2018高考数学（理）复习-2013-2017高考分类汇编-第6章 数列

2018高考数学（理）复习-2013-2017高考分类汇编-第6章 数列

第六章 数列 第一节 等差数列与等比数列 题型67 等差（等比）数列的公差（公比）‎ ‎1.（2013辽宁4）下面是关于公差的等差数列的四个命题：‎ 数列是递增数列； 数列是递增数列；‎ 数列是递增数列； 数列是递增数列；‎ 其中的真命题为( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.（2013江西理3）等比数列，，，的第四项等于（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎3. (2013全国新课标卷理3）等比数列的前项和为，已知，则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. (2013福建理9）已知等比数列的公比为，记，，，则以下结论一定正确的是（　　）‎ A. 数列为等差数列，公差为 　B. 数列为等比数列，公比为 ‎ C. 数列为等比数列，公比为 　D. 数列为等比数列，公比为 ‎ ‎5.（2014 北京理 5）设是公比为的等比数列，则“”是“”为递增数列的（ ）.‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎6.（2014 福建理 3）等差数列的前项和，若，则( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎7.（2014 辽宁理 8）设等差数列的公差为，若数列为递减数列，则（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎8.（2014 重庆理 2）对任意等比数列，下列说法一定正确的是（ ）.‎ A. 成等比数列 B. 成等比数列 C. 成等比数列 D. 成等比数列 ‎9.（2014 安徽理 12）数列是等差数列，若，，构成公比为的等比数列，则 .‎ ‎10.（2015湖南理14）设为等比数列的前项和，若，且，，成等差数列，则 .‎ ‎10.解析 因为，，成等差数列，所以，‎ 即，得，所以.‎ 又因为为等比数列，所以.‎ ‎11.（2015陕西理13）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ．‎ ‎11.解析 当项数时，中位数，‎ 所以；‎ 当项数时，中位数，‎ 所以.‎ 综上所述，首项为.‎ ‎12.（2015浙江理3）已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若成等比数列，则（ ）．‎ A. B. C. D.‎ ‎12.解析 因为成等比数列，所以，‎ 即，所以．因为，所以，所以．又 ，‎ 所以．故选B．‎ ‎13.（2015重庆理2）在等差数列中，若，，则（ ）.‎ A. B. 0 C. 1 D. 6‎ ‎13.解析 由等差中项知：，所以.故选B.‎ ‎14.（2016全国乙理3）已知等差数列前项的和为，，则（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎14.C 解析 设等差数列的公差为，由，得.‎ 又，则，得.故.故选C.‎ ‎15.（2016天津理5）设是首项为正数的等比数列，公比为，则”“是”对任意的正整数，“的（ ）.‎ A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ‎15. C 解析 由题意得，.‎ 由，故是必要不充分条件.故选C.‎ ‎16.（2016江苏8）已知是等差数列，是其前项和．若，，则的值是 ．‎ ‎16. 解析 设公差为，则由题意可得，‎ 解得，则．‎ ‎17.（2016北京理12）已知为等差数列，为其前项和，若，，则__________.‎ ‎17. 解析 设等差数列的公差为d，由题设得，‎ 解得，所以.‎ ‎18.(2017北京理10)若等差数列和等比数列满足，，则 ‎_______.‎ ‎18.解析 由，，则，由，，则，则.故.‎ ‎19.（2017全国1理4）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（ ）.‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎19.解析 ，，联立 ‎，得，即，所以.故选C.‎ ‎20.（2017全国2理3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）.‎ A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 ‎20.解析 设顶层灯数为，，，解得．故选B.‎ ‎21.（2017全国3理14）设等比数列满足， ，则 ___________．‎ ‎21.解析 因为为等比数列，设公比为．‎ 由题意得，即 显然，，，得，即，代入式可得，‎ 所以．‎ 题型68 等差、等比数列求和问题的拓展 ‎22．（2013江西理17）正项数列的前项和满足：．‎ ‎ (1) 求数列的通项公式；‎ ‎ (2) 令，数列的前项和为．证明：对于任意的，都有 ‎．‎ ‎23. （2013江苏19）设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和.记，，其中为实数.‎ ‎（1）若，且成等比数列，证明：（）；‎ ‎（2）若是等差数列，证明：.‎ ‎24.