安徽省蚌埠市2020届高三下学期第四次教学质量检查考试 数学(理) PDF版含答案

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安徽省蚌埠市2020届高三下学期第四次教学质量检查考试 数学(理) PDF版含答案

蚌埠市高三年级数学(理)试卷第 1页(共 4 页) 蚌 埠 市 2 0 2 0 届 高 考 模 拟 考 试 数 学(理工类) 本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟 注意事项: 1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的 A、B、C、D 的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的) 1. 已知 i 2 iz   ,则复数 z 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2. 已知集合    26, 3, 2,1,2,3,5 , 5 6 ,A B x x x x        Z ,则 A B  A. 2,3,6  B. 3,2 C. 5,1 D. 5,3,2,1 3.已知命题 π: 0, , sin2p x x x      ,则 p 为 A. π0, , sin2x x x      B. π0, , sin2x x x      C. 0 0 0 π0, , sin2x x x      D. 0 0 0 π0, , sin2x x x      4.已知 3.0 3 13 3,2log2, 3 1log  cba ,则 A. cba  B. bca  C. bac  D. acb  5. 2019 年以来,世界经济和贸易增长放缓, 中美经贸摩擦影响持续显现,我国对外贸 易仍然表现出很强的韧性.今年以来,商 务部会同各省市全面贯彻落实稳外贸决策 部署,出台了一系列政策举措,全力营造 法治化、国际化、便利化的营商环境,不断 提高贸易便利化水平,外贸稳规模、提质 量、转动力取得阶段性成效,进出口保持 稳中提质的发展势头,右图是某省近五年 进出口情况统计图,下列描述错误..的是 A.这五年,2015 年出口额最少 B. 这五年,出口总额比进口总额多 C.这五年,出口增速前四年逐年下降 D. 这五年,2019 年进口增速最快 6. 函数    tan lnf x x x x  在          2 π,00,2 π 内的图象大致是 第 5 题图 蚌埠市高三年级数学(理)试卷第 2页(共 4 页) 7.已知双曲线   2 2 2: 1 0yC x bb    右焦点为 F ,圆 2 2 1x y  与双曲线 C 的渐近线在第一象 限内的交点为 M,△OMF 面积为 2 ,则双曲线C 的渐近线方程为 A. 2 2y x  B. 2y x  C. 2 2y x  D. 2 4y x  8.在△ ABC 中,D 为 BC 上一点,E 为线段 AD 的中点,若 2BD DC  ,且 BE xAB yAC    , 则 x y  A. 2 3  B. 1 2  C. 1 3 D. 1 3  9. 北京 2022 年冬奥会和冬残奥会色彩系统的主色包括霞光红、迎春黄、天霁蓝、长城灰、瑞雪 白;间色包括天青、梅红、竹绿、冰蓝、吉柿;辅助色包括墨、金、银.若各赛事纪念品的色 彩设计要求:主色至少一种、至多两种,间色两种、辅助色一种,则某个纪念品的色彩搭配 中包含有瑞雪白、冰蓝、银色这三种颜色的概率为 A. 8 225 B. 2 45 C. 1 15 D. 2 15 10. 已知函数    3 sin cos Rf x x x x   ,将  xfy  的图象上所有点的横坐标缩短到原来 的 2 1 倍(纵坐标不变),再将得到的图象上所有点向右平行移动 π 6 个单位长度,得到  xgy  的图象,则以下关于函数  xgy  的结论正确的是 A. 若 1 2,x x 是  g x 的零点,则 1 2x x 是 2π 的整数倍 B. 函数  g x 在区间 π π,4 4     上单调递增 C. 点 3π ,04      是函数  g x 图象的对称中心 D. π 3x  是函数  g x 图象的对称轴 11. 已知正方体 1111 DCBAABCD  棱长为 4, P 是 1AA 中点,过点 1D 作平 面 α ,满足 CP ⊥平面 α ,则平面 α 与正方体 1111 DCBAABCD  的截面 周长为 A. 4 5 6 2 B. 12 2 C. 8 2 8 D. 8 5 12. 已知 O 为坐标原点,抛物线 pxyC 2: 2  上一点 A 到焦点 F 的距离为 4,若点 M 为抛物线 C 准线上的动点,给出以下命题: ① 当△MAF 为正三角形时, p 的值为 2; ② 存在 M 点,使得 0MA MF   ; ③ 若 3MF FA  ,则 p 等于 3; ④ OM MA 的最小值为 2 13 ,则 p 等于 4 或 12. 其中正确的是 A. ①③④ B. ②④ C. ①③ D. ②③④ 第 11 题图 蚌埠市高三年级数学(理)试卷第 3页(共 4 页) 213)( 2  ii pxx 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.若直线 y x a  是曲线  ln 2y x 的切线,则实数 a =_____________. 