初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第29讲 由正难则反切入

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第29讲 由正难则反切入

1 第二十九讲 由正难则反切入 人们习惯的思维方式是正向思维，即从条件手，进行正面的推导和论证，使问题得到解 决．但有些数学问题，若直接从正面求解，则思维较易受阻，而“正难则反，顺难则逆，直 难则曲”是突破思维障碍的重要策略． 数学中存在着大量的正难则反的切入点．数学中的定义、公式、法则和等价关系都是双 向的，具有可逆性；对数学方法而言，特殊与一般、具体与抽象、分析与综合、归纳与演绎， 其思考方向也是可逆的；作为解题策略，当正向思考困难时可逆向思考，直接证明受阻时可 间接证明，探索可能性失败时转向考察不可能性．由正难则反切入的具体途径有： 1． 定义、公式、法则的逆用； 2．常量与变量的换位； 3．反客为主； 4．反证法等． 【例题求解】 【例 1】 已知 x 满足 22 2 3 2 2   xx xx ，那么 xx 22  的值为 ． 思路点拨 视 为整体，避免解高次方程求 x 的值． 【例 2】 已知实数 a 、b 、c 满足 ba  ，且 0)()(2002)(2002  accbba 求 2)( ))(( ba acbc   的值． 思路点拨 显然求 、 、 的值或寻求 、 、 的关系是困难的，令 x2000 ，则 2002= 2x ， 原等式就可变形为关于 x 的一元二次方程，运用根与系数关系求解． 注：（1）人们总习惯于用凝固的眼光看待常量与变量，认为它们泾渭分明，更换不得，实际 上将常量设为变量，或将变量暂时看作常量，都会给人以有益的启示． （2）人的思维活动既有“求同”和“定势”的方面，又有“求异”和“变通”的方面．求 同与求异，定势与变通是人的思维个性的两极，充分利用知识和方法的双向性，是培养思维 能力的重要途径． 正难则反在具体的解题中，还表现为下列各种形式： (1)不通分母通分子； (2)不求局部求整体； (3)不先开方先平方； (4)不用直接挖隐含； 2 (5)不算相等算不等； (6)不求动态求静态等． 【例 3】 设 a 、b 、c 为非零实数，且 022  cbxax ， 022  acxbx ， 022  baxcx ， 试问： 、 、 满足什么条件时，三个二次方程中至少有一个方程有不等的实数根． 思路点拨 如从正面考虑，条件“三个方程中至少有一个方程有不等的实数根”所涉及的情 况比较复杂，但从其反面考虑情况却十分简单，只有一种可能，即三个方程都没有实数根， 然后从全体实数中排除三个方程都无实数根的 、 、 的取值即可． 注：受思维定势的消极影响，人们在解决有几个变量的问题时，总抓住主元不放，使有些问 题的解决较为复杂，此时若变换主元，反客为主，问题常常能获得简解． 【例 4】 已知一平面内的任意四点，其中任何三点都不在一条直线上，试问：是否一定能 从这样的四点中选出三点构成一个三角形，使得这个三角形至少有一内角不大于 45°?请证 明你的结论． 思路点拨 结论是以疑问形式出现的，不妨先假定是肯定的，然后推理．若推出矛盾，则说 明结论是否定的；若推不出矛盾，则可考虑去证明结论是肯定的． 【例 5】 能够找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与 2002 的和都是完全平方 数吗?若能够，请举出一例；若不能够，请说明理由． 思路点拨 先假设存在正整数 1n ， 2n ， 3n ， 4n 满足 22000 mnn ji  (i ， j =1，2，3，4， m 为正整数)．运用完全平方数性质、奇偶性分析、分类讨论综合推理，若推出矛盾，则原 假设不成立． 注：反证法是从待证命题的结论的反面出发，进行推理，通过导出矛盾来判断待证命题成立 的方法，其证明的基本步骤是：否定待证命题的结论、推理导出矛盾、肯定原命题的结论． 宜用反证法的三题特征是： (1)结论涉及无限； (2)结论涉及唯一性； 3 (3)结论为否定形式； (4)结论涉及“至多，至少”； (5)结论以疑问形式出现等． 学力训练 1．由小到大排列各分数： 11 6 ， 17 10 ， 19 12 ， 23 15 ， 33 20 ， 91 60 是 ． 2．分解因式 223 2)1( aaxxax  = ． 3．解关于 x 的方程： 043372 22234  aaxxaxxx ( a ≥ 8 1 )得 x = ． 4． 1009999100 1 3223 1 2112 1       的结果是 ． 5 ． 若 关 于 x 的 三 个 方 程 ， 03244 22  mmmxx ， 0)12( 22  mxmx ， 012)1( 2  mmxxm 中至少有一个方程有实根，则 m 的取值范围是 ． 6．有甲、乙两堆小球，如果第一次从甲堆拿出和乙堆同样多的小球放到乙堆，第二次从乙 堆拿出和甲堆剩下的同样多的小球放到甲堆，如此挪动 4 次后，甲、乙两堆小球恰好都是 16 个，那么，甲、乙两堆最初各有多少个小球? 7．求这样的正整数 a ，使得方程 074)12(22  axaax 至少有一个整数解． 8．某班参加运动会的 19 名运动员的运动服号码恰是 1～19 号，这些运动员随意地站成一个 圆圈，则一定有顺次相邻的 3 名运动员，他们运动服号码之和不小于 32，请说明理由． 9．如正整数 a 和 b 之和是 n ，则 可变为 ab ，问能不能用这种方法数次，将 22 变成 2001？ 10．证明：如果整系数二次方程 02  cbxax a ( 0a )有有理根，那么 a ，b ， c 中至少有 一个是偶数． 11．在Δ ABC 中是否存在一点 P，使得过 P 点的任意一直线都将该Δ ABC 分成等面积的两 部分?为什么? 12．求证：形如 4n+3 的整数是(n 为整数)不能化为两个整数的平方和． 13．13 位小运动员，他们着装的运动服号码分别是 1～13 号．问：这 13 名运动员能否站成 一个圆圈，使得任意相邻的两名运动员号码数之差的绝对值都不小于 3，且不大于 5？如果 能，试举一例；如果不能，请说明理由． 14．有 12 位同学围成一圈，其中有些同学手中持有鲜花，鲜花总数为 13 束，他们进行分花 游戏，每次分花按如下规则进行：其中一位手中至少持有两束鲜花的同学拿出两束鲜花分给 与其相邻的左右两位同学，每人一束．试证：在持续进行这种分花游戏的过程中，一定会出 现至少有 7 位同学手中持有鲜花的情况． 4 参考答案 5 6