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文档介绍
2020-2021学年湘教 版九年级下册数学《第1章 二次函数》单元测试卷(有答案)
2020-2021 学年湘教新版九年级下册数学《第 1 章 二次函数》单 元测试卷 一.选择题 1.设 a,b,c 分别是二次函数 y=﹣x2+3 的二次项系数、一次项系数、常数项,则( ) A.a=﹣1,b=3,c=0 B.a=﹣1,b=0,c=3 C.a=﹣1,b=3,c=3 D.a=1,b=0,c=3 2.若将抛物线 y=x2﹣3 向上平移 5 个单位长度,则得到的新抛物线的顶点坐标为( ) A.(0,2) B.(0,﹣8) C.(5,﹣3) D.(﹣5,﹣3) 3.二次函数 y= x2+3x+ 化为 y=(x﹣h)2+k 的形式,结果正确的是( ) A. B. C. D. 4.小强在一次训练中,掷出的实心球飞行高度 y(米)与水平距离 x(米)之间的关系大致 满足二次函数 y=﹣ x2+ x+ ,则小强此次成绩为( ) A.8 米 B.10 米 C.12 米 D.14 米 5.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,那么一次函数 y=ax+b 的图象大致是( ) A. B. C. D. 6.抛物线 y=3(x+1)2﹣3 的顶点是( ) A.(1,3) B.(1,﹣3) C.(﹣1,3) D.(﹣1,﹣3) 7.二次函数 y=ax2+bx 的图象如图所示,则( ) A.a>0,b>0 B.a>0,b<0 C.a<0,b>0 D.a<0,b<0 8.若点 A(﹣2,y1),B(0,y2),C(﹣ ,y3)是二次函数 y=ax2﹣2a+1(a 是常数, 且 a<0)的图象上三点,则 y1,y2,y3 的大小关系为( ) A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y2>y3>y1 D.y3>y1>y2 9.如图,在等腰 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=4,F 是 AB 边上的中点,点 D、E 分别在 AC、BC 边上运动,且保持 AD=CE.连接 DE、DF、EF.在此运动变化的过程中,下 列结论: ① △DEF 是等腰直角三角形; ② 四边形 CDFE 不可能为正方形, ③ △DEF 的 面积最小值为 2; ④ 在此运动变化的过程中,四边形 CDFE 的始终为面积 4; ⑤ △CDE 面积的最大值为 3.其中正确的结论是( ) A. ①②③ B. ①④⑤ C. ①③④ D. ③④⑤10.如图,已知二次函数 y1=ax2+bx+c 与一次函数 y2=kx+m 的图象相交于点 A(﹣3,5), B(7,2),则能使 y1≤y2 成立的 x 的取值范围是( ) A.2≤x≤5 B.x≤﹣3 或 x≥7 C.﹣3≤x≤7 D.x≥5 或 x≤2 二.填空题 11.如图,某名运动员推铅球,铅球行进高度 y(m)与水平距离 x(m)之间的关系是 y= ﹣ x2+ x+ ,此运动员将铅球推出的距离是 m. 12.某公司 10 月份的产值是 100 万元,如果该公司第四季度每个月产值的增长率相同,都 为 x(x>0),12 月份的产值为 y 万元,那么 y 关于 x 的函数解析式是 . 13.设 y1 与 y2 都是 x 的二次函数(y1 有最小值),且 y1+y2=﹣x2﹣8x+4,已知当 x=m 时, y1=y2=﹣8,当 x=﹣m 时,y1=y2=8,则 m 的值为 . 14.下表是二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的自变量 x 与函数值 y 的对应关系,一元二次方 程 ax2+bx+c=0(a≠0)的一个近似解 x 的值大约是 (精确到 0.1) x 6.1 6.2 6.3 6.4 y=ax2+bx+c ﹣0.3 ﹣0.1 0.2 0.4 15.