【数学】2019届一轮复习北师大版三角函数、解三角形、平面向量及其应用学案

【数学】2019届一轮复习北师大版三角函数、解三角形、平面向量及其应用学案

高考必考题突破讲座(二)‎ 三角函数、解三角形、平面向量及其应用 ‎[解密考纲]近几年的高考全国卷交替考查三角函数、解三角形．该部分解答题是高考得分的基本组成部分，不能掉以轻心．该部分的解答题考查的热点题型有：一是考查三角函数的图象变换以及单调性、最值等；二是考查解三角形问题；三是考查三角函数、解三角形与平面向量的交汇性问题．在解题过程中要抓住平面向量作为解决问题的工具，要注意三角恒等变换公式的多样性和灵活性，注意题目中隐含的各种限制条件，选择合理的解决方法，灵活地实现问题的转化．‎ ‎1．(2018·江苏南京、盐城一模)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．‎ ‎(1)求函数y＝f(x)的解析式；‎ ‎(2)当x∈时，求f(x)的取值范围．‎ 解析 (1)由图象知A＝2，又＝－＝，‎ ω>0，所以T＝2π＝，‎ 解得ω＝1，所以f(x)＝2sin(x＋φ)．‎ 将点代入，得＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，‎ 即φ＝＋2kπ(k∈Z)，又－<φ<，所以φ＝.‎ 所以f(x)＝2sin.‎ ‎(2)当x∈时，x＋∈，‎ 所以sin∈，即f(x)∈[－，2]．‎ ‎2．(2017·北京卷)在△ABC中，∠A＝60°，c＝a.‎ ‎(1)求sin C的值；‎ ‎(2)若a＝7，求△ABC的面积．‎ 解析 (1)在△ABC中，因为A＝60°，c＝a，‎ 所以由正弦定理得sin C＝＝×＝.‎ ‎(2)因为a＝7，所以c＝×7＝3.‎ 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A得72＝b2＋32－2b×3×，‎ 解得b＝8，‎ 所以△ABC的面积S＝bcsin A＝×8×3×＝6.‎ ‎3．四边形ABCD的内角A与C互补，且AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.‎ ‎(1)求角C的大小和线段BD的长度；‎ ‎(2)求四边形ABCD的面积．‎ 解析 (1)∵A＋C＝π，∴cos A＝－cos C．‎ 在△BCD中，由余弦定理，得BD2＝32＋22－2×3×2×cos C＝13－12cos C，‎ 在△ABD中，由余弦定理，得BD2＝12＋22－2×1×2×cos A＝5＋4cos C，‎ 联立上式，解得BD＝，cos C＝.‎ 由于C∈(0，π)，∴C＝，BD＝.‎ ‎(2)∵A＋C＝π，C＝，∴sin A＝sin C＝.‎ 又四边形ABCD的面积SABCD＝S△ABD＋S△BCD＝‎ AB·ADsin A＋CB·CDsin C＝×(1＋3)＝2，‎ ‎∴四边形ABCD的面积为2.‎ ‎4．已知向量a＝(m，cos 2x)，b＝(sin 2x，n)，函数f(x)＝a·b，且y＝f(x)的图象过点和点.‎ ‎(1)求m，n的值；‎ ‎(2)将y＝f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间．‎ 解析 (1)由题意知f(x)＝a·b＝msin 2x＋ncos 2x.‎ 因为y＝f(x)的图象过点和.‎ 所以 即解得 ‎(2)由(1)知f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.‎ 由题意知g(x)＝f(x＋φ)＝2sin.‎ 设y＝g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2)，‎ 由题意知x＋1＝1，所以x0＝0，‎ 即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．‎ 将其代入y＝g(x)得sin＝1，‎ 因为0<φ<π，所以φ＝，‎ 因此g(x)＝2sin＝2cos 2x.‎ 由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z得kπ－≤x≤kπ，k∈Z.‎ 所以函数y＝g(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎5．(2018·湖北重点中学高三起点考试)已知f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－sin 2x)，b＝(cos x,1)，x∈R.‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝，且向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，求边长b和c的值．‎ 解析 (1)由题意知，f(x)＝2cos 2x－sin 2x＝1＋2cos.‎ ‎∵y＝cos x在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调递增，‎ ‎∴令2kπ－π≤2x＋≤2kπ(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ－(k∈Z)，‎ ‎∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．‎ ‎(2)∵f(A)＝1＋2cos＝－1，∴cos＝－1，‎ 又<‎2A＋<，∴‎2A＋＝π，即A＝，∵a＝，‎ ‎∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc＝.‎ ‎∵向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，∴2sin B＝3sin C，‎ 由正弦定理得2b＝‎3c，则b＝，c＝1.‎ ‎6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos B＋bcos A＝2ccos A．‎ ‎(1)若△ABC的面积S＝，求证：a≥；‎ ‎(2)如图，在(1)的条件下，若M，N分别为AC，AB的中点，且＝，求b，c.‎ 解析 (1)由acos B＋bcos A＝2ccos A及正弦定理可得 sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos A，‎ 即sin(A＋B)＝2sin Ccos A，‎ 因为A＋B＋C＝π，所以sin(A＋B)＝sin C≠0，‎ 所以cos A＝，又A∈(0，π)，∴A＝，‎ 由S＝bcsin A＝可得bc＝2.‎ 在△ABC中，由余弦定理可得，‎ a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝2，当且仅当b＝c＝时取等号，所以a≥.‎ ‎(2)因为M，N分别为AC，AB的中点，所以AM＝AC＝b，‎ AN＝AB＝c，‎ 在△ABM中，由余弦定理可得，BM2＝c2＋－bc，‎ 在△ACN中，由余弦定理可得，CN2＝＋b2－bc，‎ 由＝可得，c2＋－bc＝，‎ 整理得(c＋8b)(c－2b)＝0，所以c＝2b，又bc＝2可得b＝1，c＝2.‎