14.  8 2020 11 1x xx       的展开式中, 3x 的系数为_____________.(用数字回答) 15. 已 知 定 义 在 R 上 的 偶 函 数  f x 满 足    2f x f x   , 且 在  1,2 上 的 表 达 式 为   2 2xf x   ,则函数  f x 与   2log , 0, , 0, x xg x x x     的图象的交点的个数为_______. 16.在 ABC 中,设角 , ,A B C 的对边分别是 , ,a b c ,若 sin sinsin 2 A CB  ,则 1 1 sin sinA C  的 最小值为________. 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,每个试 题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分。 17.(12 分) 已知数列 na 和 nb , 1 2a  , 1 1 1 n nb a   , 1 2n na b  , (1) 证明: 1 2 nb      是等比数列; (2) 若 1 2 n n n n b bc  ,求数列 nc 的前 n 项和 nS . 18.(12 分) 某省为迎接新高考,拟先对考生某选考学科的实际得分进行等级赋分,再按赋分后的分数从 高分到低分划 A,B,C,D,E 五个等级,考生实际得分经赋分后的分数在 30 分到 100 分之间.在 等级赋分科学性论证时,对过去一年全省高考考生的该学科成绩重新赋分后进行分析, 随 机抽取 2000 名学生的该学科赋分后的成绩, 得到如下频率分布直方图.(不考虑缺考考生 的试卷) 附:若 2( , )X N   ,则   0.6826P X        ,  2 2 0.9544P X        ,  3 3 0.9974P X        , 213 14.59 , 第 18 题图 蚌埠市高三年级数学(理)试卷第 4页(共 4 页) (1)求这 2000 名考生赋分后该学科的平均分 x (同一组中数据用该组区间中点作代表); (2)由频率分布直方图可以认为,学生经过赋分以后的成绩 X 服从正态分布 2( , )X N   , 其中  近似为样本平均数 x , 2 近似为样本方差 2s . (i)利用正态分布,求 (50.41 79.59)P X  , (ii)某市有 20000 名高三学生,记Y 表示这 20000 名高三学生中赋分后该学科等级为 A 等 (即得分大于 79.59 )的学生数,利用(i)的结果,求 EY . 19.(12 分) 如图,等腰直角三角形 ABC 所在的平面与半圆弧 AB 所在的平面 垂直, AC AB , P 是弧 AB 上一点,且 30PAB . (1) 证明:平面 BCP 平面 ACP ; (2) 若Q 是弧 AP 上异于 PA, 的一个动点,当三棱锥 APQC  体积最大时,求二面角 CPQA  的余弦值. 20.(12 分) 已知 M 是椭圆 2 2 2 2: 1 0x yC a ba b    ( )上一点, 1 2,F F 分别为椭圆 C 的左、右焦点,且 1 2 2F F  , 1 2 π 3F MF  ,△ 1 2F MF 的面积为 3 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)直线 l 过椭圆 C 右焦点 2F ,交该椭圆于 A,B 两点,AB 中点为 Q ,射线OQ 交椭圆于 P ,记△ AOQ 的面积为 1S ,△ BPQ 的面积为 2S ,若 2 13S S ,求直线 l 的方程. 21.(12 分) 已知函数   e 1 sinxf x a x   (a∈R). (1)当  0,πx 时,   0f x  恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)当 1a  时,数列 na 满足: 0 1na  ,  1n na f a  ,求证: na 是递减数列. (参考数据:sin1 0.84 ) (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。 22. [选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分) 在直角坐标系 xOy 中,四边形 OABC 是正方形,其中 (2,0)A , (0,2)C ,以O 为极点, x 轴 的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 E 的极坐标方程为 2cos  . (1)求曲线 E 的直角坐标方程和直线 AC 的极坐标方程; (2)点 Q 是曲线 E 上的动点,求 22 QCQA  的取值范围. 23.[选修 4-5:不等式选讲](10 分) 已知函数 ( ) | 2 1| 2 | |f x x x a    (1)若 1a   ,求 ( )f x 的最大值; (2)若 ( ) 2 0f x   恒成立,求 a 的范围. 第 19 题图 蚌埠市高三年级数学(理)答案第 1页(共 4 页) 蚌 埠 市 20 2 0 届 高 考 模 拟 考 试 数学(理工类)参考答案及评分标准 一、选择题: 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 C D D B C A A B B D A C 二、填空题: 13. ln 2 1 14. 