2020年全国新高考数学Ⅰ卷试卷【word版;可编辑;含答案】

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2020年全国新高考数学Ⅰ卷试卷【word版;可编辑;含答案】

‎2020年全国新高考Ⅰ卷数学试卷 一、选择题 ‎1.设集合A={x|1≤x≤3}‎,B={x|2n>0‎,则C是椭圆,其焦点在y轴上 B.若m=n>0‎,则C是圆,其半径为n C.若mn<0‎,则C是双曲线,其渐近线方程为y=±‎-‎mnx D.若m=0, n>0‎,则C是两条直线 ‎10.如图是函数y=sinωx+φ的部分图像,则sinωx+φ=‎()‎ ‎ 7 / 7‎ A.sinx+‎π‎3‎ B.sinπ‎3‎‎-2x C.cos‎2x+‎π‎6‎ D.‎cos‎5π‎6‎‎-2x ‎11.已知a>0‎,b>0‎,且a+b=1‎,则()‎ A.a‎2‎‎+b‎2‎≥‎‎1‎‎2‎ B.‎‎2‎a-b‎>‎‎1‎‎2‎ C.log‎2‎a+log‎2‎b≥-2‎ D.‎a‎+b≤2‎ ‎12.信息熵是信息论中的一个重要概念,设随机变量X所有可能的取值为‎1‎,‎2‎,‎⋯‎,n,且P(X=i)=pi>0(i=1,2,⋯,n)‎,i=1‎npi‎=1‎,定义X的信息熵HX=-‎i=1‎npilog‎2‎pi,则()‎ A.若n=1‎,则HX=0‎ B.若n=2‎,则HX随着pi的增大而增大 C.若pi‎=‎‎1‎ni=1,2,…,n,则HX随着n的增大而增大 D.若n=2m,随机变量Y所有可能的取值为‎1‎,‎2‎,‎⋯‎,m,且PY=j=pj+p‎2m+1-j(j=1,2,⋯,m)‎,则HX≤HY 三、填空题 ‎13.斜率为‎3‎的直线过抛物线C:y‎2‎=4x的焦点,且与C交于A,B两点,则‎|AB|=‎________.‎ ‎14.将数列‎2n-1‎与‎3n-2‎的公共项从小到大排列得到数列an,则an的前n项和为________.‎ ‎15.某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示.O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心,A是圆弧AB与直线AG的切点,B是圆弧AB与直线BC的切点,四边形DEFG为矩形,BC⊥DG,垂足为C,tan∠ODC=‎‎3‎‎5‎,BH//DG,EF=12cm,DE=2cm,A到直线DE和EF的距离均为‎7cm,圆孔半径为‎1‎,则图中阴影部分的面积为________cm‎2‎.‎ ‎16.已知直四棱柱ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎的棱长均为‎2‎,‎∠BAD=‎‎60‎‎∘‎,以D‎1‎为球心,‎5‎为半径的球面与侧面BCC‎1‎B‎1‎的交线长为________.‎ 四、解答题 ‎17.在①ac=‎‎3‎,②csinA=3‎,③c=‎3‎b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.‎ 问题:是否存在‎△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinA=‎3‎sinB,C=‎π‎6‎,________?‎ ‎18.已知公比大于‎1‎的等比数列‎{an}‎满足a‎2‎‎+a‎4‎=20‎,a‎3‎‎=8‎.‎ ‎(1)‎求‎{an}‎的通项公式;‎ ‎(2)‎记bm为‎{an}‎在区间‎(0,m](m∈N‎*‎)‎中的项的个数,求数列‎{bm}‎的前‎100‎项和S‎100‎.‎ ‎19.