D.﹣1+i ‎【考点】复数代数形式的乘除运算.‎ ‎【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简,再由共轭复数的概念得答案.‎ ‎【解答】解:由=i,得,‎ ‎∴z=1﹣i.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎2.若(x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)2﹣(a1+a3)2的值为(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【考点】二项式定理的应用.‎ ‎【分析】在所给的等式中,分别令x=1,x=﹣1,可得两个式子,再把这两个式子相乘,即得所求.‎ ‎【解答】解:在 中,‎ 令x=1,可得 a0+a1+a2+a3+a4=,‎ 再令x=﹣1,可得 a0﹣a1+a2﹣a3+a4=,‎ 两量式相乘可得则=•=1,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎3.若a<b<0,则下列不等式不成立的是(  )‎ A.> B.> C.> D.|a|>﹣b ‎【考点】不等式的基本性质.‎ ‎【分析】选项A,利用作差法可证明真假,选项B,取a=﹣4,b=﹣2,此时不等式不成立,故可判断真假;选项C,根据a<b<0,则﹣a>﹣b>0,进行判断真假;选项D,根据a<b<0,则﹣a>﹣b>0,从而|a|=﹣a>﹣b,即可判断真假,从而选出正确选项.‎ ‎【解答】解:选项A,﹣=>0,故正确;‎ 选项B,取a=﹣4,b=﹣2,此时不等式>不成立,故不正确;‎ 选项C,∵a<b<0,则﹣a>﹣b>0,∴>,故正确;‎ 选项D,∵a<b<0,则﹣a>﹣b>0,∴|a|=﹣a>﹣b,故正确;‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎4.已知动点P(x,y)满足=,则点P的轨迹是(  )‎ A.两条相交直线 B.抛物线 C.双曲线 D.椭圆 ‎【考点】轨迹方程.‎ ‎【分析】分别令f(x)=,g(x)=,他们的几何意义分别是点到定点和定直线的距离相等,利用抛物线的定义推断出答案.‎ ‎【解答】解:令f(x)=,则其几何意义为点(x,y)到(1,2)的距离,‎ 令g(x)=,其几何意义为(x,y)点到直线y=3x+4y+12的距离,‎ 依题意二者相等,即点到点(1,2)的距离与到定直线的距离相等,进而可推断出P的轨迹为抛物线.‎ 故选B ‎ ‎ ‎5.函数y=loga(x+3)﹣1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+2=0上,其中m>0,n>0,则的最小值为(  )‎ A.2 B.4 C. D.‎ ‎【考点】对数函数的图象与性质.‎ ‎【分析】由题意可得点A(﹣2,﹣1);故﹣2m﹣n+2=0;从而得=+=++2+;利用基本不等式求解.‎ ‎【解答】解:由题意,点A(﹣2,﹣1);‎ 故﹣2m﹣n+2=0;‎ 故2m+n=2;‎ ‎=+‎ ‎=++2+‎ ‎≥4+=;‎ 当且仅当m=n=时,等号成立;‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎6.设椭圆C: =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是C上的点PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】设|PF2|=x,在直角三角形PF1F2中,依题意可求得|PF1|与|F1F2|,利用椭圆离心率的性质即可求得答案.‎ ‎【解答】解:|PF2|=x,∵PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,‎ ‎∴|PF1|=2x,|F1F2|=x,‎ 又|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2c ‎∴2a=3x,2c=x,‎ ‎∴C的离心率为:e==.