（2017全国1理12）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推.求满足如下条件的最小整数且该数列的前项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎24.解析 设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推．‎ 设第组的项数为，则组的项数和为，由题意得，.令，‎ 得且，即出现在第13组之后，第组的和为，组总共的和为，若要使前项和为2的整数幂，则项的和应与互为相反数，即，，得的最小值为，则.故选A.‎ ‎25.(2017山东理19）已知是各项均为正数的等比数列，且，，‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）如图所示，在平面直角坐标系中，依次联结点，，…，得到折线，求由该折线与直线，，所围成的区域的面积.‎ ‎25.解析 （1）设数列的公比为，由已知.‎ 由题意得，所以，‎ 因为，所以，因此数列的通项公式为 ‎（2）过向轴作垂线，垂足分别为，‎ 由（1）得 记梯形的面积为.‎ 由题意，所以 ①‎ 又 ②‎ ‎，得 ‎ 所以 ‎26.（2014 大纲理 10）等比数列中，，则数列的前项和等于（ ）.‎ A． B． C． D．‎ 题型69 等差、等比数列的性质及其应用 ‎26.（2013广东12）在等差数列中，已知，则 ．‎ ‎27. （2013江苏14）在正项等比数列中，，，则满足 的最大正整数的值为 .‎ ‎28. （2013浙江18）在公差为的等差数列中，已知，且成等比数列.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求 ‎29.（2014 天津理 11）设是首项为，公差为的等差数列，为其前项和.若成等比数列，则的值为__________.‎ ‎30.（2014 江苏理 20）设数列的前项和为．若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”．‎ ‎（1）若数列的前项和 ，证明：是“数列”；‎ ‎（2）设是等差数列，其首项，公差．若 是“数列”，求的值；‎ ‎（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“数列”和，使得成立．‎ ‎31.（2014 天津理 19）已知和均为给定的大于的自然数.设集合，集合.‎ ‎（1）当，时，用列举法表示集合；‎ ‎（2）设，，，其中 ‎，.证明：若，则.‎ ‎32.（2014 北京理 12）若等差数列满足，，则当________时，的前项和最大.‎ ‎33.（2015安徽理14）已知数列是递增的等比数列，，则数列的前项和等于 .‎ ‎34.解析 设等比数列的公比为，则，‎ 解得或（舍去），所以．‎ ‎35.（2015北京理6）设是等差数列，下列结论中正确的是（ ）.‎ A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 ‎36.解析 依题意，是等差数列，若，并不能推出；‎ 故选项A不正确.‎ 对于B选项，若，并不能推出；故选项B不正确.‎ 对于C选项，若，则，‎ ‎，因此，故选项C正确.‎ 对于D选项，若，则，并不能推出.故选C.‎ ‎37.（2015福建理8）若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则（ ）.‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎37.解析 由韦达定理得，，则，，当，，适当排序后 成等比数列时，必为等比中项，故，此时．当适当排序后成等差数列 时，必不是等差中项，当是等差中项时，，解得，；当 是等差中项时，，解得，．‎ 综上所述，，所以．故选D．‎ ‎38.（2015广东理10）在等差数列中，若，则 ．‎ ‎38.解析 因为是等差数列，所以，‎ ‎，即，所以．故应填10．‎ ‎39.（2015全国Ⅱ理4）等比数列满足，，则（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎39.解析 由题意可设等比数列的公比为，则由得，‎ ‎.又因为，所以.解得或（舍去），所以.故选B.‎ ‎40.（2016全国乙理15）设等比数列满足，，则的最大值为 .‎ ‎40. 解析 由，得.‎ 又，得.‎ 故.‎ 解法一：由，得，得，且.故当或时，取得最大值，即.‎ 解法二：.故当或时，取得最大值.‎ ‎41.（2016全国甲理17）为等差数列的前项和，且，．记，其中表示不超过的最大整数，如，．‎ ‎（1）求，，；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎42.解析 （1）设的公差为，，所以，所以，所以．‎ 所以，，．‎ ‎（2）当时，；当时，；‎ 当时，；当时，．‎ 所以．‎ ‎43.（2017江苏09）等比数列的各项均为实数，其前项的和为，已知，，则 ．‎ ‎43.解析 解法一：由题意等比数列公比不为，由，因此，得．‎ 又，得，所以．‎ 故填． ‎ 解法二（由分段和关系）：由题意，所以，即．‎ 下同解法一．‎ ‎44.（2017全国2理15）等差数列的前项和为，，，则 ‎ ．‎ ‎44.解析 设首项为，公差为．由，，得，，所以，，.‎ 题型70 判断或证明数列是等差、等比数列 ‎1.（2014 新课标1理17）已知数列的前项和为，，，，其中为常数.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）是否存在，使得为等差数列？