为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了‎100‎天空气中的PM2.5‎和SO‎2‎浓度(单位:μg/m‎3‎)‎,得下表:‎ ‎ 7 / 7‎ ‎(1)‎估计事件“该市一天空气中PM2.5‎浓度不超过‎75‎,且SO‎2‎浓度不超过‎150‎”的概率;‎ ‎(2)‎根据所给数据,完成下面的‎2×2‎列联表:‎ ‎(3)‎根据‎(2)‎中的列联表,判断是否有‎99%‎的把握认为该市一天空气中PM2.5‎浓度与SO‎2‎浓度有关?‎ 附:K‎2‎‎=‎n(ad-bc‎)‎‎2‎‎(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)‎,‎ P(K‎2‎≥k)‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎20.如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥‎底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.‎ ‎(1)‎证明:l⊥‎平面PDC;‎ ‎(2)‎已知PD=AD=1‎,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.‎ ‎21.已知函数fx=aex-1‎-lnx+lna.‎ ‎(1)‎当a=e时,求曲线y=fx在点‎1,f‎1‎处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;‎ ‎(2)‎若fx≥1‎,求a的取值范围.‎ ‎22.已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的离心率为‎2‎‎2‎,且过点A(2,1)‎.‎ ‎(1)‎求C的方程;‎ ‎(2)‎点M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足.证明:存在定点Q,使得‎|DQ|‎为定值.‎ ‎ 7 / 7‎ 参考答案与试题解析 ‎2020年全国新高考Ⅰ卷数学试卷 一、选择题 ‎1.C ‎2.D ‎3.C ‎4.B ‎5.C ‎6.B ‎7.A ‎8.D 二、多选题 ‎9.A,C,D ‎10.B,C ‎11.A,B,D ‎12.A,C 三、填空题 ‎13.‎‎16‎‎3‎ ‎14.‎‎3n‎2‎-2n ‎15.‎‎5π‎2‎‎+4‎ ‎16.‎‎2‎π‎2‎ 四、解答题 ‎17.解:选①:∵sinA=‎3‎sinB,C=‎π‎6‎,ac=‎‎3‎,‎ ‎∴sin‎5‎‎6‎π-B=‎3‎sinB,‎ ‎∴‎1‎‎2‎cosB+‎3‎‎2‎sinB=‎3‎sinB,‎ ‎∴sinπ‎6‎‎-B=0‎,∴B=‎π‎6‎.‎ 又∵C=‎π‎6‎,∴b=c.‎ 由正弦定理可得:a=‎3‎b,‎ 又ab=‎‎3‎ 解得a=‎3‎, b=1‎,‎ ‎∴c=1‎,‎ 故满足条件存在‎△ABC;‎ 选②:sinA=‎3‎sinB,C=‎π‎6‎,csinA=3‎.‎ ‎∵csinA=3‎,∴asinC=3‎,‎ ‎∴a=6‎.‎ 由正弦定理可得:a=‎3‎b,‎ ‎∴b=2‎‎3‎,‎ ‎∴‎c‎2‎‎=a‎2‎+b‎2‎-2abcosC ‎=36+12-24‎3‎×‎3‎‎2‎=12‎‎,‎ ‎∴c=2‎‎3‎,‎ ‎∴B=‎π‎6‎,A=‎2‎‎3‎π,‎ 故满足条件存在‎△ABC;‎ 选③:c=‎3‎b,sinA=‎3‎sinB,C=‎π‎6‎,‎ 由①可知,B=‎π‎6‎,‎ 故‎△ABC为等腰三角形c=b,又c=‎3‎b,矛盾.‎ 故不存在‎△ABC满足条件.‎ ‎18.