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎7.已知结论:“在正三角形ABC中,若D是边BC的中点,G是三角形ABC的重心,则”,若把该结论推广到空间,则有结论:“在棱长都相等的四面体ABCD中,若△BCD的中心为M,四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等,则=(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【考点】类比推理.‎ ‎【分析】类比平面几何结论,推广到空间,则有结论:“=3”.设正四面体ABCD边长为1,易求得AM=,又O到四面体各面的距离都相等,所以O为四面体的内切球的球心,设内切球半径为r,则有r=,可求得r即OM,从而可验证结果的正确性.‎ ‎【解答】解:推广到空间,则有结论:“=3”.‎ 设正四面体ABCD边长为1,易求得AM=,又O到四面体各面的距离都相等,‎ 所以O为四面体的内切球的球心,设内切球半径为r,‎ 则有r=,可求得r即OM=,‎ 所以AO=AM﹣OM=,所以 =3‎ 故答案为:3‎ ‎ ‎ ‎8.已知直线mx﹣y+1=0交抛物线y=x2于A、B两点,则△AOB(  )‎ A.为直角三角形 B.为锐角三角形 C.为钝角三角形 D.前三种形状都有可能 ‎【考点】三角形的形状判断.‎ ‎【分析】根据A和B都为抛物线上的点,设出A和B的坐标,把直线与抛物线解析式联立,消去y得到关于x的一元二次方程,利用韦达定理求出两根之积,然后利用A和B的坐标表示出和,利用平面向量的数量积运算法则,计算得出•为0,从而得出两向量互相垂直,进而得到三角形为直角三角形.‎ ‎【解答】解:设A(x1,x12),B(x2,x22),‎ 将直线与抛物线方程联立得,‎ 消去y得:x2﹣mx﹣1=0,‎ 根据韦达定理得:x1x2=﹣1,‎ 由=(x1,x12),=(x2,x22),‎ 得到•=x1x2+(x1x2)2=﹣1+1=0,‎ 则⊥,‎ ‎∴△AOB为直角三角形.‎ 故选A ‎ ‎ ‎9.已知实数x,y满足:,则z=2x+y的最小值(  )‎ A.2 B.1 C. D.‎ ‎【考点】简单线性规划.‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用z的几何意义即可得到结论.‎ ‎【解答】解:由z=2x+y,得y=﹣2x+z 作出不等式组对应的平面区域如图:‎ 由图象可知当直线y=﹣2x+z过点A时,直线y=﹣2x+z的在y轴的截距最小,此时z最小,‎ 由得,即A(1,﹣1),‎ 此时z=2﹣1=1,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎10.已知f(x)=|x+2|+|x﹣4|的最小值为n,则(x﹣)n的展开式中常数项为(  )‎ A.﹣160 B.﹣20 C.20 D.160‎ ‎【考点】二项式系数的性质.‎ ‎【分析】由于f(x)=|x+2|+|x﹣4|的最小值为6,故n=6,在二项式的展开式中令x的幂指数等于0,解得r的值,即可得到结论.‎ ‎【解答】解:由于f(x)=|x+2|+|x﹣4|表示数轴上的x对应点到﹣2和4对应点的距离之和,其最小值为6,故n=6.‎ 故二项式(x﹣)n展开式的通项公式为Tr+1=(x)6﹣r=(﹣2)rx6﹣2r.‎ 令6﹣2r=0,解得r=3,故(x﹣)n的展开式中常数项为(﹣2)3=﹣160.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎11.已知f(x)为R上的可导函数,且对∀x∈R,均有f(x)>f′(x),则有(  )‎ A.e2016f(﹣2016)<f(0),f B.e2016f(﹣2016)>f(0),f C.e2016f(﹣2016)<f(0),f D.e2016f(﹣2016)>f(0),f ‎【考点】导数的运算.