数学文卷·2018届福建省福州市第八中学高二下学期期中考试（2017-04）
福州八中2016—2017学年第二学期期中考试
高二数学（文）
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
2017.4.27
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）
1．在复平面内，复数对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是
①y＝cos x(x∈R)是三角函数；
②三角函数是周期函数；
③y＝cos x(x∈R)是周期函数．
A．①②③ B．③②① C．②③① D．②①③
3．根据所给的算式猜测1234567×9+8等于
1×9+2=11 ；12×9+3=111；123×9+4=1 111；1234×9+5=11 111；……
A．1 111 110 B．1 111 111 C．11 111 110 D．11 111 111
4．用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时，结论的否定是
A.没有一个内角是钝角 B. 至少有两个内角是钝角
C.有三个内角是钝角 D. 有两个内角是钝角
5. 给出下列命题：
①对任意x∈R，不等式x2＋2x>4x－3均成立；
②若log2x＋logx2≥2，则x>1；
③“若a>b>0且c<0，则>”的逆否命题．其中真命题只有
A． ①③ B．①② C． ①②③ D．②③
6．若圆的参数方程为(θ为参数)，直线的参数方程为(t为参数)，则直线与圆的位置关系是
A．过圆心 B．相交而不过圆心 C．相切 D．相离
7．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是
A．3 B．4 C．5 D．6
8．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则 的最小值是
A．4 B．1 C．2 D.0
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
9．在极坐标系中，定点A(1，)，点B在直线l：ρcos θ＋ρsin θ＝0上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标是________
10．若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|＜a无解，则实数a的取值范围是______
11．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下：
x
2
4
5
6
8
y
20
40
60
70
80
根据以上数据，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为，据此模型来预测当x= 20时，y的估计值为
12. 给出下列等式：
；
；
，……
由以上等式推出一个一般结论：
对于=
三、解答题（本大题共有３个小题，共36分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）
13．（本小题满分12分）
已知命题p：lg(x2－2x－2)≥0；命题q：0
0，b>0，c>0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4.
(1)求a＋b＋c的值；
(2)求a2＋b2＋c2的最小值．
15．（本小题满分12分）
已知某圆的极坐标方程为ρ2－4ρcos (θ－)＋6＝0，求：
(1)圆的普通方程和参数方程；
(2)在圆上所有的点(x，y)中x·y的最大值和最小值．
第Ⅱ卷
四、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）
16．满足条件|z－i|＝|3－4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是
A．一条直线 B．圆 C．两条直线 D．椭圆
17．用数学归纳法证明“42n－1＋3n＋1(n∈N＋)能被13整除”的第二步中，当n＝k＋1时为了使用归纳假设，对42k＋1＋3k＋2变形正确的是
A．3(42k－1＋3k＋1)－13×42k－1
B．4×42k＋9×3k
C．(42k－1＋3k＋1)＋15×42k－1＋2×3k＋1
D．16(42k－1＋3k＋1)－13×3k＋1
18．设F1和F2是双曲线(θ为参数)的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，那么△F1PF2的面积是
A．2 B. C．1 D．5
19．设c1，c2，…，cn是a1，a2，…，an的某一排列(a1，a2，…，an均为正数)，则＋＋…＋的最小值是
A．2n B. C. D. n
五、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）
20．圆ρ＝r与圆ρ＝－2rsin(r>0)的公共弦所在直线的方程为
21．已知关于x的不等式 在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为_______
六、解答题（本大题共有2个小题，共26分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）
22．（本小题满分12分）
已知经过A(5，－3)且倾斜角的余弦值是－的直线，直线与圆x2＋y2＝25交于B、C两点．
(1)请写出该直线的参数方程以及BC中点坐标；
(2)求过点A与圆相切的切线方程及切点坐标．
23.（本小题满分14分）
（1）已知a，b，c∈R，且2a＋2b＋c＝8，求(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值．
（2）请用数学归纳法证明： …＝(n≥2，n∈N＋)．
福州八中2015—2016学年第二学期期中考试
高二数学（文） 试卷参考答案及评分标准
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分
1-8 CDDB CBCA
二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分
9. 10. (－∞，8] 11. 211.5 12. 1-
三、解答题：本大题共有4个小题，共36分
13．（本小题满分12分）
解: 由lg(x2－2x－2)≥0，得x2－2x－2≥1，
∴x≥3，或x≤－1.即p：x≥3，或x≤－1. …………………２分
∴非p：－10，b>0，所以|a＋b|＝a＋b，
所以f(x)的最小值为a＋b＋c. …………………６分
又已知f(x)的最小值为4，所以a＋b＋c＝4.