解:‎(1)‎由题意可知‎{an}‎为等比数列,‎ ‎ 7 / 7‎ a‎2‎‎+a‎4‎=20‎‎,a‎3‎‎=8‎,‎ 可得a‎3‎q‎+a‎3‎q=20‎,‎ 得‎2q‎2‎-5q+2=0‎,‎ ‎(2q-1)(q-2)=0‎‎.‎ ‎∵q>1‎‎,‎ ‎∴q=2‎‎,‎ ‎∵a‎1‎×q‎2‎=‎a‎3‎‎,‎ 可得a‎1‎‎=2‎,‎ ‎∴{an}‎的通项公式为:‎ an‎=2×‎2‎n-1‎=‎‎2‎n‎.‎ ‎(2)∵‎bm为‎{an}‎在‎(0,m](m∈N‎*‎)‎中的项的个数,‎ 当m=‎‎2‎k时,bm‎=k,‎ 当m∈[‎2‎k-1‎,‎2‎k)‎时,bm‎=k-1‎,其中k∈‎N‎+‎.‎ 可知S‎100‎‎=b‎1‎+(b‎2‎+b‎3‎)‎ ‎+(b‎4‎+b‎5‎+b‎6‎+b‎7‎)‎ ‎+(b‎8‎+b‎9‎+⋯+b‎15‎)‎ ‎+(b‎16‎+b‎17‎+⋯+b‎31‎)‎ ‎+(b‎32‎+b‎33‎+⋯+b‎63‎)‎ ‎+(b‎64‎+b‎65‎+⋯+b‎100‎)‎ ‎=0+1×2+2×4+3×8‎ ‎+4×16+5×32+6×37‎ ‎=480‎‎.‎ ‎19.解:‎(1)‎根据抽查数据,‎ 该市‎100‎天的空气中PM2.5‎浓度不超过‎75‎,且SO‎2‎浓度不超过‎150‎的天数为:‎ ‎32+18+6+8=64‎‎,‎ 因此,该市一天空气中PM2.5‎浓度不超过‎75‎,‎ 且SO‎2‎浓度不超过‎150‎的概率的估计值为‎64‎‎100‎‎=0.64‎.‎ ‎(2)‎根据抽查数据,可得‎2×2‎列联表:‎ ‎(3)‎根据‎(2)‎的列联表得 K‎2‎‎=‎100×(64×10-16×10‎‎)‎‎2‎‎80×20×74×26‎≈7.484‎‎,‎ 由于‎7.484>6.635‎,故有‎99%‎的把握认为该市一天空气中PM2.5‎浓度与SO‎2‎浓度有关.‎ ‎20.‎(1)‎证明:因为四边形ABCD为正方形,‎ 故BC⊥CD.‎ 又因为PD⊥‎底面ABCD,故PD⊥BC,‎ 又由于PD∩DC=D,因此BC⊥‎平面PDC.‎ 因为在正方形ABCD中BC//AD,‎ 且AD⊂‎平面PAD,BC⊄‎平面PAD,‎ 故BC//‎平面PAD.‎ 又因为BC⊂‎平面PBC,‎ 且平面PAD与平面PBC的交线为l,‎ 故BC//l.‎ 因此l⊥‎平面PDC.‎ ‎(2)‎解:由已知条件,P-ABCD底面为正方形,‎ PD⊥‎底面ABCD,‎ 以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DP为z轴,‎ ‎ 7 / 7‎ 建立D-xyz空间直角坐标系,如图所示:‎ 因为PD=AD=1‎,Q在直线l上,‎ 设Qa,0,1‎,其中a∈R,‎ 由题意得,D‎0,0,0‎,C‎0,1,0‎,B‎1,1,0‎,P‎0,0,1‎,‎ 则PB‎→‎‎=‎‎1,1,-1‎,DC‎→‎‎=‎‎0,1,0‎,DQ‎→‎‎=‎a,0,1‎,‎ 设平面QCD法向量为n‎→‎‎=(x,y,z)‎,‎ 则n‎→‎‎⋅DC‎→‎=0,‎n‎→‎‎⋅DQ=0,‎得y=0,‎ax+z=0,‎ 令z=-a,‎ 则平面QCD的一个法向量为:n‎→‎‎=‎‎1,0,-a,‎ 设PB与平面QCD成角为θ,‎ 则sinθ=|cos|‎ ‎=‎‎|1+a|‎‎3‎‎×‎‎1+‎a‎2‎ ‎=‎1‎‎3‎×‎‎(1+a‎)‎‎2‎‎1+‎a‎2‎ ‎=‎3‎‎3‎×‎‎1+‎‎2a‎1+‎a‎2‎‎,‎ ‎①若a=0‎,则sinθ=‎‎3‎‎3‎,‎ ‎②若a≠0‎,则sinθ=‎3‎‎3‎×‎‎1+‎‎2‎‎1‎a‎+a,‎ a>0‎时,‎ ‎∵‎1‎a+a≥2×‎1‎a‎⋅a=2‎‎,‎ 当且仅当‎1‎a‎=a,即a=1‎时,$``="$成立,‎ ‎∴sinθ≤‎3‎‎3‎×‎1+‎‎2‎‎2‎=‎‎6‎‎3‎‎.