【数学】2019届一轮复习北师大版对数与对数函数学案

【数学】2019届一轮复习北师大版对数与对数函数学案

第9讲　对数与对数函数 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．‎ ‎2．理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,10，的对数函数的图象．‎ ‎3．体会对数函数是一类重要的函数模型．‎ ‎4．了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0，且a≠1).‎ ‎2017·全国卷Ⅱ，8‎ ‎2017·北京卷，8‎ ‎2016·全国卷Ⅰ，8‎ ‎2016·浙江卷，5‎ ‎2015·四川卷，4‎ ‎1.对数式的化简与求值，考查对数的运算法则．‎ ‎2．对数函数图象与性质的应用，多考查对数函数的定义域、值域、单调性，难度不大．‎ ‎3．指数函数、对数函数的综合问题，考查反函数的应用，与指数函数、对数函数有关的方程、不等式、恒成立问题，综合性强，难度稍大.‎ 分值：5～7分 ‎1．对数的概念 ‎(1)对数的定义 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作__x＝logaN__，其中__a__叫做对数的底数，__N__叫做真数．‎ ‎(2)几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为a(a>0，且a≠1)‎ ‎__logaN__‎ 常用对数 底数为__10__‎ ‎__lg_N__‎ 自然对数 底数为__e__‎ ‎__ln_N__‎ ‎2．对数的性质与运算法则 ‎(1)对数的性质 ‎①alogaN＝__N__；②logaaN＝__N__(a>0，且a≠1)．‎ ‎(2)对数的重要公式 ‎①换底公式：__logbN＝__(a，b均大于零，且不等于1)；‎ ‎②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝__logad__.‎ ‎(3)对数的运算法则 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 ‎①loga(MN)＝__logaM＋logaN__；‎ ‎②loga＝__logaM－logaN__；‎ ‎③logaMn＝__nlogaM__(n∈R)；‎ ‎④logamMn＝__logaM__(m，n∈R，且m≠0)．‎ ‎3．对数函数的图象与性质 a>1‎ ‎01时，__y>0__；‎ 当01时，__y<0__；‎ 当00__‎ 在(0，＋∞)上是__增函数__‎ 在(0，＋∞)上是__减函数__‎ y＝logax的图象与y＝logx(a>0，且a≠1)的图象关于x轴对称 ‎4．指数函数与对数函数的关系 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数__y＝logax(a>0，且a≠1)__互为反函数，它们的图象关于直线__y＝x__对称．‎ ‎5．对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．‎ 故0y>1.故选D．‎ ‎4．函数y＝的定义域为(　C　)‎ A．　　　 B． C．　　　 D． 解析　要使函数y＝有意义，则需log0.5(4x－3)≥0，即0<4x－3≤1，解得0，∴a＝log‎2m，b＝log‎5m，‎ ‎∴＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.‎ ‎∴m2＝10，∴m＝.‎ 二　对数函数的图象及应用 在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交 点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．在研究方程的根时，可把方程的根看作两个函数图象交点的横坐标，通过研究两个函数图象得出方程根的关系．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．‎ ‎【例2】 (1)函数f(x)＝lg的大致图象是(　D　)‎ ‎(2)若a＝2x，b＝，c＝logx，则“a>b>c”是“x>‎1”‎的(　B　)‎ A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件 C．充要条件　　　 D．既不充分也不必要条件 ‎(3)若不等式4x2－logax<0对任意x∈恒成立，则实数a的取值范围为(　A　)‎ A．　　　 B．　　　‎ C．　　　 D． 解析　(1)f(x)＝lg＝－lg|x＋1|的图象可由偶函数y＝－lg|x|的图象左移1个单位得到．由y＝－lg|x|的图象可知D项正确．‎ ‎(2)如图，可知“x>‎1”‎⇒“a>b>c”，但“a>b>c”⇒/ “x>‎1”‎，即“a>b>c”是“x>‎1”‎的必要不充分条件．故选B．‎ ‎(3)∵不等式4x2－logax<0对任意x∈恒成立，‎ ‎∴x∈时，函数y＝4x2的图象在函数y＝logax的图象的下方，‎ ‎∴0b>c　　　 B．a>c>b C．c>a>b　　　 D．b>a>c ‎(2)函数f(x)＝loga(ax－3)在[1,3]上单调递增，则a的取值范围是(　D　)‎ A．(1，＋∞)　　　 B．(0,1)　　　‎ C．　　　 D．(3，＋∞)‎ 解析　(1)01，log2＝－log23<0，则b>a>c.故选D．‎ ‎(2)由于a>0，且a≠1，∴u＝ax－3为增函数，∴若函数f(x)为增函数，则f(x)＝logau必为增函数，因此a>1.