‎ ‎【分析】根据题目给出的条件:“f(x)为R上的可导函数,且对∀x∈R,均有f(x)>f'(x)”,结合给出的四个选项,设想寻找一个辅助函数令g(x)=,这样有以e为底数的幂出现,求出函数g(x)的导函数,由已知得该导函数大于0,得出函数g(x)为减函数,利用函数的单调性即可得到结论 ‎【解答】解:令g(x)=,则g′(x)=,‎ 因为f(x)>f'(x),所以g′(x)<0,所以函数g(x)为R上的减函数,‎ 所以g(﹣2016)>g(0)>g<=e2016f(﹣2016),e2016f(0)>f定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x),如果对于任意给定的等比数列{an},{f(an)}仍是等比数列,则称f(x)为“保等比数列函数”,现有定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的如下函数:1、f(x)=x2;2、f(x)=2x;3、f(x)=;4、f(x)=ln|x|.其中是“保等比函数”的f(x)的序号是(  )‎ A.1,2 B.1,3 C.3,4 D.2,4‎ ‎【考点】等比数列的性质.‎ ‎【分析】根据新定义,结合等比数列性质anan+2=an+12,一一加以判断,即可得到结论.‎ ‎【解答】解:由等比数列性质知anan+2=an+12,‎ ‎①f(an)f(an+2)=an2an+22=(an+12)2=f2(an+1),故正确;‎ ‎②f(an)f(an+2)=2an2an+2=2an+an+2≠22an+1=f2(an+1),故不正确;‎ ‎③f(an)f(an+2)===f2(an+1),故正确;‎ ‎④f(an)f(an+2)=ln|an|ln|an+2|≠ln|an+1|2=f2(an+1),故不正确;‎ 故选B.‎ ‎ ‎ 二、填空题(每小题5分,共20分)‎ ‎13.等差数列{an}的前n项和Sn,若a1=2,S3=12,则a6= 12 .‎ ‎【考点】等差数列的前n项和.‎ ‎【分析】根据等差数列的通项公式以及前n项和公式进行求解即可.‎ ‎【解答】解:∵S3=12,‎ ‎∴S3=3a1+d=3a1+3d=12.‎ 解得d=2,‎ 则a6=a1+5d=2+2×5=12,‎ 故答案为:12‎ ‎ ‎ ‎14.计算定积分(+x)dx=  .‎ ‎【考点】定积分.‎ ‎【分析】将定积分分为两个积分的和,再分别求出定积分,即可得到结论.由定积分的几何意义知分dx表示原的面积的二分之一,问题得以解决.‎ ‎【解答】解;由定积分的几何意义知分dx表示以原点为圆心,以1为半径的圆的面积的二分之一,‎ 故dx=,‎ ‎(+x)dx=()dx+xdx=π+|=π+0=.‎ 故答案为:‎ ‎ ‎ ‎15.在直角坐标平面内,以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知点M的极坐标为,曲线C的参数方程为(α为参数).求点M到曲线C上的点的距离的最小值 5﹣ .‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程;圆的参数方程.‎ ‎【分析】利用x=ρcosθ,y=ρsinθ即可把点M的坐标化为直角坐标,进而即可求出直线OM的方程;再把曲线C的参数方程化为化为普通方程,再利用|MA|﹣r即可求出最小值.‎ ‎【解答】解:由曲线C的参数方程(α为参数),‎ 化成普通方程为:(x﹣1)2+y2=2,‎ 圆心为A(1,0),半径为r=,‎ 由于点M在曲线C外,故点M到曲线C上的点的距离的最小值为|MA|.‎ 故答案为:5﹣.‎ ‎ ‎ ‎16.设f″(x)是函数y=f(x)的导函数f′(x)的导数,定义:若f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),且方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的对称中心.有同学发现“任何一个三次函数都有对称中心”,请你运用这一发现处理下列问题:‎ 设,则= 2015 .‎ ‎【考点】导数的运算;函数的值.‎ ‎【分析】求出g(x)的对称中心,根据函数的中心对称特点将2015的函数值两两组合求出.