并说明理由.‎ ‎2.（2014 新课标2理17）已知数列满足，.‎ ‎（1）证明是等比数列，并求的通项公式；‎ ‎（2）证明：.‎ ‎3.（2015湖南理21）已知，函数. 记为的从小到大的第个极值点.证明：‎ ‎（1）数列是等比数列；‎ ‎（2）若，则对一切，恒成立. ‎ ‎4.解析 证明 (1) ‎ ‎，其中，.‎ 令 ，由得 ，即. ‎ 对，若，即，则；‎ 若，即，则. ‎ 因此，在区间与上，的符号总相反，‎ 于是，当时，取得极值，所以. ‎ 此时，，易知，‎ 且 是常数，‎ 故数列是首项为，公比为的等比数列.‎ ‎ (2) 由(1)知，，于是对一切，恒成立，‎ 即恒成立，等价于 （*）恒成立（因为）.‎ 设，则.令得.‎ 当时，，所以在上单调递减；‎ 当时，，所以在上单调递增.‎ 从而当时，函数取得最小值. ‎ 因此，要使（*）式恒成立，只需，即只需. ‎ 而当时，由且由知，. ‎ 于是，且当时，，‎ 因此，对一切，，所以，‎ 故（*）式也恒成立.‎ 综上所述，若，则对一切，恒成立.‎ ‎5.（2015江苏卷20）设是各项为正数且公差为的等差数列．‎ ‎（1）证明：依次成等比数列；‎ ‎（2）是否存在，使得依次构成等比数列？并说明理由；‎ ‎（3）是否存在及正整数，使得依次成等比数列，并说明理由．‎ ‎5.解析（1）由题意，，，，‎ 故，，，而且，‎ 从而时以为首项，为公比的等比数列．‎ ‎（2）解法一：假设存在满足条件的，‎ 从而，，，，‎ 若满足题意，的须使，即，‎ 即，化简得，‎ 因为，故，不妨设，‎ 从而转化为，由④得，‎ 代入③得，化简得到，即，‎ 易见不满足④式，故方程组无解，即不存在满足条件的．‎ 解法二：假设存在满足条件的，若需满足条件，则必有成立，‎ 即为了方便，不妨设，，，‎ 易知，即，从而，‎ 即，‎ 整理得，因为，故设，则，‎ 构造，则对恒成立，‎ 由，知．‎ 另外，还需有，即，即，‎ 整理得，仿照上面的步骤即，‎ 解得或，因此不满足题意．‎ 综上论证：不存在满足条件的．‎ 解法三（取对数降为线性）：假设存在满足条件的，由，，，均为正数，‎ 因此均为正数，所以构成等差数列，‎ 即构成等差数列，不妨设通项为，，‎ 由于构成等差数列，且公差为，‎ 故设其通项为，，‎ 从而，即对均成立，‎ 不妨设，从而，‎ 因为，，，‎ 所以函数至多有两个零点，即在上至多有三个单调区间，‎ 从而至多会有三个零点，这与都是的零点相矛盾，‎ 因此不存在满足条件的．‎ ‎（3）解法一（取对数降为线性）：假设存在满足条件的及正整数，‎ 使得依次成等比数列，因为都是整数，‎ 所以构成等差数列，‎ 即构成等差数列，‎ 设其通项为，，‎ 不妨设数列的通项为，，，‎ 所以，‎ 即对恒成立，‎ 不妨设，令，‎ 则 ‎，‎ 因为，，，，‎ 所以函数至多有两个零点，即在上至多有三个单调区间，‎ 从而至多会有三个零点，这与都是的零点相矛盾，‎ 因此不存在满足条件的，使得依次成等比数列．‎ 解法二（多次求导，省考试院提供）：假设存在满足条件的及正整数，‎ 使得依次成等比数列，‎ 则，‎ 分别在上述两个等式的两边同时除以及，‎ 并令，则，‎ 将上述两个等式两边取对数，‎ 得 化简得，‎ 上述两式相除得，‎ 化简得（*），‎ 令，‎ 则，‎ 令，‎ 则.‎ 令，‎ 则，‎ 令，‎ 则，‎ 由，，‎ 知，，，在和上均单调，‎ 故只有唯一的零点，即方程（*）只有唯一解，故假设不成立．‎ 所以不存在满足条件的及正整数，使得依次成等比数列．‎ 评注 第（1）问可以探究并证明是等比数列．‎ 证明：因为，因此以为首项，为公比的等比数列．‎ 第（2）问解法一其实就是通过两元关系找到方程组的解，解高次方程最好的办法就是不断降幂迭代，衔接教材中有一道题就是降幂迭代思维，‎ 例：设，求的值．‎ 解析 因为，故，即.‎ 即是方程的一个根，‎ 故 ‎.‎ ‎【1】或者也可以对方程组，‎ 将②代入①得，‎ 化简即，进而探求与的关系，‎ 由②可直接得到与的关系，验证关系不一致即可证明不存在，如同解法二类似．‎ ‎【2】为了简化运算，参考标准可以选为与，如同解法二类似．但解法二也可以利用迭代，例如解法二涉及，转换后即，即，方程无解．‎ ‎【3】降幂迭代的方向可以不同（部分迭代和全部迭代），仅是步骤复杂程度变化，但结论不变，如处理解法一得到的式子还可以是，由④得，‎ 代入③得，即，‎ 再次迭代，即，解得，同理推翻．‎ ‎【4】如果直接由可以推证，其中．‎ 解得，即或，‎ 当时，易知，此时，不满足题意；‎ 当时，易知，此时，不满足题意．‎ 可以直接推翻结论．‎ ‎【5】构造的时候也可以构造成，如省考试院公布的标准答案．‎ 解法二是通过论证判定方程组解的范围不一致（一个求解范围，一个是确定值）进行否定，具有一定的风险，因为对解的限制要求较高，若两解差的精度较小，则难以通过此法判定．‎ 因此，往后此类试题也可以考查两方程均无法解出确定则，则我们可以通过降幂迭代或者判定解得范围解决．‎ 解法三是从构造方程研究函数零点角度解决．‎ 但数学翻译语言：“函数至多有两个零点，则至多有三个单调区间”是不成立的，因为在无定义的地方可能会间断，将某一单调区间拆成两个，但此题有限制，因此成立．‎ 数学翻译语言：“至多有三个单调区间，则至多会有三个零点”是正确的．‎ ‎【6】也有老师从函数的凹凸性给予解释．‎ ‎（2）假设存在参数可以是其成等比数列，那么我们可以构造出下面的对应等式关系：‎ ‎，，，，，，‎ 所以关于的函数是一致凹或凸的，‎ 所以与的连线必不与，的连线重合．‎ 这是与等差数列对应点在直线上是矛盾的，故不存在满足要求．‎ ‎（3）依据题意构造等式关系如下：‎ ‎，，，，，‎ 所以，，，，‎ 假设存在，那么坐标上三点，，共线，‎ 依据函数图像凹凸性，知其不成立，因此不存在．