(2)由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式，得
(4＋9＋1)≥2＝(a＋b＋c)2＝16，……………9分
即a2＋b2＋c2≥. ………………１０分
高二数学（文）期中考答案 第1页 共3页 高二数学（文）期中考答案 第2页 共3页
当且仅当＝＝，即a＝，b＝，c＝时等号成立，
故a2＋b2＋c2的最小值是. ………………１２分
15．（本小题满分12分）
解：(1)原方程可化为ρ2－4ρ(cos θcos ＋sin θsin )＋6＝0，
即ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0.① ………………２分
因为ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以①可化为x2＋y2－4x－4y＋6＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝2，此方程即为所求圆的普通方程．………………４分
设cos θ＝，sin θ＝，
所以参数方程为(θ为参数)．…………………６分
(2)由(1)可知xy＝(2＋cos θ)·(2＋sin θ)
＝4＋2(cos θ＋sin θ)＋2cos θ·sin θ
＝3＋2(cos θ＋sin θ)＋(cos θ＋sin θ)2.②…………………８分
设t＝cos θ＋sin θ，则t＝sin (θ＋)，t∈[－，]．…１０分
所以xy＝3＋2t＋t2＝(t＋)2＋1.
当t＝－时xy有最小值为1；
当t＝时，xy有最大值为9. ………………１２分
第Ⅱ卷
一、选择题：本大题共4小题，每小题4分，共16分
16-19 ＢＤＣＤ
二、填空题：本大题共2小题，每小题4分，共8分
20. ρ(sin θ＋cos θ)＝－r
21. ２
三、解答题: 本大题共有2个小题，共26分
22． （本小题满分１２分）
解: (1)直线参数方程为(t为参数)，…………………２分
代入圆的方程得t2－t＋9＝0，∴tM＝＝，
则xM＝，yM＝，中点坐标为M.…………………５分
(2)设切线方程为(t为参数)，
代入圆的方程得t2＋(10cos α－6sin α)t＋9＝0.
Δ＝(10cos α－6sin α)2－36＝0，…………………８分
整理得cos α(8cos α－15sin α)＝0，
cos α＝0或tan α＝.
∴过A点切线方程为x＝5,8x－15y－85＝0. …………………１０分
又t切＝－＝3sin α－5cos α，
由cos α＝0得t1＝3，由8cos α－15sin α＝0，
解得可得t2＝－3.
将t1，t2代入切线的参数方程知，相应的切点为(5,0)，.…………１２分
23. （本小题满分１４分）
解：（1）由柯西不等式得：(4＋4＋1)×[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥[2(a－1)＋2(b＋2)＋c－3]2， …………………４分
∴9[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥(2a＋2b＋c－1)2. …………………５分
∵2a＋2b＋c＝8，∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2≥，
∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值是.…………………６分
（2）证明：(1)当n＝2时，左边＝1－＝，右边＝＝.
所以等式成立．…………………８分
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，等式成立，
即…＝(k≥2，k∈N＋)．…………………１０分
当n＝k＋1时，
…＝
·＝＝＝，…13分
所以当n＝k＋1时，等式成立．
高二数学（文）期中考答案 第1页 共3页 高二数学（文）期中考答案 第3页 共3页
根据(1)和(2)知，对n≥2，n∈N＋时，等式成立．………………１４分
【来源：全,品…中&高*考+网】