又u＝ax－3在[1,3]上恒为正，∴a－3>0，即a>3.‎ ‎1．下列四个命题：‎ ‎①∃x0∈(0，＋∞)，x0logx0；‎ ‎③∀x∈(0，＋∞)，x>logx；‎ ‎④∀x∈，x0时，Δ＝4(a－1)2－12(a2－1)≥0，解得－2≤a<－1.综上，－2≤a≤－1.‎ ‎3．f(x)＝log3x·log3(3x)的值域为____.‎ 解析　f(x)＝log3x·log3(3x)＝log3x(1＋log3x)＝(log3x)2＋log3x.令log3x＝t，则y＝t2＋t＝2－≥－.‎ ‎4．已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是__[－2,0]__.‎ 解析　∵|f(x)|＝ ‎∴由|f(x)|≥ax，分两种情况：‎ ‎①由恒成立，可得a≥x－2恒成立，‎ 则a≥(x－2)max，即a≥－2；　‎ ‎②由恒成立，并根据函数图象可知a≤0.‎ 综合(1)(2)，得－2≤a≤0.‎ 错因分析：解决对数问题时，忽视对数的真数大于零造成错解．‎ ‎【例1】 函数y＝log(2x2－3x＋1)的递减区间为(　)‎ A．(1，＋∞)　　　 B． C．　　　 D． 解析　由2x2－3x＋1>0，得x>1或x<，易知u＝2x2－3x＋1在(1，＋∞)上是增函数，而y＝log(2x2－3x＋1)的底数0<<1，所以该函数的递减区间为(1，＋∞)．故选A．‎ 答案　A ‎【跟踪训练1】 (2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　D　)‎ A．(－∞，－2)　　　 B．(－∞，1)‎ C．(1，＋∞)　　　 D．(4，＋∞)‎ 解析　由x2－2x－8>0，得x<－2或x>4.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．又因为函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．故选D．‎ 课时达标　第9讲 ‎[解密考纲]本考点主要考查对数的运算、对数函数的图象与性质、简单复合函数的单调性等，通常以选择题、填空题的形式呈现，题目难度中等或中等偏上．‎ 一、选择题 ‎1．函数y＝的定义域是(　C　)‎ A．(－1，＋∞)‎ B．[－1，＋∞)‎ C．(－1,1)∪(1，＋∞)‎ D．[－1,1)∪(1，＋∞)‎ 解析　要使有意义，需满足x＋1>0且x－1≠0，得x>－1且x≠1.‎ ‎2．若02x>lg x　　　 B．2x>lg x> C．2x>>lg x　　　 D．lg x>>2x 解析　∵01,0<<1，lg x<0，∴2x>>lg x．故选C．‎ ‎3．函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间是(　D　)‎ A．(0，＋∞)　　　 B．(－∞，0)‎ C．(2，＋∞)　　　 D．(－∞，－2)‎ 解析　函数y＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y＝f(x)是由y＝logt与t＝g(x)＝x2－4复合而成，又y＝logt在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增．故选D．‎ ‎4．函数y＝lg|x－1|的图象是(　A　)‎ 解析　因为y＝lg|x－1|＝ 当x＝1时，函数无意义，故排除B，D项．‎ 又当x＝2或0时，y＝0，所以A项符合题意．‎ ‎5．(2017·北京卷)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)(　D　)‎ A．1033　　　 B．1053‎ C．1073　　　 D．1093‎ 解析　由已知得lg ＝lg M－lg N＝361×lg 3－80×lg 10≈361×0.48－80＝93.28＝lg 1093.28.故与最接近的是1093.‎ ‎6．设a＝－，b＝，c＝log2，则a，b，c的大小顺序是(　C　)‎ A．b，∴a>b>0，又∵c＝log2<0，∴c0，且a≠1)．‎ ‎(1)求f(x)的定义域；‎ ‎(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；‎ ‎(3)当a>1时，求f(x)>0的解集．‎ 解析　(1)要使函数f(x)有意义，则解得－11时，f(x)在定义域(－1,1)内是增函数，‎ 所以f(x)>0⇔>1，解得00的解集是(0,1)．‎ ‎11．(2018·云南玉溪一中期中)函数f(x)＝loga(2x2＋x)(a＞0，且a≠1)．‎ ‎(1)若当x∈时，都有f(x)＞0恒成立，求a的取值范围；‎ ‎(2)在(1)的条件下，求f(x)的单调递增区间．‎ 解析　(1)令u＝2x2＋x，f(x)＝y＝logau，‎ 当x∈时，u∈(0,1)，‎ 因为y＝logau>0，所以00可得f(x)的定义域为∪(0，＋∞)，因为00，且a≠1)的最大值是1，最小值是－，求a的值．‎ 解析　由题意知f(x)＝(logax＋1)·(logax＋2)‎ ‎＝[(logax)2＋3logax＋2]‎ ‎＝2－.‎ 当f(x)取最小值－时，logax＝－.‎ 又∵x∈[2,8]，∴a∈(0,1)．‎ ‎∵f(x)是关于logax的二次函数，∴函数f(x)的最大值必在x＝2或x＝8时取得，‎ 若2－＝1，则a＝2－，此时f(x)取得最小值时，x＝(2－)－＝∉[2,8]，舍去．‎ 若2－＝1，则a＝，‎ 此时f(x)取得最小值时，x＝－＝2∈[2,8]，‎ 符合题意，∴a＝.‎