‎ ‎【解答】解:g″(x)=2x﹣1,令g″(x)=0得x=,g()=1.‎ ‎∴g(x)的对称中心为(,1).‎ ‎∴g()+g()=g()+g()=g()+g()=…=g()+g()=2,‎ ‎∴=1007×2+g()=1007×2+g()=2014+1=2015.‎ 故答案为2015.‎ ‎ ‎ 三、解答题(共70分)‎ ‎17.在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的方程为(θ为参数),曲线C2的极坐标方程为C2:ρcosθ+ρsinθ=1,若曲线C1与C2相交于A、B两点.‎ ‎(1)求|AB|的值;‎ ‎(2)求点M(﹣1,2)到A、B两点的距离之积.‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.‎ ‎【分析】(1)利用sin2θ+cos2θ=1即可得到曲线C1的普通方程,把代入C2:ρcosθ+ρsinθ=1,可得:C2的普通方程,由于C2的参数方程为为参数),代入C1得,利用|AB|=|t1﹣t2|=即可得出.‎ ‎(2)利用|MA||MB|=|t1t2|即可得出.‎ ‎【解答】解:(1)利用sin2θ+cos2θ=1可得:曲线C1的普通方程为,‎ 由C2:ρcosθ+ρsinθ=1,可得:C2的普通方程为x+y﹣1=0,‎ 则C2的参数方程为为参数),‎ 代入C1得,‎ ‎∴.‎ ‎(2).‎ ‎ ‎ ‎18.选修4﹣5:不等式选讲 设函数f(x)=|x+1|+|x﹣a|(a>0)‎ ‎(Ⅰ)若a=2时,解不等式f(x)≤4;‎ ‎(Ⅱ)若不等式f(x)≤4对一切x∈[a,2]恒成立,求实数a的取值范围.‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法.‎ ‎【分析】(Ⅰ)不等式f(x)≤4 即|x+1|+|x﹣2|≤4,再由绝对值的意义求得不等式f(x)≤4的解集.‎ ‎(Ⅱ)当x∈[a,2],不等式即 x+1+x﹣a≤4,解得 a≥2x﹣3,求得2x﹣3的最大值为2×2﹣3=1,可得a≥1,从而得到 1≤a≤2.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由于函数f(x)=|x+1|+|x﹣a|(a>0),若a=2时,则不等式f(x)≤4 即|x+1|+|x﹣2|≤4.‎ 而由绝对值的意义可得|x+1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到﹣2和2对应点的距离之和,而﹣和应点到﹣2和2对应点的距离之和正好等于4,‎ 故不等式f(x)≤4的解集为[﹣,].‎ ‎(Ⅱ)当x∈[a,2],不等式即 x+1+x﹣a≤4,解得 a≥2x﹣3.由于2x﹣3的最大值为2×2﹣3=1,∴a≥1,‎ 故 1≤a≤2,实数a的取值范围为[1,2].‎ ‎ ‎ ‎19.近年空气质量逐步恶化,雾霾天气现象出现增多,大气污染危害加重,大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病,为了解某市心肺疾病是否与性别有关,在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查,得到如下的列联表.‎ 患心肺疾病 不患心肺疾病 合计 男 ‎5‎ 女 ‎10‎ 合计 ‎50‎ 已知在全部50人中随机抽取1人,抽到患心肺疾病的人的概率为,‎ ‎(1)请将上面的列联表补充完整;‎ ‎(2)是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关?说明你的理由;‎ ‎(3)已知在患心肺疾病的10位女性中,有3位又患有胃病,现在从患心肺疾病的10位女性中,选出3名进行其它方面的排查,记选出患胃病的女性人数为ξ,求ξ的分布列、数学期望以及方差.‎ 下面的临界值表仅供参考:‎ P(K2≥k)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ K ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【考点】独立性检验;离散型随机变量的期望与方差.