98 15. 6 16. 4 3 3 三、解答题: 17.(本题满分 12 分) 解:(1) 1 1 1 n nb a   , 1 2n na b  ,  212 11 1   nbb nn ,         21 2 121 1nn bb , …………………2 分 又 21 a , 111 11  ab ,解得 2 121,3 2 1 1  bb , …………………3 分  1 2 nb      是以 2 1 为首项, 2 1 为公比的等比数列. …………………5 分 (2) 由(1)知 nn nb           2 1 2 1 2 121 1 ,则 12 2 1   n n nb ,……………6 分    12 1 12 1 1212 2 2 2121 1 1     nnnn n n nn n bbc ,                           12 1 12 1 12 1 12 1 12 1 12 1 214332 nnnS  12 1 3 1 2   n 18.(本题满分 12 分) 解:(1)依题意, 35 0.05 45 0.1075 55 0.19 65 0.3 75 0.2x           85 0.1025 95 0.05    ……………………………… 2 分 65 ………………………………4 分 (2)(i)由(1)可知, (65,213)X N , …………………………………6 分 所以  (50.41 79.59) 0.6826P X P X           ………8 分 …………………8 分 …………………12 分 蚌埠市高三年级数学(理)答案第 2页(共 4 页) .31741587.020000 人所以 EY (ii)因为  1( 79.59) 0.15872 P XP X           , …………10 分 ……………………………………12 分 19.(本题满分 12 分) 解:(1)∵平面 ABC⊥平面 ABP,AC⊥AB, 平面 ABC∩平面 ABP=AB, ,ABCAC 平面 ,ABPAC 平面 …………………………………………………2 分 又 ,, BPACABPBP  平面 ………………………3 分 ,, BPAPAB 为直径 又 ,, AAPACBPAC   ,ACPBP 平面 ……………………………………………………5 分 又 ., ACPBCPBCPBP 平面平面平面  …………………………6 分 (2) ,, ACPACAPQAC 平面平面  ∴平面 ACP⊥平面 AQP 当三棱锥 C-APQ 体积最大时,Q 为 AP 的中点. ………………7 分   πPAB AQ QP BP  = , = =6 ,且 3 πQAB 设 AB AC= =4,则 2 3AQ BP AP= =2, = , 故以 A 为原点, ABAC, 分别为 x 轴,y 轴正方向, 建立空间直角坐标系 xyzA 则        0,0,0 , 4,0,0 , 0,1, 3 , 0,3, 3A C Q P ,      4,0,0 4, 3, 3 0, 2,0AC PC PQ       , , , …………………9 分 设平面 PQC 的法向量为  , ,x y zm , 则 0 0 PC PQ        m m ,即 3 3 0 2 0 x y z y       4 , 可得平面 PQC 的一个法向量  3, , 0 4m ,易知 AC  为平面 APQ 的一个法向量, 4 3 57cos , 194 3 0 16 ACAC AC         mm m , …………………11 分 ​ A PQ C二面角 - - 的余弦值为 57 19 . ………………12 分 20.(本题满分 12 分) 解:(1)由 1 2 2F F  可知 1c  .设 ,, 21 nMFmMF  则 2m n a  . 由 1 2 π 3F MF  与 1 2 3F MFS  ,可得 1 sin 32 3mn   ,即 4mn  , ………2 分 又在△ 1 2F MF 中结合余弦定理得, 2 24 2 cos 3m n mn    , 即 24 ( ) 3m n mn   ,得 4m n  , ……………………………4 分 所以 2a  ,故 2 3b  ,所以椭圆 C 的方程为 2 2 14 3 x y  . ………………6 分 蚌埠市高三年级数学(理)答案第 3页(共 4 页) (2) 2 13 ,S S 1 1| || | sin 3 | || | sin2 2PQ QB BQP OQ QA AQO   ∴ | | 3| |PQ OQ即 | | 4 | | 4 ,P QOP OQ x x ∴ ,从而 ……………………………8 分 当 AB 斜率不存在时, 1 2S S ,不符合题意; 当 AB 斜率存在时,设直线 AB 的方程为  1y k x  , 设点 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ,则 2 2 1 1 2 2 2 2 14 3 14 3 x y x y       , 两式作差可得 1 2 1 2 1 2 1 2 3 4 y y y y x x x x      ,即 3 4AB OPk k   ,即 3 4OPk k   . 