已知二次函数图象的顶点坐标为(1,﹣3),且过点(2,0),则这个二次函数的解析 式 . 16.若点 P(a,b)在抛物线 y=﹣2x2+2x+1 上,则 a﹣b 的最小值为 . 17.在等式 y=ax2+bx+c 中,当 x=1 时,y=5;当 x=﹣1 时,y=﹣2.下列结论一定正确 的有 (填序号即可). ① a+b+c=5; ② b= ; ③ 3a﹣2b+3c=1; ④ 若 a<0,则 a﹣b+3c>﹣1. 18.若抛物线 y=x2﹣x﹣k(k 为常数)与 x 轴的两个交点都在 x 轴的正半轴上,则 k 的取值 范围是 . 19.已知二次函数 y=ax2+bx+c(a<0)与一次函数 y=kx+1 图象交于 A(﹣3,m),B(1, n)两点,则关于 x 的不等式 ax2+(b﹣k)x+c≥1 的解集为 . 20.如图,抛物线 y= 的图象与坐标轴交于点 A,B,D,顶点为 E,以 AB 为直 径画半圆交 y 正半轴交于点 C,圆心为 M,P 是半圆上的一动点,连接 EP. ① 点 E 在 ⊙ M 的内部; ② CD 的长为 ; ③ 若 P 与 C 重合,则∠DPE=15°; ④ 在 P 的运动过程中,若 AP= ,则 PE= ⑤ N 是 PE 的中点,当 P 沿半圆从点 A 运动至点 B 时,点 N 运动的路径长是 2 π . 以上 5 个结论正确的是 ;(填写序号) 三.解答题 21.已知:二次函数 y=x2﹣1. (1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标; (2)画出它的图象. 22.已知抛物线 y=x2﹣mx+2m﹣1 过定点 H. (1)求出 H 的坐标. (2)若抛物线经过点 A(0,1),求证:该抛物线恒在直线 y=﹣2x﹣1 上方. 23.如图,函数 y=﹣x2+ x+c(﹣2020≤x≤1)的图象记为 L1,最大值为 M1;函数 y=﹣ x2+2cx+1(1≤x≤2020)的图象记为 L2,最大值为 M2.L1 的右端点为 A,L2 的左端点为 B,L1,L2 合起来的图形记为 L. (1)当 c=1 时,求 M1,M2 的值; (2)若把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”,当点 A,B 重合时,求 L 上“美点” 的个数; (3)若 M1,M2 的差为 ,直接写出 c 的值. 24.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示:求二次函数的函数表达式. 25.已知:抛物线 y=x2﹣4x+3. (1)它与 x 轴交点的坐标为 ,与 y 轴交点的坐标为 ,顶点坐标为 . (2)在坐标系中画出此抛物线. 26.已知函数 y=(m2﹣m)x2+mx+(m+1),m 是常数. (1)若这个函数是一次函数,求 m 的值; (2)若这个函数是二次函数,求 m 的值. 27.已知抛物线 y=ax2+bx+c 过点 A(6,0). (1)若点(0,1)也在该抛物线上,求 a,b 满足的关系式. (2)若该抛物线与直线 y=3 只有一个交点 P,抛物线上任意不同两点(x1,y1),(x2, y2)都满足:当 x1<x2<3 时,(x1﹣x2)(y1﹣y2)>0;当 3<x1<x2 时,(x1﹣x2)(y1 ﹣y2)<0.点 B 在对称轴 l 右侧的二次函数图象上运动,OB 交 l 于点 M,点 M、N 关于 点 P 对称,连接 BN、ON. ① 连接 OP,当 OP= MN 时,请判断△NOB 的形状,并求出此时点 B 的坐标. ② 求证:NM 平分∠ONB. 参考答案与试题解析 一.选择题 1.解:二次函数 y=﹣x2+3 的二次项系数是 a=﹣1,一次项系数是 b=0,常数项是 c=3; 故选:B. 2.