‎ ‎【分析】(1)根据在全部50人中随机抽取1人抽到患心肺疾病的概率为,可得患心肺疾病的人数,即可得到列联表;‎ ‎(2)利用公式求得K2,与临界值比较,即可得到结论.‎ ‎(3)在患心肺疾病的10位女性中,有3位又患有胃病,记选出患胃病的女性人数为ξ,则ξ服从超几何分布,即可得到ξ的分布列、数学期望以及方差.‎ ‎【解答】解:(1)根据在全部50人中随机抽取1人抽到患心肺疾病生的概率为,可得患心肺疾病的为30人,故可得 列联表补充如下 ‎ 患心肺疾病 不患心肺疾病 合计 男 ‎20‎ ‎5‎ ‎25‎ 女 ‎10‎ ‎15‎ ‎25‎ 合计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎(2)因为 K2=,即K2==,‎ 所以 K2≈8.333‎ 又 P(k2≥7.879)=0.005=0.5%,‎ 所以,我们有 99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的.‎ ‎(3)现在从患心肺疾病的10位女性中,选出3名进行胃病的排查,‎ 记选出患胃病的女性人数为ξ,则ξ=0,1,2,3.‎ 故P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,P(ξ=3)=,‎ 则ξ的分布列:‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 则Eξ=1×+2×+3×=0.9,‎ Dξ=×(0﹣0.9)2+×(1﹣0.9)2+×(2﹣0.9)2+×(3﹣0.9)2=0.49‎ ‎ ‎ ‎20.如图,ABCD是边长为3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE与平面ABCD所成角为60°.‎ ‎(Ⅰ)求证:AC⊥平面BDE;‎ ‎(Ⅱ)求二面角F﹣BE﹣D的余弦值.‎ ‎【考点】用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的判定.‎ ‎【分析】(Ⅰ)因为DE⊥平面ABCD,所以DE⊥AC.因为ABCD是正方形,所以AC⊥BD,从而AC⊥平面BDE;(Ⅱ)建立空间直角坐标系D﹣xyz,分别求出平面BEF的法向量为和平面BDE的法向量,利用向量法能求出二面角的余弦值.‎ ‎【解答】(Ⅰ)证明:因为DE⊥平面ABCD,所以DE⊥AC.‎ 因为ABCD是正方形,所以AC⊥BD,‎ 从而AC⊥平面BDE.…‎ ‎(Ⅱ)解:因为DA,DC,DE两两垂直,所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示.‎ 因为BE与平面ABCD所成角为60°,即∠DBE=60°,‎ 所以.‎ 由AD=3,可知DE=3,AF=.‎ 则A(3,0,0),F(3,0,),E(0,0,3),B(3,3,0),C(0,3,0),‎ 所以=(0,﹣3,),=(3,0,﹣2).‎ 设平面BEF的法向量为=(x,y,z),则 ‎,即.‎ 令z=,则=(4,2,).‎ 因为AC⊥平面BDE,所以为平面BDE的法向量, =(3,﹣3,0).‎ 所以cos.‎ 因为二面角为锐角,所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为.…‎ ‎ ‎ ‎21.已知椭圆C的两个焦点是(0,﹣)和(0,),并且经过点,抛物线的顶点E在坐标原点,焦点恰好是椭圆C的右顶点F.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C和抛物线E的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)过点F作两条斜率都存在且互相垂直的直线l1、l2,l1交抛物线E于点A、B,l2交抛物线E于点G、H,求的最小值.‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.