‎ ‎6.（2016浙江理6）如图所示，点列分别在某锐角的两边上，且，，，，，（表示点与点不重合）.若，为的面积，则（ ）.‎ A.是等差数列 B.是等差数列 ‎ C.是等差数列 D.是等差数列 ‎6.A 解析 设点到对面直线的距离为，则.‎ 由题目中条件可知的长度为定值，则.那么我们需要知道的关系式，过点作垂直得到初始距离，‎ 那么和两个垂足构成了直角梯形，那，其中为两条线的夹角，那么.由题目中条件知，则.‎ 所以，其中为定值，所以为等差数列.故选A.‎ ‎7.（2016全国丙17）已知数列的前项和，.其中.‎ ‎（1）证明是等比数列，并求其通项公式；（2）若，求.‎ ‎7.解析 （1）由题意得，故，，.‎ 由，，得，即.‎ 由，，得，所以.因此是首项为，公比为的等比数列.‎ 于是.‎ ‎（2）由（1）得.由，得，即 ‎，解得.‎ ‎8.（2017江苏19）对于给定的正整数，若数列满足对任意正整数总成立，则称数列是“数列”．‎ ‎（1）证明：等差数列是“数列”；‎ ‎（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列．‎ ‎8.解析 （1）因为是等差数列，设其公差为，则，‎ 从而当时，‎ ‎，，‎ 所以，因此等差数列是“数列”．‎ ‎（2）由数列既是“数列”，又是“数列”，‎ 因此，当时， ①‎ 当时， ②‎ 由①知， ③‎ ‎ ④‎ 将③④代入②，得，其中，‎ 所以是等差数列，设其公差为．‎ 在①中，取，则，所以，‎ 在①中，取，则，所以，‎ 从而数列是等差数列．‎ 评注 这是数列新定义的问题，其实类似的问题此前我们也研究过，给出仅供参考．‎ ‎（2015南通基地密卷7第20题）设数列的各项均为正数，若对任意的，存在，使得成立，则称数列为“型”数列．‎ ‎（1）若数列是“型”数列，且，，求；‎ ‎（2）若数列既是“型”数列，又是“型”数列，证明数列是等比数列．‎ 解析 （1）由题意得，成等比数列，‎ 且公比，所以．‎ ‎（2）由是“型”数列得成等比数列，设公比为， ‎ 由是“型”数列得成等比数列，设公比为；‎ 成等比数列，设公比为；‎ 成等比数列，设公比为； ‎ 则，，，‎ 所以，不妨令，则． ‎ 所以，，‎ 所以，‎ 综上，从而是等比数列．‎ ‎9.(2017北京理20)设和是两个等差数列，记，其中表示这个数中最大的数．‎ ‎（1）若，，求的值，并证明是等差数列；‎ ‎（2）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列．‎ ‎9.解析 （1），，‎ ‎.‎ 当时，，‎ 所以关于单调递减.‎ 从而，‎ 将代入，满足此式，所以对任意，，于是，‎ 得是等差数列.‎ ‎（2）设数列和的公差分别为，则 ‎.‎ 所以.‎ ‎①当时，取正整数，则当时，，因此.‎ 此时，是等差数列.‎ ‎②当时，对任意，‎ ‎.‎ 此时，是等差数列.‎ ‎③当时，当时，有，所以 ‎.‎ 对任意正数，取正整数，‎ 故当时，.‎ 题型71 等差数列与等比数列的交汇问题——暂无 第二节 数列的通项公式与求和 题型72 数列通项公式的求解 ‎1. (2013安徽理14） 如图，互不相同的点和分别在角的两条边上，所有相互平行，且所有梯形的面积均相等. 设.若，则数列的通项公式是 . ‎ ‎2．（2013湖北理18）已知等比数列满足： ，．‎ ‎(1) 求数列的通项公式；‎ ‎(2) 是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由．‎ ‎3．（2013广东19）设数列的前项和为.已知，，‎ ‎(1) 求的值；‎ ‎(2) 求数列的通项公式；‎ ‎(3) 证明:对一切正整数，有.‎ ‎4．(2013天津理19） 已知首项为的等比数列不是递减数列，其前项和为，且，，成等差数列．‎ ‎(1) 求数列的通项公式；‎ ‎(2) 设， 求数列的最大项的值与最小项的值．‎ ‎5.（2014 江苏理 7）在各项均为正数的等比数列中，，，则的值是 ．‎ ‎6.（2014 广东理 19）（14分）设数列的前项和为，满足，且.‎ ‎（1）求的值;‎ ‎（2）求数列的通项公式.‎ ‎7.（2014 湖南理 20）已知数列满足，，.‎ ‎ （1）若为递增数列，且成等差数列，求的值；‎ ‎ （2）若，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式.‎ ‎8.（2015安徽理17）设，是曲线在点处的切线与轴交点 的横坐标．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记，求证：.‎ ‎8.解析 （1），所以曲线在点处的切线斜率为，从而切线方程为．令，解得切线与轴的交点的横坐标．‎ ‎（2）证法一：证明：由题设和（1）中的计算结果知：‎ ‎．当时，；‎ 当时，因为，‎ 所以．‎ 综上可得对任意的，均有．‎ 证法二：分析 证明数列不等式时，对于不等式两端含且一端是积的形式 ‎，可采用对称的思想，使其化为两个数列积的形式，再通过比较通项 的大小，最后根据不等式“同向同正可乘”的基本性质，叠乘得以证明．‎ 证明：设是数列的前项积，则当时，；‎ 当时，，所以．‎ 由（1）可得，当时，；‎ 当时，，‎ 所以此时，所以可得，‎ 综上可得，即．‎ ‎9.（2015北京理20）已知数列满足：，，且 ‎，记集合.‎ ‎（1）若，写出集合的所有元素；‎ ‎（2）若集合存在一个元素时3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；‎ ‎（3）求集合的元素个数的最大值.‎ ‎9.解析（1），，.‎ ‎（2）因为集合存在一个元素是3的倍数，所以不妨设是3的倍数.