解:将抛物线 y=x2﹣3 向上平移 5 个单位长度,则所得到抛物线为:y=x2+2. 则平移后的抛物线的顶点坐标为:(0,2). 故选:A. 3.解:y= x2+3x+ = (x2+6x+9﹣9+5)= (x+3)2+2. 故选:A. 4.解:在 y=﹣ x2+ x+ 中,当 y=0 时,﹣ x2+ x+ =0, 解得 x1=﹣2(舍去),x2=10, 即小强此次成绩为 10 米, 故选:B. 5.解:∵y=ax2+bx+c 的图象的开口向下, ∴a<0, ∵对称轴在 y 轴的左侧, ∴b<0, ∴一次函数 y=ax+b 的图象经过二,三,四象限. 故选:C. 6.解:由 y=3(x+1)2﹣3,根据顶点式的坐标特点可知,顶点坐标为(﹣1,﹣3), 故选:D. 7.解:如图,抛物线的开口向下,则 a<0,. 抛物线的对称轴位于 y 轴的左侧,则 a、b 同号,即 b<0. 综上所述,a<0,b<0. 故选:D. 8.解:y=ax2﹣2ax+1(a 是常数,且 a<0), 对称轴是直线 x=﹣ =1, 即二次函数的开口向下,对称轴是直线 x=1, 即在对称轴的左侧 y 随 x 的增大而增大, ∵﹣2<﹣ <0<1, ∴y2>y3>y1, 故选:C. 9.解:连结 CF,如图, ∵△ABC 为直角三角形, ∴∠A=45°, ∵F 是等腰直角△ABC 斜边上的中点, ∴CF=AF=BF,CF⊥AB,∠1=45°, 在△ADF 和△CEF 中, , ∴△ADF≌△CEF(SAS), ∴DF=EF,∠3=∠2, ∵∠3+∠CFD=90°, ∴∠2+∠CFD=90°,即∠DFE=90°, ∴△DEF 为等腰直角三角形,所以 ① 正确; 当 FD⊥AC 时,FE⊥BC,则 AD=CE= AC,此时四边形 CDFE 为正方形,所以 ② 错 误; ∵△DEF 为等腰直角三角形, ∴DE= FD, 当 FD⊥AC 时,FD 的长度最小,此时 FD= AC=2, ∴△DEF 的面积最小值为 =2,所以 ③ 正确; ∵△ADF≌△CEF, ∴S△ADF=S△CEF, ∴四边形 CDFE 的面积=S△ACF= S△ABC= ×4×4=4,所以 ④ 正确; ∵S△CDE=S 四边形 CDFE﹣S△DEF=4﹣S△DEF, 而当 FD⊥AC 时,FD 的长度最小,此时 FD= AC=2, ∴S△DEF 的最小值为 ×2×2=2, ∴△CDE 面积的最大值为 4﹣2=2,所以 ⑤ 错误. 故选:C. 10.解:由图可知,能使 y1≤y2 成立的 x 的取值范围是﹣3≤x≤7; 故选:C. 二.填空题 11.解:由题意得:当 y=0 时,0=﹣ x2+ x+ , ∴x2﹣8x﹣9=0, ∴(x+1)(x﹣9)=0, ∴x1=﹣1(不合题意,舍去),x2=9. ∴此运动员把铅球推出 9m. 故答案为:9. 12.解:由题意可得, y=100(1+x)2, 故答案为:y=100(1+x)2. 13.解:∵当 x=m 时,y1=y2=﹣8, ∴y1+y2=﹣m2﹣8m+4=﹣8+(﹣8)=﹣16, ∵当 x=﹣m 时,y1=y2=8, ∴y1+y2=﹣m2+8m +4=8+8=16, 解得 m=2, 故答案为:2. 14.解:由表可知,当 x=6.2 时,y 的值最接近 0, 所以,方程 ax2+bx+c=0 一个解的近似值为 6.2, 故答案为:6.2. 15.解:设此二次函数的解析式为 y=a(x﹣1)2﹣3. ∵其图象经过点(2,0), ∴a(2﹣1)2﹣3=0, ∴a=3, ∴y=3(x﹣1)2﹣3,即 y=3x2﹣6x, 故答案为 y=3x2﹣6x. 16.解:∵点 P(a,b)在抛物线 y=﹣2x2+2x+1 上, ∴b=﹣2a2+2a+1, ∴a﹣b=a﹣(﹣2a2+2a+1)=2a2﹣a﹣1, ∵a﹣b=2a2﹣a﹣1=2(a﹣ )2﹣ , ∴a﹣b 的最小值为﹣ , 故答案为﹣ . 17.