初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第29讲 由正难则反切入

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初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第29讲 由正难则反切入

1 第二十九讲 由正难则反切入 人们习惯的思维方式是正向思维,即从条件手,进行正面的推导和论证,使问题得到解 决.但有些数学问题,若直接从正面求解,则思维较易受阻,而“正难则反,顺难则逆,直 难则曲”是突破思维障碍的重要策略. 数学中存在着大量的正难则反的切入点.数学中的定义、公式、法则和等价关系都是双 向的,具有可逆性;对数学方法而言,特殊与一般、具体与抽象、分析与综合、归纳与演绎, 其思考方向也是可逆的;作为解题策略,当正向思考困难时可逆向思考,直接证明受阻时可 间接证明,探索可能性失败时转向考察不可能性.由正难则反切入的具体途径有: 1. 定义、公式、法则的逆用; 2.常量与变量的换位; 3.反客为主; 4.反证法等. 【例题求解】 【例 1】 已知 x 满足 22 2 3 2 2   xx xx ,那么 xx 22  的值为 . 思路点拨 视 为整体,避免解高次方程求 x 的值. 【例 2】 已知实数 a 、b 、c 满足 ba  ,且 0)()(2002)(2002  accbba 求 2)( ))(( ba acbc   的值. 思路点拨 显然求 、 、 的值或寻求 、 、 的关系是困难的,令 x2000 ,则 2002= 2x , 原等式就可变形为关于 x 的一元二次方程,运用根与系数关系求解. 注:(1)人们总习惯于用凝固的眼光看待常量与变量,认为它们泾渭分明,更换不得,实际 上将常量设为变量,或将变量暂时看作常量,都会给人以有益的启示. (2)人的思维活动既有“求同”和“定势”的方面,又有“求异”和“变通”的方面.求 同与求异,定势与变通是人的思维个性的两极,充分利用知识和方法的双向性,是培养思维 能力的重要途径. 正难则反在具体的解题中,还表现为下列各种形式: (1)不通分母通分子; (2)不求局部求整体; (3)不先开方先平方; (4)不用直接挖隐含; 2 (5)不算相等算不等; (6)不求动态求静态等. 【例 3】 设 a 、b 、c 为非零实数,且 022  cbxax , 022  acxbx , 022  baxcx , 试问: 、 、 满足什么条件时,三个二次方程中至少有一个方程有不等的实数根. 思路点拨 如从正面考虑,条件“三个方程中至少有一个方程有不等的实数根”所涉及的情 况比较复杂,但从其反面考虑情况却十分简单,只有一种可能,即三个方程都没有实数根, 然后从全体实数中排除三个方程都无实数根的 、 、 的取值即可. 注:受思维定势的消极影响,人们在解决有几个变量的问题时,总抓住主元不放,使有些问 题的解决较为复杂,此时若变换主元,反客为主,问题常常能获得简解. 【例 4】 已知一平面内的任意四点,其中任何三点都不在一条直线上,试问:是否一定能 从这样的四点中选出三点构成一个三角形,使得这个三角形至少有一内角不大于 45°?请证 明你的结论. 思路点拨 结论是以疑问形式出现的,不妨先假定是肯定的,然后推理.若推出矛盾,则说 明结论是否定的;若推不出矛盾,则可考虑去证明结论是肯定的. 【例 5】 能够找到这样的四个正整数,使得它们中任两个数的积与 2002 的和都是完全平方 数吗?若能够,请举出一例;若不能够,请说明理由. 思路点拨 先假设存在正整数 1n , 2n , 3n , 4n 满足 22000 mnn ji  (i , j =1,2,3,4, m 为正整数).运用完全平方数性质、奇偶性分析、分类讨论综合推理,若推出矛盾,则原 假设不成立. 注:反证法是从待证命题的结论的反面出发,进行推理,通过导出矛盾来判断待证命题成立 的方法,其证明的基本步骤是:否定待证命题的结论、推理导出矛盾、肯定原命题的结论. 宜用反证法的三题特征是: (1)结论涉及无限; (2)结论涉及唯一性; 3 (3)结论为否定形式; (4)结论涉及“至多,至少”; (5)结论以疑问形式出现等. 学力训练 1.由小到大排列各分数: 11 6 , 17 10 , 19 12 , 23 15 , 33 20 , 91 60 是 . 2.分解因式 223 2)1( aaxxax  = . 3.解关于 x 的方程: 043372 22234  aaxxaxxx ( a ≥ 8 1 )得 x = . 4. 1009999100 1 3223 1 2112 1       的结果是 . 5 . 若 关 于 x 的 三 个 方 程 , 03244 22  mmmxx , 0)12( 22  mxmx , 012)1( 2  mmxxm 中至少有一个方程有实根,则 m 的取值范围是 . 6.有甲、乙两堆小球,如果第一次从甲堆拿出和乙堆同样多的小球放到乙堆,第二次从乙 堆拿出和甲堆剩下的同样多的小球放到甲堆,如此挪动 4 次后,甲、乙两堆小球恰好都是 16 个,那么,甲、乙两堆最初各有多少个小球? 7.求这样的正整数 a ,使得方程 074)12(22  axaax 至少有一个整数解. 8.某班参加运动会的 19 名运动员的运动服号码恰是 1~19 号,这些运动员随意地站成一个 圆圈,则一定有顺次相邻的 3 名运动员,他们运动服号码之和不小于 32,请说明理由. 9.如正整数 a 和 b 之和是 n ,则 可变为 ab ,问能不能用这种方法数次,将 22 变成 2001? 10.证明:如果整系数二次方程 02  cbxax a ( 0a )有有理根,那么 a ,b , c 中至少有 一个是偶数. 11.在Δ ABC 中是否存在一点 P,使得过 P 点的任意一直线都将该Δ ABC 分成等面积的两 部分?为什么? 12.求证:形如 4n+3 的整数是(n 为整数)不能化为两个整数的平方和. 13.13 位小运动员,他们着装的运动服号码分别是 1~13 号.问:这 13 名运动员能否站成 一个圆圈,使得任意相邻的两名运动员号码数之差的绝对值都不小于 3,且不大于 5?如果 能,试举一例;如果不能,请说明理由. 14.有 12 位同学围成一圈,其中有些同学手中持有鲜花,鲜花总数为 13 束,他们进行分花 游戏,每次分花按如下规则进行:其中一位手中至少持有两束鲜花的同学拿出两束鲜花分给 与其相邻的左右两位同学,每人一束.试证:在持续进行这种分花游戏的过程中,一定会出 现至少有 7 位同学手中持有鲜花的情况. 4 参考答案 5 6
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