‎ 由，可归纳证明对任意，是3的倍数.‎ 如果，则的所有元素都是3的倍数；‎ 如果，因为或，所以是3的倍数，‎ 或是3的倍数，于是是3的倍数.类似可得，，…，都是3的倍数.‎ 从而对任意，是3的倍数，因此的所有元素都是3的倍数.‎ 综上，若集合存在一个元素是3的倍数，则的所有元素都是3的倍数.‎ ‎（3）由，，，可归纳证明.‎ 因为是正整数，，所以是2的倍数.‎ 从而当时，是的倍数.‎ 如果是3的倍数，由（2）知对所有正整数，是3的倍数，因此当时，‎ ‎，这时，中的元素的个数不超过5.如果不是3的倍数，由（2）知，对所有的正整数，不是3的倍数，因此当时，，这时的元素的个数不超过8.‎ 当时，有8个元素.‎ 综上可知，集合的元素个数的最大值为8.‎ ‎10.（2016浙江理13）设数列的前项和为.若，，，则 ， .‎ ‎10. ； 解析 由，，解得.‎ 由，两式相减得，即.又，所以，，所以.‎ 题型73 数列的求和 ‎1. (2013全国新课标卷理16）等差数列的前项和为，已知，则的最小值为 . ‎ ‎2.（2013辽宁14）已知等比数列是递增数列，是的前项和.若是方程的两个根，则 .‎ ‎3.(2013重庆理12）已知是等差数列，，公差，为其前项和，若成等比数列，则 .‎ ‎4．(2013湖南理15）设为数列的前项和，则 ‎（1）_____；‎ ‎（2）___________.‎ ‎5．（2013四川理16）在等差数列中，，且为和的等比中项，求数列的首项、公差及前项和．‎ ‎6. (2013陕西理17）设是公比为的等比数列.‎ ‎（1）推导的前项和公式；‎ ‎（2）设，证明数列不是等比数列.‎ ‎7.（2013山东理20）设等差数列的前项和为，且，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列的前项和为，且（为常数），令，数列的前项和为.‎ ‎8.（2014 大纲理 18）等差数列的前n项和为，已知，为整数，且.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前n项和.‎ ‎9.（2014 湖北理 18）已知等差数列满足：，且，，成等比数列. ‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得？若存在，求 的最小值；若不存在，说明理由. ‎ ‎10.（2014 江西理 17）已知首项都是的两个数列，，满足.‎ ‎（1）令，求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎11.（2014 山东理 19）已知等差数列的公差为，前项和为，且，，成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令=，求数列的前项和.‎ ‎12.（2014 四川理 19）设等差数列的公差为，点在函数的图像上.‎ ‎（1）若，点在函数的图像上，求数列的前项和；‎ ‎（2）若，函数的图像在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前项和.‎ ‎13.（2014 浙江理 19）已知数列和满足.若为等比数列，且.‎ （1） 求与；‎ （2） 设.记数列的前项和为.‎ ‎（i）求；‎ ‎（ii）求正整数，使得对任意，均有.‎ ‎14.（2014 广东理 13）若等比数列的各项均为正数，且，‎ 则 .‎ ‎15.（2015湖北理18）设等差数列的公差为d，前n项和为，等比数列的公比为q．已知，，，．‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）当时，记，求数列的前n项和． ‎ ‎15.解析（1）由题意有，即 解得或故或 ‎（2）由，知，，故，‎ 于是， ①‎ ‎. ②‎ ① ‎-②可得，，故. ‎ ‎16.（2015全国1理17）为数列的前项和，已知，.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎16.解析（1）由①‎ 可得②‎ 式①－式②得．又因为，所以．‎ 当时，，即，解得或（舍去），‎ 所以是首项为，公差为的等差数列，通项公式为．‎ ‎（2）由可得．‎ 记数列前项和为，则 ‎．‎ ‎17.（2015全国Ⅱ理16）设是数列的前项和，且，‎ 则____________________．‎ ‎17.解析 根据题意，由数列的项与前项和关系得，，‎ 由已知得，由题意知，，则有，‎ 故数列是以为首项，为公差的等差数列，‎ 则，所以．‎ ‎18.（2015山东理18）设数列的前项和为. 已知.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，求的前项和.‎ ‎18.解析 （1）因为，所以，故．‎ 当时，，此时，即，‎ 所以．‎ ‎（2）因为，所以．‎ 当时，，所以；‎ 当时，， ①‎ 所以. ②‎ 式①－式②得：‎ ‎，所以．经检验，时也适合．‎ 综上可得．‎ ‎19.（2015四川理16）设数列（）的前项和满足，且，‎ ‎，成等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列的前项和为，求使得成立的的最小值. ‎ ‎19.分析 利用及题设可得与的关系为，所以这是一个公比为2的等比数列.再利用，，成等差数列，可求得，从而求得通项公式；（2）由（1）得，这仍然是一个等比数列，利用等比数列的前项和公式，可求得，代入，即可得使成立的的最小值.‎ 解析 （1）由已知，可得，‎ 即.则，.‎ 又因为，，成等差数列，即.‎ 所以，解得.