解:在等式 y=ax2+bx+c 中,当 x=1 时,y=5;当 x=﹣1 时,y=﹣2. ∴a+b+c=5,a﹣b+c=﹣2,故 ① 正确; 由题意得 , 两式相减得,2b=7, 解得,b= ,故 ② 正确; 两式相加得,2a+2c=3, ∴a+c= , ∴3a+3c= , ∴3a﹣2b+3c= ﹣2× =﹣ ,故 ③ 错误; ∵3a+3c= , ∴3c= ﹣3a,b= , ∴a﹣b+3c=a﹣ + ﹣3a=1﹣2a, ∵a<0, ∴1﹣2a>1, ∴a﹣b+3c>﹣1,故 ④ 正确; 故答案为 ①②④ . 18.解:若抛物线 y=x2﹣x﹣k 与 x 轴的两个交点都在 x 轴正半轴上, 则方程 x2﹣x﹣k=0 的两根大于 0,即最小的根 x= >0, 当 1+4k=0,即 k=﹣ 时,x 最小,即﹣ <k<0. 故答案是:﹣ <k<0. 19.解:函数大概图象如下: 根据题意得出当 ax2+bx+c≥kx+1 时,则 ax2+(b﹣k)x+c≥1, 则从图象看,关于 x 的不等式 ax2+(b﹣k)x+c≥1 的解集为﹣3≤x≤1, 故答案为﹣3≤x≤1. 20.解:抛物线 y= 的图象与坐标轴交于点 A,B,D, 则点 A、B、D 的坐标分别为:(﹣1,0)、(3,0)、(0,﹣ ),则点 M(1,0), 顶点 E 的坐标为:(1,﹣2),AB=4,CO= ,OD= ,故点 D 不在 ⊙ M 上; ① ME=2=AM,∴E 应该在 ⊙ M 上,故不符合题; ② C 是圆 M 与 y 轴交点,圆 M 半径为 2,M(1,0)由勾股定理得 OC= , CD=2× =3,故 CD 的长为 ,符合题意; ③ 如图 1,连接 PM、PE,点 E(﹣1,2),故点 E 在圆上, CO= ,OM=1,PM=2,故∠OPM=30°, EM∥y 轴,则∠MEP=∠EPC,而∠MEP=∠MPE, ∴∠DPE= DOM=15°,符合题意; ④ 如图 2,连接 PB、PA、AE, ∵点 B、E 均在圆上,则∠ABP=∠AEP= α , sin∠AEP=sin∠ABP= = =sin α ,则 cos α = , 过点 A 作 AK 垂直于 PE 于 K, 则 AK=AEsin α =2 × = ,EK=AEcos α ═ ,则 PK=AK= , 故则 PE= ,符合题意; ⑤ 如图 3,图中实点 G、N、M、F 是点 N 运动中所处的位置, 则 GF 是等腰直角三角形的中位线,GF= AB=2,ME 交 AB 于点 R,则四边形 GEFM 为正方形, 当点 P 在半圆任意位置时,中点为 N,连接 MN,则 MN⊥PE,连接 NR, 则 NR= ME=MR=RE=RG=RF= GF=1,则点 N 的运动轨迹为以 R 为圆心的半圆, 则 N 运动的路径长= ×2 π r= π ,故不符合题意; 故答案为: ②③④ . 三.解答题 21.解:(1)∵二次函数 y=x2﹣1, ∴抛物线的开口方向向上,顶点坐标为(0,﹣1),对称轴为 y 轴; (2)在 y=x2﹣1 中,令 y=0 可得 0=x2﹣1. 解得 x=﹣1 或 1, 令 x=0 可得 y=﹣1,结合(1)中的顶点坐标及对称轴,可画出其图象如图所示: . 22.解:(1)∵y=x2﹣mx+2m﹣1 =x2﹣4﹣m(x﹣2)+3 =(x+2)(x﹣2)﹣m(x﹣2)+3 =(x﹣2)(x+2﹣m)+3, ∴抛物线 y=x2﹣mx+2m﹣1 必过定点(2,3), 故 H 的坐标为(2,3); (2)证明:∵抛物线经过点 A(0,1), ∴2m﹣1=1,解得 m=1, ∴抛物线 y=x2﹣x+1, 设 y1=x2﹣x+1,y2=﹣2x﹣1, 则 y1﹣y2=(x2﹣x+1)﹣(﹣2x﹣1)=x2+x+2=(x+ )2+ >0, ∴y1>y2, ∴该抛物线恒在直线 y=﹣2x﹣1 上方. 23.解:(1)当 c=1 时, 函数 y=﹣x2+ x+c=﹣x2+ x+1=﹣(x﹣ )2+ . 又∵﹣2020≤x≤1, ∴M1= , y=﹣x2+2cx+1=﹣x2+2x+1=﹣(x﹣1)2+2. 