故直线OP 的方程为 3 4y xk   . ……………………………………10 分 联立 2 2 3 4 14 3 y xk x y       ,解得 2 2 2 16 3 4P kx k   ;联立  1 3 4 y k x y xk     ,解得 2 2 4 3 4Q kx k   ; 因为 4 ,P Qx x 所以 2 2 2 43 44 43 4 k k k k   ,解得 1 2k   , 直线 AB 方程为  1 12y x   . ………………………………………12 分 21.(本题满分 12 分) 解:(1)因为  0,πx ,    e cos , e sinx xf x a x f x a x     . ① 当 0a  时,即 0a  , sin 0, sin 0x a x   , 又 e 1 0x   , e 1 sin 0x a x    , 即   0f x  恒成立,符合题意; …………………………………2 分 ② 当 0 1a  时,   e sin 0xf x a x     f x 在区间 0,π 单调递增,    0 1 0, '(0) 0f a f x f       ,  f x 在区间 0,π 单调递增,    0 0, (0) 0f f x f    ,符合题意; ……………………………………4 分 ③ 当 1a  时,   e sin 0xf x a x     f x 在区间 0,π 单调递增,   π 2π0 1 0, =e 02f a f         ,    0 00,π , 0x f x  使 ,且    00 , 0,x x f x f x  当 时 单调递减,    0 π , 0,x x f x f x  当 时 单调递增,    0 0 0f x f   ,不符合题意; 综上所述, a 的范围是 ,1 . …………6 分 (2)由题意, 1a  ,    e 1 sin , 0,1xf x x x    , 令     e 1 sinxg x f x x x x      ,   e cos 1xg x x    , 蚌埠市高三年级数学(理)答案第 4页(共 4 页)   e sin 0xg x x    ,  g x 在区间 0,1 单调递增, ………………………8 分 011cos)1(,01)0(  egg ,    1 10,1 , 0x g x  使 ,    10 , 0,x x g x g x   单调递减,    1 1, 0,x x g x g x   单调递增,    0 0, 1 e 1 sin1 1 e 2 0.84 0g g         ,   0g x  ,即当    0,1 ,x f x x  , …………………………………10 分 由(1)知    e 1 sin , 0,1xf x x x    单调递增, 0 1na  , 10 (0) ( ) (1) 1 sin1 1n nf a f a f e       ∴ 而 ,0)(1  nnnn aafaa 即 1n na a  ,故 na 是递减数列. ………………12 分 22. (本题满分 10 分) 解:(1)由 2cos  ,得 2 2 cos   从而 2 2 2x y x  , 故曲线 E 的直角方程为 1)1( 22  yx . …………3 分 (注:不化为标准形式不扣分) 而直线 AC 的普通方程为 2x y  , 所以其极坐标方程为 cos sin 2     . ………………………………5 分 (2)因为点 Q 在曲线 E 上,所以可设其坐标为 (1 cos ,sin )  ,………………6 分 则 2 2| | | |QA QC 2 2(cos 1) (sin )    2 2(1 cos ) (sin 2)     8 4sin  . ………8 分 因为 1 sin 1   ,所以 2 24 | | | | 12QA QC   , 所以 2 2| | | |QA QC 的取值范围是[4,12] . …………………………………10 分 23. (本题满分 10 分) 解:(1)当 1a   时, ( ) | 2 1| 2| 1|f x x x    , …………………………………1 分 所以,当 1x   时, ( ) 2 1 2 2 3f x x x      ; …………………………2 分 当 11 2x   时, ( ) 2 1 2 2 4 1 3f x x x x         ; …………………3 分 当 1 2x  时, ( ) 2 1 2 2 3f x x x      . …………………………………4 分 所以 ( )f x 的最大值为 3. ………………………………………………………5 分 (2)因为 ( ) | 2 1| 2| | | 2 1| | 2 2 |f x x x a x x a        | (2 2 ) (1 2 ) | |1 2 |x a x a      , ………………………………7 分 当 x=a 时等号成立. 依题意|1 2 | 2a  , 所以 1 3[ , ]2 2a  . …………………………………………………………10 分 (以上答案仅供参考,其它解法请参考以上评分标准酌情赋分)
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