‎ 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列.‎ 故.‎ ‎（2）由（1）可得，所以.‎ 由，得，即.‎ 因为，所以.‎ 所以使成立的的最小值为.‎ ‎20.（2015天津理18）已知数列满足（为实数，且），，，‎ ‎，且，，成等差数列.‎ ‎（1）求的值和的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎20.分析 (1)由得，先求出，分为奇数与偶数讨论即可；(2)求出数列的通项公式，用错位相减法求和即可.‎ 解析 (1) 由，得，‎ 又（为实数，且），，则，‎ 又因为，所以，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 所以的通项公式为 ‎(2)由(1)得，设数列的前项和为，‎ 则，‎ 两式相减得，‎ 整理得.所以数列的前项和为，.‎ ‎21.（2015重庆理22）在数列中，，‎ ‎（1）若，，求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，，证明：.‎ ‎21.解析（1）由， ，有.‎ 若存在某个，使得，则由上述递推公式易得．‎ 重复上述过程可得，此时与矛盾，所以对任意的，．‎ 从而，即是一个公比，首项的等比数列．‎ 故．‎ ‎（2）由，，数列的递推关系式变为，‎ 变形为．‎ 由上式及，归纳可得．‎ 因为，‎ 所以对求和得 =‎ ‎.‎ 另一方面，由上已证的不等式知，得 综上所述：．‎ ‎22.（2015江苏卷11）设数列满足，且，则数列 前项的和为 ．‎ ‎22.解析 解法一：可以考虑算出前项，但运算化简较繁琐．‎ 解法二：由题意得，，…，，‎ 故累加得，从而，‎ 当时，满足通项．故，‎ 则有．‎ ‎23.（2015广东理21）数列满足：.‎ (1) 求的值；‎ (2) 求数列的前项和；‎ (3) 令，，求证：数列的前项和 满足.‎ ‎23.解析 （1）由题可得，所以．‎ ‎（2）由题可得当时，‎ ‎ ，所以．又也适合此式，‎ 所以，所以数列是首项1，公比为的等比数列，‎ 故．‎ ‎（3）由题可得，‎ 所以，，‎ ‎，，‎ 所以 ‎ ‎ ‎．‎ 记，则．‎ 当时，，当时，，所以在上单 调递减，在上单调递增，所以当时，，当时，‎ ‎，所以，所以，‎ 所以，，，，‎ 即有，‎ 所以，即．‎ ‎24.（2015湖北理18）设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为 ‎．已知，，，．（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）当时，记，求数列的前项和． ‎ ‎24.解析（1）由题意有，即 解得或故或 ‎（2）由，知，，故，于是：‎ ‎， ①‎ ‎. ②‎ ‎①-②可得，，‎ 故. ‎ ‎25.（2015湖南理3）执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出的( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎25.解析 由题意，输出的为数列的前3项和，‎ 即 .故选B.‎ ‎26.（2015全国1理17）为数列的前项和，已知，.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎26.解析 （1）由①‎ 可得②‎ 式①－式②得．又因为，所以．‎ 当时，，即，解得或（舍去），‎ 所以是首项为，公差为的等差数列，通项公式为．‎ ‎（2）由可得．‎ 记数列前项和为，则 ‎．‎ ‎27.（2015山东理18）设数列的前项和为.已知.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，求的前项和.‎ ‎27.解析 （1）因为，所以，故．‎ 当时，，此时，即，所以．‎ ‎（2）因为，所以．‎ 当时，，所以；‎ 当时， ①‎ 所以 ②‎ 式①－式②得 ‎，所以．经检验，时也适合．‎ 综上可得．‎ ‎28.（2015天津理18）已知数列满足（为实数，且），，‎ ‎，，且，，成等差数列.‎ ‎（1）求的值和的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎28.分析 (1)由得，先求出，分为奇数与偶数讨论即可；(2)求出数列的通项公式，用错位相减法求和即可.‎ 解析 (1) 由，得，又（为实数，且），，则，又因为，所以，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 所以的通项公式为 ‎(2)由(1)得，设数列的前项和为，则，‎ 两式相减得，‎ 整理得.所以数列的前项和为，.‎ ‎29.（2016山东理18）已知数列的前项和，是等差数列，且 ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令求数列的前项和.‎ ‎29.解析 （1）由题意知当时，，当时，，所以.‎ 设数列的公差为，由，即，解得，，所以.‎ ‎（2）由（1）知，又，‎ 得，‎ ‎，‎ 两式作差，得：，‎ 所以.‎ ‎30.（2017天津理18）已知为等差数列，前项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，.‎ ‎（1）求和的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前n项和.‎ ‎30.解析 （1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.