又∵1≤x≤2020, ∴M2=2; (2)当 x=1 时,y=﹣x2+ x+c=c﹣ ;y=﹣x2+2cx+1=2c. 若点 A,B 重合,则 c﹣ =2c,c=﹣ , ∴L1:y=﹣x2+ x﹣ (﹣2020≤x≤1); L2:y=﹣x2﹣x+1(1≤x≤2020). 在 L1 上,x 为奇数的点是“美点”,则 L1 上有 1011 个“美点”; 在 L2 上,x 为整数的点是“美点”,则 L2 上有 2020 个“美点”. 又点 A,B 重合, 则 L 上“美点”的个数是 1011+2020﹣1=3030. (3)y=﹣x2+ x+c(﹣2020≤x≤1)上时,当 x= 时,M1= +c, y=﹣x2+2cx+1(1≤x≤2020),对称轴为 x=c, 当 c≥1 时,M2=c2+1, ∴| +c﹣c2﹣1|= , ∴c=﹣1(舍去)或 c=2; 当 c<1 时,M2=2c, ∴|2c﹣ ﹣c|= , ∴c=3(舍去)或 c=﹣ ; ∴c=﹣ 或 2. 24.解:由图象可知抛物线的顶点坐标为(1,﹣4),且过点(0,﹣3), 设抛物线的解析式为:y=a(x﹣1)2﹣4, 把(0,﹣3)代入解析式得 a﹣4=﹣3, 解得 a=1, 则抛物线的解析式为:y=(x﹣1)2﹣4=x2﹣2x﹣3. 25.解:(1)∵抛物线 y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1=(x﹣3)(x﹣1), ∴该抛物的顶点坐标为(2,﹣1),当 y=0 时,x1=3,x2=1,当 x=0 时,y=3, ∴它与 x 轴交点的坐标为(3,0)、(1,0),与 y 轴交点的坐标为(0,3),顶点坐 标为(2,﹣1), 故答案为:(3,0)、(1,0),(0,3),(2,﹣1); (2)由(1)知,它与 x 轴交点的坐标为(3,0)、(1,0),与 y 轴交点的坐标为(0, 3),顶点坐标为(2,﹣1),且过点(4,3), 抛物线如右图所示. 26.解:(1)依题意 m2﹣m=0 且 m≠0,所以 m=1 (2)依题意 m2﹣m≠0,所以 m≠1 且 m≠0. 27.解:(1)将(0,1)和点 A 的坐标代入抛物线表达式得: , 解得:36a+6b=﹣1; (2)当 x1<x2<3 时,(x1﹣x2)(y1﹣y2)>0,即为当 x<3 时,y 随 x 的增大而增大, 当 3<x1<x2 时,(x1﹣x2)(y1﹣y2)<0,即为当 x>3 时,y 随 x 的增大而减小,故抛 物线开口下,且抛物线的对称轴为直线 x=3, ∵该抛物线与直线 y=3 只有一个交点 P,故点 P 是抛物线的顶点,即点 P(3,3), 则设抛物线的表达式为 y=a(x﹣3)2+3,将点(6,0)代入上式并解得 a=﹣ , 故抛物线的表达式为 y=﹣ (x﹣3)2+3=﹣ x2+2x ① ; 设点 B 的坐标为(m,﹣ m2+2m), 由点 O、B 的坐标知,直线 OB 的表达式为 y=(﹣ m+2)x, 当 x=3 时,y=(﹣ m+2)x=6﹣m,故点 M(3,6﹣m), ∵点 M、N 关于点 P 对称,由中点公式得,点 N(3,m), ① 由 O、P 的坐标得,OP= =3 = MN,则 MN=6 , 即 MN=m﹣(6﹣m)=6 ,解得 m=3+3 , 则点 B(3 ,﹣3),点 N(3,3+3 ), 由点 B、O 的坐标知,OB2=(3+3 )2+(﹣3)2=36+18 , 同理 ON2=36+18 =OB2,BN2=72+36 =OB2+ON2, 故△NOB 为等腰直角三角形; ② 连接 NB, 由点 O、N 的坐标,同理可得,直线 ON 的表达式为 y= mx ② , 联立 ①② 得:﹣ x2+2x= mx,解得 x=6﹣m,设直线 ON 交抛物线与点 H,则点 H 的横坐标为 6﹣m, 而点 B 的横坐标为 m,抛物线的对称轴为 x=3,故点 B、H 关于抛物线对称轴(即关于 MN)对称, ∴NM 平分∠ONB.查看更多