2020年高中数学第二章推理与证明2
2.2.1 综合法和分析法
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．在证明命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的过程：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ＋sin2θ)(cos2θ－sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”中应用了( )
A．分析法
B．综合法
C．分析法和综合法综合使用
D．间接证法
答案：B
2．已知函数f(x)＝lg，若f(a)＝b，则f(－a)等于( )
A．b B．－b
C. D．－
解析：f(x)定义域为(－1,1)，
f(－a)＝lg＝lg()－1＝－lg＝－f(a)＝－b.
答案：B
3．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：
0 B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
解析：0⇔(a－c)(a－b)>0.
答案：C
4．在不等边△ABC中，a为最大边，要想得到 A为钝角的结论，对三边a，b，c应满足的条件，判断正确的是( )
A．a2b2＋c2 D．a2≤b2＋c2
解析：要想得到A为钝角，只需cos A<0，因为cos A＝，所以只需b2＋c2－a2<0，即b2＋c2b B．ab.
答案：A
6．已知sin x＝，x∈(，)，则tan(x－)＝________.
解析：∵sin x＝，x∈(，)，∴cos x＝－ ，
∴tan x＝－，∴tan(x－)＝＝－3.
答案：－3
7．如果a＋b>a＋b，则实数a，b应满足的条件是________．
解析：a＋b>a＋b⇔a－a>b－b
⇔a(－)>b(－)⇔(a－b)(－)>0
⇔(＋)(－)2>0，
故只需a≠b且a，b都不小于零即可．
答案：a≥0，b≥0且a≠b
8．设a>0，b>0，则下面两式的大小关系为lg(1＋)________[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．
解析：∵(1＋)2－(1＋a)(1＋b)＝1＋2＋ab－1－a－b－ab＝2－(a＋b)＝－(－)2≤0，
∴(1＋)2≤(1＋a)(1＋b)，
∴lg(1＋)≤[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．
答案：≤
9．设a，b大于0，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2.
证明：要证a3＋b3>a2b＋ab2成立，
即需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立．
又因a＋b>0，
故只需证a2－ab＋b2>ab成立，
即需证a2－2ab＋b2>0成立，
即需证(a－b)2>0成立．
而依题设a≠b，则(a－b)2>0显然成立．
故原不等式a3＋b3>a2b＋ab2成立．
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10．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函数y＝f(x＋1)与y＝f(x)的图象关于y轴对称，求证：函数y＝f(x＋)为偶函数．
证明：∵函数y＝f(x)与y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称．
∴f(x＋1)＝f(－x) ，
则y＝f(x)的图象关于x＝对称，
∴－＝，∴a＝－b.
则f(x)＝ax2－ax＋c＝a(x－)2＋c－，
∴f(x＋)＝ax2＋c－为偶函数．
[B组 能力提升]
1．设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为( )
A．8 B．4
C．1 D.
解析：是3a与3b的等比中项⇒3a·3b＝3⇒3a＋b＝3⇒a＋b＝1，因为a>0，b>0，所以≤＝⇒ab≤，
所以＋＝＝≥＝4.
答案：B
2．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：若l⊥α，m⊂β，α∥β，则l⊥β，所以l⊥m，①正确；
若l⊥α，m⊂β，l⊥m，α与β可能相交，②不正确；
若l⊥α，m⊂β，α⊥β，l与m可能平行或异面，③不正确；
若l⊥α，m⊂β，l∥m，则m⊥α，所以α⊥β，④正确．
答案：B
3．如图，在直四棱柱A1B1C1D1ABCD
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(侧棱与底面垂直)中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)．
解析：要证明A1C⊥B1D1，
只需证明B1D1⊥平面A1C1C，
因为CC1⊥B1D1，
只要再有条件B1D1⊥A1C1，就可证明B1D1⊥平面A1CC1，
从而得B1D1⊥A1C1.
答案：B1D1⊥A1C1(答案不唯一)
4．如果不等式|x－a|<1成立的充分非必要条件是
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