‎ 由已知，得，而，所以.‎ 又因为，解得.所以.‎ 由，可得 ①‎ 由，可得 ②‎ 联立①②，解得，，由此可得.‎ 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为.‎ ‎ (2)设数列的前n项和为，‎ 由，，有，‎ 故，‎ ‎，‎ 上述两式相减，得 ‎，‎ 得.‎ 所以数列的前项和为.‎ ‎31.（2017全国3理9）等差数列的首项为1，公差不为0．若，，成等比数列，则数列前6项的和为（ ）.‎ A． B． C．3 D．8‎ ‎31.解析 因为为等差数列，且成等比数列，设公差为，则，即.因为，代入上式可得，又，则，所以.故选A.‎ 第三节 数列的综合 题型74 数列与函数、不等式的综合 ‎1. (2013安徽理20）设函数.证明：‎ ‎（1）对每个，存在唯一的，满足；‎ ‎（2）对任意，由（1）中构成的数列满足.‎ ‎2.(2014 安徽理 21)（本小题满分13分）设实数，整数，.‎ ‎（1）证明：当且时，；‎ ‎（2）数列满足，，证明：.‎ ‎3.（2014 大纲理 22）函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）设，证明：.‎ ‎4.（2014 陕西理 21）设函数，其中是的导函数.‎ （1） ‎，，求的表达式；‎ （2） 若恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）设，比较与的大小，并加以证明.‎ ‎5.（2014 重庆理 22）（本小题满分12分，（1）问4分，（2）问8分）‎ 设.‎ （1） 若，求及数列的通项公式；‎ ‎（2）若，问：是否存在实数使得对所有成立？证明你的结论.‎ ‎6.（2015安徽理17）设，是曲线在点处的切线与轴交点的横坐标．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记，求证：.‎ ‎6.解析 （1），所以曲线在点处的切 线斜率为，从而切线方程为．令，解得切线与轴的交点的横坐标．‎ ‎（2）证法一：证明：由题设和（1）中的计算结果知 ‎．当时，；‎ 当时，因为，‎ 所以．‎ 综上可得对任意的，均有．‎ 证法二：分析 证明数列不等式时，对于不等式两端含且一端是积的形式 ‎，可采用对称的思想，使其化为两个数列积的形式，再通过比较通项的大小，最后根据不等式“同向同正可乘”的基本性质，叠乘得以证明．‎ 证明：设是数列的前项积，则当时，；‎ 当时，，所以．‎ 由（1）可得，当时，；‎ 当时，，‎ 所以此时，所以可得，‎ 综上可得，即．‎ ‎7.（2015广东理21）数列满足：.‎ （1） 求的值；‎ （2） 求数列的前项和；‎ ‎（3）令，，求证：数列的前项和满足.‎ ‎7.解析 （1）由题可得，所以．‎ ‎（2）由题可得当时，‎ ‎ ，所以．又也适合此式，‎ 所以，所以数列是首项1，公比为的等比数列，‎ 故．‎ （1） 由题可得，‎ 所以，‎ ‎，，，‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ．‎ 记，则．‎ 当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，‎ 当时，，所以，‎ 所以，所以，，，，‎ 即有，‎ 所以，即．‎ ‎8.（2015四川理16）设数列（）的前项和满足，且，，成等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列的前项和为，求使得成立的的最小值. ‎ ‎8.分析 利用及题设可得与的关系为，所以这是一个公比为2的等比数列.再利用，，成等差数列，可求得，从而求得通项公式；（2）由（1）得，这仍然是一个等比数列，利用等比数列的前项和公式，可求得，代入，即可得使成立的的最小值.‎ 解析 （1）由已知，可得，‎ 即.则，.‎ 又因为，，成等差数列，即.‎ 所以，解得.‎ 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列.‎ 故.‎ ‎（2）由（1）可得，所以.‎ 由，得，即.‎ 因为，所以.‎ 所以使成立的的最小值为.‎ ‎9.（2015浙江理20）已知数列满足=且．‎ （1） 证明： ；‎ ‎（2）设数列的前项和为，证明.‎ ‎9.解析（1）由题意得，所以， ‎ ‎，所以与同号，又，所以，‎ 所以.‎ ‎（2）由题意得 ，所以， ‎ 又，所以，‎ 所以，因此， ‎ 所以 ‎ 所以 ．‎ ‎10.（2015重庆理22）在数列中，，‎ ‎（1）若，，求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，，证明：.‎ ‎10.解析 （1）由， ，有.‎ 若存在某个，使得，则由上述递推公式易得．‎ 重复上述过程可得，此时与矛盾，所以对任意的，．‎ 从而，即是一个公比，首项的等比数列．‎ 故．‎ ‎（2）由，，数列的递推关系式变为，‎ 变形为．‎ 由上式及，归纳可得．‎ 因为，‎ 所以对求和得 =‎ ‎.‎ 另一方面，由上已证的不等式知，得 综上所述：．‎ ‎11.（2016天津理5）设是首项为正数的等比数列，公比为，则“‎ ‎”是“对任意的正整数，”的（ ）.‎ A.充要条件 B.充分不必要条件 ‎ C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ‎11. C 解析 由题意得，.‎ 由，故是必要不充分条件.故选C.‎ ‎12．（2016上海理17）已知无穷等比数列的公比为，前项和为，且，下列条件中，使得恒成立的是（ ）．