‎ 当a<0‎时,sinθ<‎‎3‎‎3‎,‎ ‎∴‎当a=1‎时,sinθ=‎‎6‎‎3‎取到最大值.‎ 综上所述,PB与平面QCD成角的正弦值的最大值为‎6‎‎3‎.‎ ‎21.解:‎(1)‎当a=e时,fx=ex-lnx+1‎,‎ f‎'‎x‎=ex-‎‎1‎x‎,‎ ‎∴k=f‎'‎‎1‎=e-1‎,f‎1‎=e+1‎,‎ ‎∴y-e+1‎=‎e-1‎x-1‎,‎ 即y=e-1‎x+2‎,‎ ‎∴在y轴上的截距为‎2‎,在x轴的截距为‎2‎‎1-e,‎ ‎∴S=‎1‎‎2‎×2×|‎2‎‎1-e|=‎‎2‎e-1‎.‎ ‎(2)‎‎①当‎00‎,‎ 所以当x=1‎时,fx取得最小值,‎ ‎ 7 / 7‎ 最小值为f‎1‎=1‎,从而fx≥1‎;‎ ‎③当a>1‎时,‎ fx=aex-1‎-lnx+lna≥ex-1‎-lnx≥1‎‎.‎ 综上,a的取值范围是‎[1,+∞)‎.‎ ‎22.‎(1)‎解:由题设得‎4‎a‎2‎‎+‎1‎b‎2‎=1‎,‎ a‎2‎‎-‎b‎2‎a‎2‎‎=‎‎1‎‎2‎‎,‎ 解得a‎2‎‎=6‎,b‎2‎‎=3‎.‎ ‎∴C的方程为x‎2‎‎6‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎.‎ ‎(2)‎证明:设M(x‎1‎,y‎1‎)‎,N(x‎2‎,y‎2‎)‎.‎ 若直线MN与x轴不垂直,设直线MN的方程为 y=kx+m‎,代入x‎2‎‎6‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎得 ‎(1+2k‎2‎)x‎2‎+4kmx+2m‎2‎-6=0‎‎.‎ 于是x‎1‎‎+x‎2‎=-‎‎4km‎1+2‎k‎2‎,x‎1‎x‎2‎‎=‎‎2m‎2‎-6‎‎1+2‎k‎2‎.①‎ 由AM⊥AN知AM‎→‎‎⋅AN‎→‎=0‎,‎ 故‎(x‎1‎-2)(x‎2‎-2)+(y‎1‎-1)(y‎2‎-1)=0‎,可得 ‎(k‎2‎+1)x‎1‎x‎2‎+(km-k-2)(x‎1‎+x‎2‎)+(m-1‎)‎‎2‎+4=0‎‎,‎ 将①代入上式可得 ‎(k‎2‎+1)‎2m‎2‎-6‎‎1+2‎k‎2‎-(km-k-2)‎4km‎1+2‎k‎2‎+(m-1‎)‎‎2‎+4=0‎‎,‎ 整理得‎(2k+3m+1)(2k+m-1)=0‎,‎ 因为A(2,1)‎不在直线MN上,‎ 所以‎2k+m-1≠0‎,‎ 故‎2k+3m+1=0‎,k≠1‎,‎ 于是MN的方程为y=k(x-‎2‎‎3‎)-‎1‎‎3‎(k≠1)‎,‎ 所以直线MN过点P(‎2‎‎3‎,-‎1‎‎3‎)‎.‎ 若直线MN与x轴垂直,可得N(x‎1‎,-y‎1‎)‎.‎ 由AM‎→‎‎⋅AN‎→‎=0‎得 ‎(x‎1‎-2)(x‎1‎-2)+(y‎1‎-1)(-y‎1‎-1)=0‎‎.‎ 又x‎1‎‎2‎‎6‎‎+y‎1‎‎2‎‎3‎=1‎,‎ 可得‎3x‎1‎‎2‎-8x‎1‎+4=0‎,‎ 解得x‎1‎‎=2‎(舍去),x‎1‎‎=‎‎2‎‎3‎,‎ 此时直线MN过点P(‎2‎‎3‎,-‎1‎‎3‎)‎.‎ 令Q为AP的中点,即Q(‎4‎‎3‎,‎1‎‎3‎)‎.‎ 若D与P不重合,则由题设知 AP是Rt△ADP的斜边,故‎|DQ|=‎1‎‎2‎|AP|=‎‎2‎‎2‎‎3‎.‎ 若D与P重合,则‎|DQ|=‎1‎‎2‎|AP|‎.‎ 综上,存在点Q(‎4‎‎3‎,‎1‎‎3‎)‎,使得‎|DQ|‎为定值.‎ ‎ 7 / 7‎
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