‎ ‎【分析】(I)设椭圆的标准方程,利用椭圆的定义,求出a,即可得出椭圆的方程,从而可得右顶点F的坐标,即可求出抛物线E的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)设l1的方程:y=k(x﹣1),l2的方程,与抛物线方程联立,利用韦达定理,结合向量的数量积公式,利用基本不等式,即可求的最小值.‎ ‎【解答】解:(I)设椭圆的标准方程为(a>b>0),焦距为2c,‎ 则由题意得 c=,,‎ ‎∴a=2,b2=a2﹣c2=1,‎ ‎∴椭圆C的标准方程为. …‎ ‎∴右顶点F的坐标为(1,0).‎ 设抛物线E的标准方程为y2=2px(p>0),‎ ‎∴,‎ ‎∴抛物线E的标准方程为y2=4x. …‎ ‎(Ⅱ)设l1的方程:y=k(x﹣1),l2的方程,A(x1,y1),B(x2,y2),G(x3,y3),H(x4,y4),‎ 由消去y得:k2x2﹣(2k2+4)x+k2=0,‎ ‎∴x1+x2=2+,x1x2=1.‎ 由消去y得:x2﹣(4k2+2)x+1=0,‎ ‎∴x3+x4=4k2+2,x3x4=1,…‎ ‎∴‎ ‎=‎ ‎=||•||+||•||‎ ‎=|x1+1|•|x2+1|+|x3+1|•|x4+1|‎ ‎=(x1x2+x1+x2+1)+(x3x4+x3+x4+1)‎ ‎=8+≥8+=16.‎ 当且仅当即k=±1时,有最小值16.…‎ ‎ ‎ ‎22.已知函数f(x)=ax2﹣(a+2)x+lnx ‎(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;‎ ‎(2)当a>0时,若f(x)在区间[1,e]上的最小值为﹣2,求a的取值范围;‎ ‎(3)若对任意x1,x2∈(0,+∞),x1<x2,且f(x1)+2x1<f(x2)+2x2恒成立,求a的取值范围.‎ ‎【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.‎ ‎【分析】(1)求出导数,求出f(1)及f′(1)的值,代入点斜式方程即可得到答案;‎ ‎(2)确定函数的定义域,求导函数,分类讨论,确定函数的单调性,利用函数f(x)在区间[1,e]上的最小值为﹣2,即可求a的取值范围;‎ ‎(3)设g(x)=f(x)+2x,则g(x)=ax2﹣ax+lnx,对任意x1,x2∈(0,+∞),x1<x2,且f(x1)+2x1<f(x2)+2x2恒成立,等价于g(x)在(0,+∞)上单调递增,由此可求a的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)当a=1时,f(x)=x2﹣3x+lnx,f′(x)=2x﹣3+,‎ 因为f'(1)=0,f(1)=﹣2,‎ 所以切线方程为y=﹣2; ‎ ‎(2)函数f(x)=ax2﹣(a+2)x+lnx的定义域为(0,+∞),‎ 当a>0时,f′(x)=2ax﹣(a+2)+(x>0),‎ 令f'(x)=0,即f′(x)=,所以x=或x=. ‎ 当0<≤1,即a≥1时,f(x)在[1,e]上单调递增,‎ 所以f(x)在[1,e]上的最小值是f(1)=﹣2; ‎ 当1<<e,即<a<1时,f(x)在[1,e]上的最小值是f()<f(1)=﹣2,不合题意;‎ 当≥e,即0≤a≤时,f(x)在(1,e)上单调递减,‎ 所以f(x)在[1,e]上的最小值是f(e)<f(1)=﹣2,不合题意. ‎ 综上可得 a≥1; ‎ ‎(3)设g(x)=f(x)+2x,则g(x)=ax2﹣ax+lnx,‎ 对任意x1,x2∈(0,+∞),x1<x2,且f(x1)+2x1<f(x2)+2x2恒成立,‎ 等价于g(x)在(0,+∞)上单调递增.‎ 而g′(x)=2ax﹣a+=,‎ 当a=0时,g′(x)=,此时g(x)在(0,+∞)单调递增; ‎ 当a≠0时,只需g'(x)≥0在(0,+∞)恒成立,‎ 因为x∈(0,+∞),只要2ax2﹣ax+1≥0,则需要a≥0,‎ 对于函数y=2ax2﹣ax+1,过定点(0,1),对称轴x=,‎ 只需△=a2﹣8a≤0,即0<a≤8. ‎ 综上可得 0≤a≤8.‎ ‎ ‎ ‎2016年11月8日
查看更多

相关文章

您可能关注的文档