‎ A．， B．， ‎ C．， D．，‎ ‎12．解析 ，由选项知，故.‎ 因为，即恒成立．若，则恒成立，不可能存在，排除A，C；‎ 若，则恒成立，若，则，不合题意.‎ 故选B．‎ 评注 这题考查的是无穷递缩的等比数列的性质．‎ ‎13．（2016上海理11）无穷数列由个不同的数组成，为的前项和，若对任意，，则的最大值为 .‎ ‎13. 解析 由题意或，或，依此类推，又与具备等价性，因此不妨考虑设，‎ 若，则；若，则．按照这种逻辑，可以出现序列，或者序列，因此最大化处理可以出现，所以最大值为．‎ ‎14.（2016四川理19）已知数列的首项为，为数列的前项和，，其中，.‎ ‎（1）若，，成等差数列，求的通项公式；‎ ‎（2）设双曲线的离心率为，且，求证：.‎ ‎14.解析 （1）由已知得，，，两式相减得到，.‎ 又由得到，故对所有都成立.‎ 所以，数列是首项为，公比为的等比数列.从而.‎ 由，，成等差数列，可得，即，‎ 则.又，所以.所以.‎ ‎（2）由（1）可知，.所以双曲线的离心率 .‎ 由，解得.因为，所以.‎ 于是，故.‎ ‎15.（2016天津理18） 已知是各项均为正数的等差数列，公差为，对任意的， 是和的等比中项.‎ ‎（1）设，求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）设，，.求证：.‎ ‎15.解析 （1）证明：由题意得，有，因此，所以是等差数列.‎ ‎（2）证明：‎ ‎.‎ 所以.‎ ‎16.（2016北京理20） 设数列.如果对小于的每个正整数都有 ，则称是数列的一个“时刻”.记是数列的所有“时刻”组成的集合.‎ ‎（1）对数列，写出的所有元素；‎ ‎（2）求证：若数列中存在使得，则 ；‎ ‎（3）求证：若数列满足 ，则的元素个数不小于.‎ ‎16. 解析 （1）. ‎ ‎（2）若数列中存在使得，可不妨设是中的第一个大于的数，则对于小于的每个正整数都有，所以，得.‎ ‎（3）（i）若，则由第（2）问的结论可得，，所以此时欲证结论成立.‎ ‎（ii）若，则可设，‎ 其中. 由题意，得，所以.同理，，‎ 所以.以此类推，可得：‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎.‎ 把它们相加后，可得.得此时的元素个数，即结论成立.‎ 综上所述，的元素个数不小于.‎ ‎17．（2016上海理23）若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质．‎ ‎（1）若具有性质．且，，，，，求；‎ ‎（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，‎ ‎，，判断是否具有性质，并说明理由；‎ ‎（3）设是无穷数列，已知，求证：“对任意，都具有性质”的充要条件为“是常数列”．‎ ‎17．解析 （1）因为，所以，，，‎ 因为，所以，所以．‎ ‎（2）设的公差为，的公差为，则，因为，所以，故；‎ 因为，所以，故．所以，‎ 由题意，但，，显然.故不具有性质．‎ ‎（3）先论证充分性：若为常数列，不妨设，则，若存在使得，则，故具有性质．‎ 再论证必要性：证法一（反证法）：假设不是常数列，则存在，‎ 使得，而．‎ 下面证明存在满足的，使得，但．‎ 设，取，使得，则，，故存在使得．‎ 取，因为，所以，‎ 依此类推，得，但，‎ 即，所以不具有性质，与假设矛盾，所以是常数列．‎ 综上所述：“对任意，都具有性质”的充要条件为“是常数列”．‎ 证法二：考查连续函数，其中为任意实数，‎ 因为，，‎ 所以存在，使得，若对任意的，都具有性质，取，此时，从而会有，，，，，因此对任意的，都有，从而是常数列．‎ 综上所述，“对任意，都具有性质”的充要条件为“是常数列”．‎ 评注 事实上，若对任意，具有性质，则，构造函数，，由图像可得，对任意的，二者图像必有一个交点（但这一点需要数学理论的论述），所以一定能找到一个，使得，所以，即．故，所以是常数列．‎ ‎18．（2016江苏20）记．对数列和的子集，若，定义；若，定义．假如：‎ 时，．现设是公比为的等比数列，且当时，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）对任意正整数，若，求证：；‎ ‎（3）设，，，求证：．‎ ‎18.解析 （1）当时，，因此，‎ 从而，．‎ ‎（2）．‎ ‎（3）下面分三种情况给予证明．‎ ①若是的子集，则．‎ ②若是的子集，则．‎ ③若不是的子集，且不是的子集．令，，则，，．‎ 于是，，进而由得．‎ 设为中的最大数，为中的最大数，则，，．‎ 由（2）知，．于是，所以，即．‎ 又，故．从而 ，‎ 故，所以，即．‎ 综合①②③得，．‎ ‎19.（2016浙江理20）设数列满足，．‎ ‎（1）求证：，；‎ ‎（2）若，，求证：，．‎ ‎19.解析 （1）由，得.两边同时除以，得 ‎，‎ 所以 ‎，因此.‎ ‎（2）任取，由（1）知，对于任意，‎ ‎.‎ 故．‎ 从而对于任意，均有①，当趋于正无穷时，单调递减趋于，即否则存在，有，取正整数，且，‎ 则，即与式①相矛盾.‎ 由上所述，对于任意，均有.‎ ‎20.(2017浙江理22)已知数列满足：，.证明：当时.‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）.‎ ‎20.解析 （1）用数学归纳法证明：.‎ 当时，，假设时，，‎ 那么时，若，则，矛盾，故. ‎ 因此，所以.‎ 因此.‎ ‎（2）由，‎ 得.‎ 记函数.‎ ‎，知函数在上单调递增，所以，‎ 因此，即. （3）因为，得，以此类推，，所以，故.‎ 由（2）知，，即，‎ 所以，故.‎ 综上，.‎